洪小瑩

【摘要】在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似地服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的性質(zhì)和應(yīng)用在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位.

【關(guān)鍵詞】正態(tài)分布;性質(zhì);應(yīng)用;概率

一、正態(tài)分布的概念及其性質(zhì)

（一）正態(tài)分布的相關(guān)概念

正態(tài)分布又稱高斯分布，其函數(shù)圖像是一條光滑的鐘形曲線，我們稱它為正態(tài)曲線.

二、正態(tài)分布的應(yīng)用

（一）在學(xué)生學(xué)習(xí)情況中的應(yīng)用

標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)又稱Z分?jǐn)?shù)，它以標(biāo)準(zhǔn)差為單位，表示一個(gè)分?jǐn)?shù)在集體中所處相對位置的量數(shù)，其計(jì)算公式為Z=X-XS.

下面我們介紹標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的使用方法.

例1 八年級一班50名學(xué)生的語文測驗(yàn)成績X=70分，S=5分.小明考了75分.求比小明成績高的學(xué)生占全體考生的百分之幾（這里n=50≥30是大樣本，測驗(yàn)分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布）.

解 把原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)得

Z=75-705=1.

由上式可知小明的成績多平均分一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，查“正態(tài)分布表”，得比小明的成績低的學(xué)生占84.3%，比小明成績高的學(xué)生占15.7%.

例2 龍門二中七年級期中考，其中英語分?jǐn)?shù)X1=65分，S1=6分;地理分?jǐn)?shù)X2=82分，S2=10分.小王英語考了71分，地理考了92分;小洪英語考了77分，地理考了84分.如果把英語和地理分?jǐn)?shù)合在一起排名，請問小王和小洪誰排在前邊？

解 由于英語和地理的原始分?jǐn)?shù)的參照點(diǎn)（零點(diǎn)）與單位不同，不能直接比較與相加求和，因此，應(yīng)當(dāng)先將原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，然后合成和排隊(duì).所以，正確的處理過程為

由此可知小洪排在小王前面.

（二）在日常概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用

例3 小楊去車站搭車，有兩條路線可以選擇.第一條路程短，但交通擁擠，時(shí)間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布N（50，100）;第二條路程長，但阻塞較少，時(shí)間服從正態(tài)分布N（60，16）.求：

（1）假如還有70分鐘汽車就出站，他應(yīng)走哪一條路線？

（2）假如只有65分鐘汽車就出站，他應(yīng)走哪一條路線？

分析 從概率角度先考慮，可以比較兩條路線按時(shí)到達(dá)的概率大小，哪條大就走哪條路線.情況（2）與（1）同.具體解法如下：

（1）假如還有70分鐘汽車就出站，走路線一到達(dá)的概率

P（ζ≤70）=Φ（70-604）=Φ（2）=0.977 2.

（2）走路線二到達(dá)的概率

P（ζ≤70）=Φ70-604=Φ（2.5）=0.993 8，

所以應(yīng)走路線二.

（2）假如只有65分鐘汽車就出站，走路線一到達(dá)的概率

P（ζ≤65）=Φ65-5010=Φ（1.5）=0.933 2，

走路線二到達(dá)的概率

P（ζ≤65）=Φ65-504=Φ（1.25）=0.894 4，

所以應(yīng)走路線一.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李勇，等.數(shù)學(xué)選修2-3[M].北京：人民教育出版社，2005.

[2]王漢瀾.教育測量學(xué)[M].鄭州：河南大學(xué)出版社，1986.

[3]吳贛昌.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2000.