高坤，史晨路，呂曉，祖炳潔

摘 要：Leaky-LMS算法是傳統(tǒng)LMS的改進算法，該算法主要適用于隨機性較強的寬帶噪聲，該算法解決了傳統(tǒng)LMS算法收斂性、穩(wěn)定性和瞬態(tài)特性的固有缺陷，同時它在系統(tǒng)辨識方面也有很多應(yīng)用。文章詳細介紹了Leaky-LMS算法的推導(dǎo)過程，并分析了該算法的收斂性和穩(wěn)定性。同時通過MATLAB仿真，比較了傳統(tǒng)LMS算法和Leaky-LMS算法對寬帶噪聲的控制效果。仿真結(jié)果表明，Leaky-LMS算法的穩(wěn)定性、收斂性和瞬態(tài)特性要優(yōu)于傳統(tǒng)LMS算法，有效的對汽車車內(nèi)寬帶噪聲進行控制。

關(guān)鍵詞：泄露LMS算法;收斂性;穩(wěn)定性;瞬態(tài)特性;MATLAB仿真

中圖分類號：U462.3 ?文獻標(biāo)識碼：A ?文章編號：1671-7988（2019）23-167-03

Leaky-LMS Algorithm Based on Broadband Noise Control

Gao Kun1，2， Shi Chenlu1， Lv Xiao1， Zu Bingjie2

（ 1.China Auto Research （Tianjin） Automotive Engineering Research Institute Co. Ltd.， Tianjin 300000;2.Shijiazhuang Railway University， Hebei Shijiazhuang 050043 ）

Abstract： Leaky-LMS algorithm is an improved algorithm of traditional LMS， which is mainly applicable to broadband noise signals with strong randomness. This algorithm solves the inherent defects of convergence， stability and transient characteristics of traditional LMS algorithm， and also has many applications in system identification. Leaky-LMS algorithm was introduced in detail， its convergence and stability were analyzed， and the control effect of broadband noise by traditional LMS algorithm and leaky-LMS algorithm were compared by MATLAB simulation. Simulation results show that leaky-LMS algorithm has better stability， convergence and transient characteristics than traditional LMS algorithm， and effectively controls the wideband noise in cars.

Keywords： Leak LMS algorithm; Convergence; Stability; Transient characteristics; MATLAB simulation

CLC NO.： U462.3 ?Document Code： A ?Article ID： 1671-7988（2019）23-167-03

前言

隨著NVH控制手段的不斷進步和數(shù)字信號處理芯片運算能力的提升，主動控制技術(shù)越來越多的應(yīng)用在車內(nèi)噪聲控制中。傳統(tǒng)的最小均方（LMS）算法由于良好的自適應(yīng)性能被廣泛的應(yīng)用到汽車主動降噪領(lǐng)域。由于LMS算法的固有屬性，該算法的收斂性和穩(wěn)定性不能同時滿足，當(dāng)步長因子較大時，可以提高收斂速度，但是穩(wěn)定性變的較差;當(dāng)步長因子較小時，可以提高穩(wěn)定性，但是收斂速度變的較慢。特別是對于隨機性較強的寬帶信號，LMS算法的瞬態(tài)特性會較差。

Leaky-LMS算法可以解決LMS算法的固有缺陷，該算法可以限制瞬態(tài)輸出信號，并可以同時提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂性。

1 介紹

最小均方（Least Mean Square LMS）算法是由Widrow和Hodff在1960年提出來的[1][2]。該算法簡單并易于實現(xiàn)，對自適應(yīng)系統(tǒng)具有良好的處理能力，所以被廣泛的應(yīng)用在汽車主動降噪領(lǐng)域。但是傳統(tǒng)的LMS算法適用于周期短并且較為規(guī)律的窄帶信號，對于周期長、隨機性較強的寬帶信號（路噪），系統(tǒng)的收斂速度和穩(wěn)定性就不能保證了，特別是瞬態(tài)特性會變的較差。而Leaky-LMS算法可以解決以上的問題，汽車運行過程中產(chǎn)生的寬帶噪聲，瞬時信號可能會出現(xiàn)“失真”現(xiàn)象，算法中的泄露因子可以減少由于“失真”現(xiàn)象引起的系統(tǒng)失調(diào)。

泄露因子可能會引起系數(shù)偏置，所以選定泄露因子和步長需要保持在較低的取值范圍內(nèi)。本文中，我們提出了一種針對于寬帶噪聲的LMS改進算法—Leaky-LMS算法，第二節(jié)主要介紹了Leaky-LMS算法的推導(dǎo)公式，第三節(jié)是對Leaky-MS算法進行收斂性和穩(wěn)定性分析。第四節(jié)是通過MATLAB編寫仿真程序，來比較LMS和Leaky-LMS算法寬帶噪聲的控制效果。第五節(jié)，得出本文的結(jié)論。

2 Leaky-LMS算法公式推導(dǎo)

在Leaky-LMS算法中，期望信號與輸入信號之間的關(guān)系為[3]：

（1）

式中：d（n）為期望信號;hT為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng);X（n）為系統(tǒng)中的參考信號;c（n）為在系統(tǒng)中增加的噪聲信號。

Leaky-LMS算法的代價方程為：

（2）

誤差函數(shù)為：

（3）

式中：Leaky-LMS算法目的是為了縮小目標(biāo)函數(shù)J（n），所以Leaky-LMS算法是在LMS算法的代價函數(shù)的基礎(chǔ)上加入了一個稀疏矩陣，W（n）為1×k的自適應(yīng)濾波器權(quán)重的向量，γ為大于0的泄露因子，x（n）為1×k的輸入向量，其中γWT（n）W（n） 是稀疏矩陣。在代價函數(shù)中增加稀疏矩陣，可以引起更新權(quán)重的收縮，當(dāng)輸入信號矩陣中非零個數(shù)沒有到達濾波器的階數(shù)時，權(quán)重系數(shù)會出現(xiàn)一部分零系數(shù)，同時γWT（n）W（n）矩陣中會出現(xiàn)許多零系數(shù)，由于MATLAB只對非零元素進行操作，所以這種稀疏矩陣可以減少大量的運算時間，從而提高了濾波器的性能。

利用梯度法推出權(quán)重系數(shù)更新方程：

（4）

式中：u為步長因子。

3 Leaky-LMS算法性能分析

3.1 收斂性分析

（5）

式中：R為關(guān)于輸入信號x（n）的相關(guān)矩陣。在LMS算法中，λ是相關(guān)矩陣R的特征值。其中，λmax/λmin為擴散程度，擴散程度與收斂速度成反比，該參數(shù)擴展的越大，LMS算法收斂的速度就越慢[4]。

（6）

式中：由于γ是大于0的泄露因子， 所以Leaky-LMS算法的收斂性要優(yōu)于LMS算法。

權(quán)重系數(shù)誤差方程：

（7）

（8）

（9）

式中：V（n）為權(quán)重系數(shù)誤差向量，P為d（n）和x（n）的互相關(guān)矩陣。

（10）

式中：旋轉(zhuǎn)誤差E（Vj（∞））的作用是表示權(quán)重系數(shù)均值收斂性，在LMS算法中，γ=0，旋轉(zhuǎn)誤差為E（Vj（∞））為0，所以LMS算法的權(quán)重系數(shù)W（n）均值趨于收斂于W0。由公式（10）可知，泄露因子γ會導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)系數(shù)偏置，所以Leaky-LMS算法有一個固有缺陷：權(quán)重系數(shù)均值不能趨于收斂，也就是不能實現(xiàn)維納解（均方差和權(quán)重系數(shù)平均值均收斂才能實現(xiàn)維納解）。

公式（4）中的步長因子u的取值范圍為：

（11）

步長因子u在該范圍內(nèi)，Leaky-LMS算法的均方差MSE趨于收斂。

3.2 穩(wěn)定性分析

以路噪為代表的寬帶噪聲，瞬時信號不會總是穩(wěn)定的，會出現(xiàn)“失真”的情況，所以針對于瞬時信號，瞬時MSE（均方差）為：

（12）

（13）

式中：εmin是最小均方誤差，權(quán)重的偏差向量方程為：

（14）

（15）

式中：I為單位矩陣，WL為穩(wěn)態(tài)權(quán)重系數(shù)，W*為瞬時權(quán)重系數(shù)。

公式（15）結(jié)合公式（12）可得：

（16）

根據(jù)上述方程，求得步長u的取值范圍：

（17）

式中：為輸入信號x（n）的方差，步長在此取值范圍內(nèi)，算法保持穩(wěn)定[5]。

4 基于MATLAB對寬帶噪聲控制仿真分析

為了判斷Leaky-LMS算法的對寬帶噪聲的控制效果，通過MATLAB編寫仿真程序，分別通過LMS算法和Leaky- LMS算法對寬帶噪聲進行仿真分析，并將兩種算法的學(xué)習(xí)曲線（MSE曲線）進行對比。

本文仿真的目的是為了判斷LMS算法和Leaky-LMS算法對寬帶噪聲的控制效果，設(shè)定仿真的采樣點為5000個。

圖1 ?有源噪聲控制系統(tǒng)

濾波LMS算法與LMS算法的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)特征大致相同，濾波LMS算法應(yīng)用了聲通道原理，所以影響濾波LMS算法的因素較多。上圖中，P（z）表示從噪聲源到誤差信號的初級通道，d（n）表示待消除的噪聲信號，s（z）表示次級通道，（z）表示估計參考通道。經(jīng)過研究分析可知，三個通道的傳遞函數(shù)主要是為了解決算法中時延性問題。在理想的狀態(tài)下，我們忽略時延性的問題，我們假設(shè)有源噪聲控制系統(tǒng)中揚聲器和麥克風(fēng)的靈敏度為1，并假設(shè)初級通道P（z）的傳遞函數(shù)、次級通道s（z）和參考估計通道（z）的傳遞函數(shù)都設(shè)定為1，式中y（n）=Y（n）?？刂葡到y(tǒng)中濾波器為128階的FIR橫向濾波器。參數(shù)設(shè)置方面，定步長因子設(shè)定為0.001，采樣點數(shù)設(shè)定為5000，干擾信號為均值0，信噪比為5的高斯白噪聲，在Leaky-LMS算法中，泄露因子γ為0.5。為了判斷Leaky-LMS算法和LMS算法的瞬態(tài)特性，在輸入信號第2872-3072采樣點處加入脈沖信號。

圖2 ?LMS算法與LEAKY-LMS算法學(xué)習(xí)曲線對比

上述的學(xué)習(xí)曲線表明Leaky-LMS算法對寬帶噪聲的控制效果要優(yōu)于LMS算法。由圖2可知，LMS算法大約在1500個采樣點處收斂，Leaky-LMS算法大約在1000個采樣點處

收斂，并且LMS的最小MSE值為2.1578e-04，LEAKY-LMS的最小MSE值為5.6427e-05。通過仿真可以判斷出Leaky- LMS算法的收斂性和穩(wěn)定誤差要優(yōu)于LMS算法[6]。

圖3 ?LMS算法與Leaky-LMS算法在第2800—3300

采樣點處學(xué)習(xí)曲線對比

由圖3可知，由于輸入信號在第2872-3072個采樣點處加入脈沖信號，并且LMS算法在該區(qū)間MSE值偏高，均值為6.9235e-04，最高值為0.0029;而LEAKY-LMS算法在該區(qū)間MSE均值為2.8345e-04，最高值為0.0024，所以判斷出Leaky-LMS算法的瞬態(tài)特性要優(yōu)于LMS算法，所以Leaky- LMS算法可以對瞬時輸出信號進行限制。

5 結(jié)論

在本文中，針對隨機性強的寬帶噪聲，提出了一種改進LMS算法代價函數(shù)的算法—Leaky-LMS算法。通過公式推導(dǎo)分析出Leaky-LMS算法的可以對瞬時輸出信號進行限制，但是該算法不能實現(xiàn)維納解。同時本文通過MATLAB仿真分析出Leaky-LMS算法和LMS算法對寬帶噪聲的控制效果。仿真結(jié)果表明，Leaky-LMS算法的收斂性、穩(wěn)定性和瞬態(tài)特性要優(yōu)于LMS算法。

參考文獻

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[6] 王開軒，張心光.汽車車內(nèi)降低噪聲主動控制泄露LMS算法[J].機電設(shè)備，2018，35（01）：22-25.