程 碩， 曹 銘， 程明寶， 張弓亮

(1.仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院 管理學(xué)院，廣東 廣州 510230； 2.廣東金融學(xué)院 經(jīng)濟(jì)貿(mào)易學(xué)院，廣東 廣州 510521； 3.廣東工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，廣東 廣州 510520)

0 引言

在互聯(lián)網(wǎng)經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展的時(shí)代，各經(jīng)濟(jì)主體的決策、交易等行為越來越多地依賴信息網(wǎng)絡(luò)，但由于當(dāng)前經(jīng)濟(jì)下行壓力加大，制造業(yè)尤其是中小制造型企業(yè)(SMPEs)增長嚴(yán)重缺乏動(dòng)力，想要從困境中突圍，除了加大R&D投入，更要注重利用互聯(lián)網(wǎng)經(jīng)濟(jì)進(jìn)行營銷和推廣?；ヂ?lián)網(wǎng)下信息傳播速度快、廣度大、成本低等特點(diǎn)，能夠形成規(guī)模效應(yīng)，對(duì)SMPEs的產(chǎn)品推廣、銷售、售后以及迅速回籠資金、降低風(fēng)險(xiǎn)等方面均有促進(jìn)作用[1]。如何有效的利用網(wǎng)絡(luò)技術(shù)提高制造型企業(yè)的生產(chǎn)效率、降低產(chǎn)品生產(chǎn)成本、增強(qiáng)企業(yè)的核心競爭力，有機(jī)的耦合“互聯(lián)網(wǎng)+”和SMPEs之間的關(guān)系，運(yùn)用互聯(lián)網(wǎng)思維完成對(duì)產(chǎn)業(yè)的改造和升級(jí)，成為傳統(tǒng)制造業(yè)發(fā)展和突破的關(guān)鍵所在。較多B2B/B2C企業(yè)都通過利用互聯(lián)網(wǎng)的手段，通過采取“OEM生產(chǎn)”、“網(wǎng)絡(luò)營銷”、“網(wǎng)上預(yù)付訂購”等策略[2]，取得了巨大的成果。例如今年“雙十一”中蘋果、小米等多家電子產(chǎn)品生產(chǎn)商，均采用產(chǎn)品預(yù)售預(yù)付定金給與相應(yīng)價(jià)格折扣的方法，刺激消費(fèi)者的購買行為，降低市場需求不確定性所帶來的風(fēng)險(xiǎn)，進(jìn)而提高產(chǎn)品銷售帶來的收益[3]。但是由于商品是在線銷售，顧客只能在商品配送完成后才能接觸到商品，就會(huì)出現(xiàn)因商品達(dá)不到顧客的個(gè)性化要求而出現(xiàn)退貨[4]。但是，當(dāng)顧客的退貨成為大概率事件時(shí)，如何協(xié)調(diào)顧客退貨與產(chǎn)品定價(jià)和生產(chǎn)策略之間的關(guān)系，成為目前互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代下SMPEs十分關(guān)注的熱點(diǎn)問題。

近年來，很多學(xué)者對(duì)退貨問題進(jìn)行了研究，對(duì)于線上銷售環(huán)境下的退貨機(jī)制與退貨策略的研究較為突出。為清晰的展示相關(guān)文獻(xiàn)的研究成果，文獻(xiàn)主要研究內(nèi)容整理如表1所示。Vlachos等[5]專門針對(duì)電子商務(wù)中的退貨問題，對(duì)郵購、網(wǎng)上購物或電子商務(wù)中發(fā)生的退貨進(jìn)行分類處理，通過建立隨機(jī)市場需求下單周期產(chǎn)品的訂貨決策模型，得到不同情形下的最優(yōu)訂貨策略；Huang等[6]研究了二級(jí)供應(yīng)鏈(單一供應(yīng)商和多零售商)下的退貨與供應(yīng)協(xié)調(diào)問題，通過分析和數(shù)值算例驗(yàn)證了該條件下的最優(yōu)產(chǎn)品庫存水平；Li等[7]運(yùn)用禁忌搜索算法研究存在產(chǎn)品退貨和再制造情況下的動(dòng)態(tài)批量問題，針對(duì)此類NP-hard問題，設(shè)計(jì)了環(huán)鏈狀的生產(chǎn)/再生產(chǎn)結(jié)構(gòu)，并通過TB算法得出成本約束條件下的最優(yōu)批量；Liu等[8]在前人研究的基礎(chǔ)上，研究了存在顧客退貨需求與退款有關(guān)情況下的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題，構(gòu)建了以退款金額為決策變量的供應(yīng)鏈利潤最大化模型，設(shè)計(jì)了需求不確定的情況下供應(yīng)鏈的回購契約，分析驗(yàn)證了該模型的利潤最大化下的最優(yōu)退款金額；Radhi和Zhang[9]進(jìn)一步分析探討雙渠道下退貨問題，研究同渠道和跨渠道退貨模式下的零售商產(chǎn)品定價(jià)模型，得出集中式和分散式?jīng)Q策模式下零售商最優(yōu)產(chǎn)品定價(jià)策略。上述文獻(xiàn)均是考慮了存在顧客退貨的背景下分析研究了單因素決策問題，反映出退貨現(xiàn)象是一個(gè)不可忽視的重要問題。對(duì)顧客的意愿的重視增加了銷售的難度，尤其是在當(dāng)前信息較為“透明”環(huán)境下，消費(fèi)者在決策時(shí)會(huì)更為“聰明”，商品的性價(jià)比會(huì)直接的影響商品的退貨概率，退貨又會(huì)對(duì)生產(chǎn)商和銷售商造成一定程度負(fù)面影響。因此對(duì)電商環(huán)境下的供應(yīng)鏈退貨分析的研究有著現(xiàn)實(shí)意義。

表1 相關(guān)文獻(xiàn)綜述

也較多學(xué)者進(jìn)一步分析存在退貨情況下多因素決策問題。Chen和Bell[10]研究了顧客退貨情況下零售企業(yè)的定價(jià)和訂貨策略，給出了加法模式的隨機(jī)需求下的最優(yōu)零售價(jià)格和最優(yōu)訂貨量；?zer等[11]對(duì)存在退貨和不退貨兩種銷售途徑市場條件下，考慮需求關(guān)于價(jià)格敏感、顧客行為和渠道盈利性等多因素，構(gòu)建交貨期時(shí)間、產(chǎn)品定價(jià)和生產(chǎn)量多決策變量的利潤最大化模型，通過分析得出決策變量與企業(yè)利潤及企業(yè)產(chǎn)品銷售策略之間的關(guān)系；李健等[12]分析了顧客有限理性退貨下的兩階段C2B模式的回購策略，通過調(diào)節(jié)退貨后的制造商回購價(jià)格實(shí)現(xiàn)兩階段銷售協(xié)調(diào)；Flapper等[13]研究了顧客退貨信息影響下的生產(chǎn)庫存系統(tǒng)優(yōu)化問題，其中退貨的需求和退貨信息服從Poisson分布，退貨信息包括實(shí)際退貨和取消退貨兩種情況，運(yùn)用一個(gè)Markov決策過程構(gòu)建信息對(duì)稱和信息不對(duì)稱情況下的最優(yōu)生產(chǎn)量-價(jià)格折扣模型；樊雙蛟和王旭坪[14]通過構(gòu)建退貨再次銷售的庫存模型，對(duì)商品定價(jià)和訂貨量進(jìn)行聯(lián)合決策分析，給出最優(yōu)解存在的條件并給出求解方法；陳敬賢和梁樑[15]以Hotelling模型為基礎(chǔ)，利用產(chǎn)品匹配概率刻畫顧客的退貨行為，分析了存在顧客退貨下的產(chǎn)品定價(jià)和產(chǎn)品定位決策問題。上述文獻(xiàn)中考慮退貨均只是與市場需求或產(chǎn)品銷售量有關(guān)，考慮條件較為單一，與實(shí)際可能存在些許偏差。而現(xiàn)實(shí)中，消費(fèi)者的無缺陷退貨主要是由于產(chǎn)品價(jià)值與消費(fèi)者的需求偏好存在差異。本文在考慮存在多類顧客不同退貨概率和直銷商采用“預(yù)付款+價(jià)格折扣”銷售模式的情況下，研究商品退貨量是確定型和隨機(jī)型(與市場需求、產(chǎn)品銷售量和產(chǎn)品折扣有相關(guān)性條件下)下直銷商的產(chǎn)品定價(jià)和產(chǎn)品折扣策略決策。

在目前電商行業(yè)不斷壯大的情況下，網(wǎng)購日益普遍，幾乎所有的網(wǎng)購平臺(tái)和第三方支付軟件均是向側(cè)重維護(hù)消費(fèi)者的利益進(jìn)行傾斜，消費(fèi)者可以隨時(shí)進(jìn)行商品下單購買、隨時(shí)隨地的進(jìn)行撤單退貨，這就會(huì)給制造商和銷售商帶來相應(yīng)的損失。面對(duì)此類情況，不同的線上銷售商會(huì)采用不同的銷售策略，關(guān)于預(yù)付定金方面的研究，Maiti等[16]研究了產(chǎn)品定價(jià)受需求和預(yù)付款影響、交貨期時(shí)間隨機(jī)條件下的產(chǎn)品庫存系統(tǒng)優(yōu)化問題，通過設(shè)計(jì)GA算法證明了批發(fā)商的預(yù)付策略對(duì)其庫存系統(tǒng)有著正面積極的影響作用；Thangam[17]對(duì)存在預(yù)付折扣和商業(yè)信用的三級(jí)供應(yīng)鏈庫存系統(tǒng)EOQ模型進(jìn)行研究，并通過模型推導(dǎo)和數(shù)值證明得出供應(yīng)鏈中最優(yōu)價(jià)格折扣和訂貨批量策略；王文利和駱建文[18]研究了預(yù)付款模式下二級(jí)供應(yīng)鏈的最優(yōu)生產(chǎn)和融資決策問題，并分析了供應(yīng)商的自有資金、價(jià)格折扣兩種因素對(duì)供應(yīng)鏈融資績效的影響；李超和駱建文[19]建立供應(yīng)鏈存在資金約束的動(dòng)態(tài)博弈模型，分析了預(yù)付款對(duì)資金約束下的供應(yīng)鏈效率的改進(jìn)效果，通過設(shè)計(jì)零售商預(yù)付款的收益共享協(xié)調(diào)機(jī)制，實(shí)現(xiàn)供應(yīng)鏈利益最大化；Taleizadeh[20]和Tavakoli[21]分析了存在零售商退貨情形下，采用支付預(yù)付款方式的零售商最優(yōu)批量決策問題，通過設(shè)計(jì)算法和數(shù)值算例進(jìn)行了驗(yàn)證，并設(shè)計(jì)一種基于預(yù)付款的庫存控制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)模型和研究結(jié)果解決實(shí)際問題?；趯?duì)預(yù)付定金問題的分析，本文研究中的直銷商采用“預(yù)付款+價(jià)格折扣”銷售模式，采用其中比較普遍的一種模式：顧客先預(yù)付一部分定金，在線上進(jìn)行下單購買商品，此時(shí)線上銷售商會(huì)在顧客確定收貨后，給與顧客相應(yīng)的折扣；但是如果預(yù)付定金的顧客最終選擇退貨或沒有購買該商品，則不退還定金。

基于對(duì)以上文獻(xiàn)的閱讀，在前人的研究基礎(chǔ)上，本文針對(duì)生產(chǎn)商網(wǎng)上直銷模式下的單周期的單一生產(chǎn)商、多類顧客的二級(jí)供應(yīng)鏈，分別研究市場需求確定和不確定兩種情況下，存在顧客可預(yù)付定金和產(chǎn)品可退貨的生產(chǎn)商產(chǎn)品定價(jià)及優(yōu)化策略問題。并在此基礎(chǔ)上，針對(duì)多類不同顧客預(yù)付定金比例、產(chǎn)品退貨數(shù)量均是關(guān)于產(chǎn)品折扣系數(shù)敏感的情況下，采用拉格朗日乘子法對(duì)模型解的最優(yōu)性進(jìn)行討論和分析，進(jìn)一步研究生產(chǎn)商產(chǎn)品定價(jià)和產(chǎn)品價(jià)格折扣的協(xié)調(diào)策略。

1 問題描述

考慮某一生產(chǎn)商生產(chǎn)并網(wǎng)上直銷一種產(chǎn)品，市場需求Q是關(guān)于價(jià)格p的隨機(jī)函數(shù)，由于產(chǎn)品銷售的特性，可接受預(yù)付訂單產(chǎn)品款項(xiàng)，并存在顧客產(chǎn)品退貨行為。其中，市場存在兩類顧客，即A類為提交預(yù)付定金的顧客，B類則為不預(yù)付定金的顧客。企業(yè)為了減少產(chǎn)品銷售中存在的風(fēng)險(xiǎn)，盡量的鼓勵(lì)顧客預(yù)付定金，會(huì)給與A類顧客一定的價(jià)格折扣。同時(shí)，兩類顧客若對(duì)該產(chǎn)品不滿意，可進(jìn)行退貨。但A類顧客退貨，不返還其預(yù)付定金，B類顧客退貨返還貨款。AB兩類顧客退貨的產(chǎn)品不進(jìn)行二次售賣，若期末銷售產(chǎn)品剩余，則轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的產(chǎn)品殘值；若存在缺貨現(xiàn)象，則生產(chǎn)商進(jìn)行外部采購滿足顧客需求。

p：產(chǎn)品的單位售價(jià)；p0：為不考慮預(yù)付定金銷售模式的產(chǎn)品價(jià)格；w：產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本；s：期末未銷售產(chǎn)品的單位殘值；v：為單位產(chǎn)品的外包成本；其中存在關(guān)系式：p>w>s。

Q：產(chǎn)品的市場需求，且Q=D(p)=kp-ε(K>0,ε>1)，本文考慮的產(chǎn)品是關(guān)于價(jià)格彈性的商品[22]，例如一些暢銷品、可替代品等一般都是價(jià)格彈性較大的產(chǎn)品；

ηD(p)：為預(yù)付定金的產(chǎn)品數(shù)量，其中0<η<1；則假設(shè)預(yù)付定金的顧客中最終購買該產(chǎn)品的產(chǎn)品數(shù)量為aηD(p)，其中0

(1-η)D(p)：為不預(yù)付定金的產(chǎn)品數(shù)量，則假設(shè)該類顧客中，最終購買該產(chǎn)品的數(shù)量為b(1-η)D(p)，其中0

rp：為預(yù)付單位產(chǎn)品的定金，其中0

θp：為給與預(yù)付定金的顧客優(yōu)惠折扣后的單位產(chǎn)品價(jià)格，θ為折扣系數(shù)，0<θ<1；

該種商品的購買和退貨遵循以下原則：

(1)預(yù)付定金的顧客可享受價(jià)格優(yōu)惠，但該類顧客若退貨，則定金不返還，其余貨款返還；

(2)不預(yù)付定金的顧客不享受產(chǎn)品價(jià)格優(yōu)惠，但該類顧客退貨，返還全部貨款；

(3)預(yù)付定金的顧客中最終退貨的產(chǎn)品所占的比例小于不預(yù)付定金的顧客中最終退貨產(chǎn)品的所占的比例，即a>b。

2 模型構(gòu)建

2.1 確定性問題

(a)考慮不存在預(yù)付定金的銷售模式

為了更為明顯的對(duì)比是否預(yù)付定金兩種不同的銷售模式對(duì)制造企業(yè)的影響，現(xiàn)對(duì)不存在預(yù)付定金的銷售模式進(jìn)行研究。在不預(yù)付定金的情況中，顧客則全部按B類顧客(不預(yù)付定金類型)計(jì)算，則該種銷售模式的產(chǎn)品利潤函數(shù)Π0(p0)可表示為：

Π0(p0)=p0×bD(p0)+s×(1-b)D(p0)-wD(p0)

(1)

對(duì)公式(4)對(duì)價(jià)格p0進(jìn)行一階求導(dǎo)，可得：

(b)考慮存在預(yù)付定金的銷售模式

假設(shè)生產(chǎn)商企業(yè)的生產(chǎn)量為X，若X=D(p)，則在某單銷售周期內(nèi)，此四類顧客的產(chǎn)品銷售收入如表1所示。其中，A類顧客最終購買的產(chǎn)品數(shù)量為aηD(p)，因A類顧客預(yù)付定金，制造商企業(yè)會(huì)給予A類顧客相應(yīng)的價(jià)格折扣θp，則制造商企業(yè)在A類顧客方面最終獲得的產(chǎn)品銷售收入則為(θp)×aηD(p)；對(duì)于A類顧客中最終退貨的顧客，制造商企業(yè)會(huì)選擇不返還顧客預(yù)先交付的定金，同時(shí)，會(huì)將這部分退貨的產(chǎn)品(1-a)ηD(p)做殘值的處理，則這時(shí)的相應(yīng)收入為(rp+s)×(1-a)ηD(p)；對(duì)于B類顧客中最終選擇購買的產(chǎn)品數(shù)量為b(1-η)D(p)，因B類顧客沒有預(yù)付定金，則產(chǎn)品的價(jià)格是沒有相應(yīng)優(yōu)惠的，則這部分產(chǎn)品的銷售收入為p×b(1-η)D(p)；對(duì)應(yīng)的B類顧客中最終選擇退貨的這部分產(chǎn)品，該部分的產(chǎn)品需全額退款，其收入為s×(1-b)(1-η)D(p)。

表1 不同情況下的產(chǎn)品銷售收入分布表

該生產(chǎn)商企業(yè)單銷售周期的利潤收入模型為：

Π(p)=(θp)×aηD(p)+(rp+s)×(1-a)ηD(p)+

p×b(1-η)D(p)+s×(1-b)(1-η)D(p)-wD(p)

(2)

定理1在市場需求確定的情況下，存在最優(yōu)的產(chǎn)品銷售價(jià)格p*，使得制造商產(chǎn)品銷售利潤達(dá)到最大值Π(p*)，其中

證明分別對(duì)Π(p)進(jìn)行一階求導(dǎo)和二階求導(dǎo)，存在最優(yōu)解的一階條件和二階條件如下

(ε/p)[s×(1-a)η+s×(1-b)(1-η)-w]}

(3)

(4)

X*=D(p*)=K(p*)-ε(其中，K>0,ε>1)

Π(p*)=(θp*)×aηD(p*)+(rp*+s)×(1-a)ηD(p*)+

p*×b(1-η)D(p*)+s×(1-b)(1-η)D(p*)-wD(p*)

定理1表明在市場需求確定的情況下，消費(fèi)者是否采用預(yù)付定金方式以及產(chǎn)品退貨率都會(huì)對(duì)制造商的產(chǎn)品定價(jià)和總收益有很大的影響。作為決策的制定者，在制定最優(yōu)的產(chǎn)品定價(jià)決策時(shí)要充分考慮到消費(fèi)者中采用預(yù)付定金的數(shù)量比例以及產(chǎn)品退貨率，然后再根據(jù)自身特性進(jìn)行決策。

2.2 兩種不同的銷售方式比較

對(duì)上述預(yù)付定金和不預(yù)付定金的兩種銷售模式進(jìn)行比較，可得兩種銷售模式利潤之差M(p):

M(p)=Π(p)-Π0(p)

={(θp)×aηD(p)+[rp×(1-a)ηD(p)+

s×(1-a)ηD(p)]+p×b(1-η)D(p)+

s×(1-b)(1-η)D(p)-wD(p)}-

{p×bD(p)+s×(1-b)D(p)-wD(p)}

=[(θa-b)p+s×(b-a)+rp×(1-a)]ηD(p)

(5)

若M(p)>0時(shí)，則Π(p)>Π0(p)，由(5)式推導(dǎo)可得：[(θ-r)p-s]a>(b-r)p-sb,則分析推導(dǎo)可得定理2。

2.3 隨機(jī)性問題

單生產(chǎn)周期內(nèi)，若該產(chǎn)品的市場需求量隨機(jī)，假設(shè)市場需求量Q=σD(p)，其中σ是定義取值范圍為[A,+∞)上的隨機(jī)變量(A>0)，其均值為μ(其中μ≥1)，f(σ)和F(σ)分別是概率密度函數(shù)和分布函數(shù)。將市場產(chǎn)品的需求量Q和企業(yè)的實(shí)際生產(chǎn)量X進(jìn)行分段討論分析。

當(dāng)X

①若0

②若ηQ

(6)

上式可轉(zhuǎn)換為：

maxE[Π(p)]=[θp×aη+p×b(1-η)+rp×(1-a)η-w]D(p)μ-

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

對(duì)需求隨機(jī)情況下的退貨方程(公式(11))可轉(zhuǎn)換為：

E[Ω(g,p)]=(1-b)(μ-Λ(g))+(b-a)(μ-Υ(g))

(12)

則將(8)～(10)式和(12)式代入(7)式可得：

maxE[Π(p)]=[θp×aη+p×b(1-η)+rp×(1-a)η-w]μD(p)-(p-s)×

D(p)Ω(g,p)-(w-s)×D(p)Γ(g)-(p+v-w)×D(p)Λ(g)-rp×D(p)Υ(g)

(13)

假設(shè)(13)式中[θp×aη+b(1-η)+r×(1-a)η]=M，則對(duì)(13)式中總利潤關(guān)于價(jià)格p的一階導(dǎo)數(shù)為：

[D(p)+(p-s)×D′(p)]Ω(g,p)-(w-s)[D′(p)Γ(g)]-

[D(p)+(p+v-w)D′(p)]Λ(g)-

[D(p)+p×D′(p)]rΥ(g)

+(p+v-w)×Λ′(g)+rp×Υ′(g)}

(14)

另外，假若Q=σD(p)中的σ=1，則可以把確定性問題看作是隨機(jī)性問題的一個(gè)特例，即在生產(chǎn)商生產(chǎn)的產(chǎn)品存在X≠Q(mào)情況時(shí)，此時(shí)生產(chǎn)商的產(chǎn)品最優(yōu)生產(chǎn)量X滿足以下條件

3 顧客預(yù)付定金和退貨的優(yōu)化策略研究

除了上述針對(duì)市場需求確定型和隨機(jī)型兩種情況的考慮外，本文考慮了一種更為貼近市場實(shí)際的需求情況：市場需求中顧客預(yù)付定金產(chǎn)品的數(shù)量比例(η)、預(yù)付定金的比例(r)、產(chǎn)品銷售數(shù)量比例(a和b)均是關(guān)于生產(chǎn)商產(chǎn)品折扣系數(shù)θ敏感的。在參考了文獻(xiàn)[18]的基礎(chǔ)上，預(yù)付定金的顧客數(shù)量與折扣系數(shù)和預(yù)付定金額成反比，產(chǎn)品銷售數(shù)量與折扣系數(shù)成反比。則假設(shè)η=A1-λ1θ-λ2r，r=k0(1-θ)，其中A1為常量，λ1>0，λ2>0，k0≥0且1>A1-λ1θ-λ2r>0，1>k0(1-θ)>0。假設(shè)a=A2+k1(1-θ)，b=A2+k2(1-θ)，其中A2為常量，k1>k2>0且1>A2+k1(1-θ)>A2+k2(1-θ)>0(即a>b，A類顧客在折扣θ下最終購買產(chǎn)品的比例比B類顧客大，并且隨著價(jià)格折扣優(yōu)惠越大，η值越大，則B類顧客的數(shù)量越少，則會(huì)導(dǎo)致B類顧客中最終選擇購買產(chǎn)品的比例增加)[23]。其中，η、r、a、b均在[0,1]范圍內(nèi)。則此時(shí)生產(chǎn)商產(chǎn)品利潤Π(p,θ)表達(dá)形式如(15)式所示：

Π(p,θ)=(θp)×(A2+k1(1-θ))(A1-λ1θ-λ2r)D(p)+

[k0(1-θ)p×[1-(A2+k1(1-θ))]ηD(p)+s×[1-(A2+k1(1-θ))]

(A1-λ1θ-λ2r)D(p)]+p×(A2+k2(1-θ))

[1-(A1-λ1θ-λ2r)]D(p)+s×[1-(A2+k2(1-θ))]

[1-(A1-λ1θ-λ2r)]D(p)-wD(p)

(15)

定理4生產(chǎn)商總利潤最大值Π(p,θ)存在近似最優(yōu)解(p*,θ*)。

[s(k1-k2)+pk1(θ-r)+p(k0(1-a)-b)]}

(16)

令x1=p,x2=θ，對(duì)(15)式關(guān)于(p,θ)及其約束條件轉(zhuǎn)化如下：

(17)

顯然(17)式中有8個(gè)不等式約束，令gj(x1,x2)(j=1,2,…,J,J=8)為(17)式從左往右的第j個(gè)不等式約束條件，f(x1,x2)及gj(x1,x2)表示對(duì)應(yīng)函數(shù)的梯度，λ=(λ1,λ2,…,λJ)。對(duì)于(17)式,由于f(x1,x2)二階連續(xù)可微，若為局部最優(yōu)解，則存在拉格朗日乘子滿足以下條件(或稱為KKT條件)：

(18)

以該KKT條件為理論基礎(chǔ)，采用拉格朗日乘子罰函數(shù)法對(duì)(17)式求近似局部最優(yōu)解，該方法如下：設(shè)δ為大于零的罰參數(shù)，令

φ(x1,x2,λ,δ)

(19)

(20)

通過比較上述算法得到的局部最優(yōu)解與邊界點(diǎn)處的函數(shù)值可得到(15)式全局最優(yōu)解。由上述推導(dǎo)過程，可得存在生產(chǎn)商利潤Π(p,θ)最大值的近似最優(yōu)解(p*,θ*)。關(guān)于上述算法收斂性說明，在文獻(xiàn)[24,25]的研究中有關(guān)于此算法及其改進(jìn)算法的介紹及收斂性分析，此處不再贅述。

定理4表明若預(yù)付定金產(chǎn)品的數(shù)量、預(yù)付定金比例系數(shù)、退貨數(shù)量是關(guān)于價(jià)格折扣敏感的，存在近似最優(yōu)的產(chǎn)品定價(jià)和價(jià)格折扣組合策略(p*,θ*)。此協(xié)調(diào)策略(p*,θ*)可以很好的滿足不同類型顧客的需求，還能使得生產(chǎn)商獲得更好的效益，有效的實(shí)現(xiàn)供需雙方共贏的局面。

4 數(shù)值算例

假設(shè)二級(jí)供應(yīng)鏈中相關(guān)參數(shù)滿足以下條件，其中w=3，s=1，a=0.70，b=0.60，θ=0.95，r=0.50，ε=4，K=100000，η=0.50。運(yùn)用Maple 14.0軟件，將各參數(shù)代入生產(chǎn)商的確定性模型(1)式和(2)式中，結(jié)果如圖1所示。

圖1 確定性下的生產(chǎn)商銷售利潤-產(chǎn)品定價(jià)分布圖

圖2 市場需求隨機(jī)下的生產(chǎn)商銷售利潤-產(chǎn)品定價(jià)分布圖

圖3 相關(guān)參數(shù)敏感性分析

為了進(jìn)一步分析各參數(shù)與產(chǎn)品定價(jià)、生產(chǎn)商利潤之間的關(guān)系，采用控制變量，分別對(duì)價(jià)格折扣系數(shù)、預(yù)付定金數(shù)量比例、A類和B類顧客最終購買比例進(jìn)行敏感性分析(其中假設(shè)a∈[0.6,1],b∈[0.4,0.6])，結(jié)果如圖3所示。并通過計(jì)算，得出不同參數(shù)變化情況的生產(chǎn)商利潤最大條件下的近似最優(yōu)決策條件如表1所示。從圖3和表1結(jié)果可得以下結(jié)論：①在保持產(chǎn)品定價(jià)和其他條件不變的情況下(圖3中各圖的橫坐標(biāo))，產(chǎn)品價(jià)格折扣系數(shù)θ、預(yù)付定金數(shù)量比例η、A/B類顧客最終購買比例(a和b)均與產(chǎn)品銷售利潤呈正相關(guān)；②在保持產(chǎn)品價(jià)格折扣系數(shù)、預(yù)付定金數(shù)量比例、A/B類顧客最終購買比例不變的條件下(圖3中各圖縱坐標(biāo))，產(chǎn)品銷售利潤是隨著產(chǎn)品定價(jià)的提高而呈現(xiàn)先增加后減少的趨勢；③從圖3中結(jié)果可以得出，θ和η、a和b對(duì)產(chǎn)品銷售利潤影響程度從大到小排列是η>θ,a>b。

表1 不同假設(shè)條件下的決策條件

圖4 銷售利潤與產(chǎn)品定價(jià)、產(chǎn)品折扣的關(guān)系

圖5r=0時(shí),利潤與定價(jià)、折扣的關(guān)系

對(duì)于相關(guān)參數(shù)的敏感性分析中，可以看出最優(yōu)決策條件值均為參數(shù)臨界值。但是在實(shí)際情況中，某些參數(shù)會(huì)受其他參數(shù)的影響和限制。則對(duì)于顧客預(yù)付定金和退貨的優(yōu)化策略問題，其中η、r、a、b均是關(guān)于產(chǎn)品價(jià)格折扣敏感的。假設(shè)相關(guān)參數(shù)具體數(shù)值為w=3，s=1，ε=4，K=100000，A1=15，A2=0.4，λ1=15，λ2=2，k0=5，k1=3，k2=2。將上述參數(shù)數(shù)值代入(15)式中，結(jié)合定理4中拉格朗日乘子法，運(yùn)用軟件Maple 14.0，得到仿真結(jié)果如圖4所示。從圖4的仿真結(jié)果可知：①在保持產(chǎn)品定價(jià)和其他條件不變的情況下，隨著產(chǎn)品折扣系數(shù)η的不斷降低，產(chǎn)品的銷售利潤呈現(xiàn)先增長后降低的趨勢；②在保持產(chǎn)品折扣系數(shù)和其他條件不變的情況下，隨著產(chǎn)品定價(jià)p的提高，產(chǎn)品的銷售利潤也呈現(xiàn)先增長后降低的趨勢。③在各參數(shù)取值范圍內(nèi)，存在近似最優(yōu)的(p*,θ*)使得生產(chǎn)商利潤獲得最大值。以上結(jié)論均與定理4中證明結(jié)果相符。

根據(jù)定理4，在約束條件下，通過求解方程組得到近似最優(yōu)解(p*,θ*)滿足生產(chǎn)商銷售利潤最大。求得方程組的解為(p=4.68,θ=0.84)，生產(chǎn)商利潤maxΠ(p)=198.70。進(jìn)一步獲得其他相關(guān)參數(shù)的具體數(shù)值為a=0.88,b=0.72,r=0.81,η=0.81。

假若對(duì)于A類顧客退貨也返還其預(yù)付定金(即r=0)，相關(guān)參數(shù)也用上述數(shù)值，通過Maple軟件處理得到結(jié)果如圖5所示。從圖5中的仿真結(jié)果分析可得其產(chǎn)品近似最優(yōu)定價(jià)和折扣系數(shù)p*=5.00,θ*=0.80,最大利潤maxΠ(p)=159.94。由于從相關(guān)參數(shù)數(shù)值假設(shè)，推導(dǎo)得出θ∈[0.80,1]，由此可知θ*=0.80是θ∈[0.80,1]中的最小值。即說明假若顧客退貨需全額退款的條件下，生產(chǎn)商需盡量的給與顧客較大的產(chǎn)品價(jià)格折扣，來降低由顧客退貨所導(dǎo)致的銷售損失，進(jìn)而獲得較高的產(chǎn)品銷售利潤。但是，過低的產(chǎn)品價(jià)格折扣，也會(huì)給生產(chǎn)商帶來損失。如假設(shè)參數(shù)中k1=1，k2=0.5，η=0.5，其他參數(shù)不變，運(yùn)用Maple軟件得到仿真結(jié)果，如圖6所示。得到此時(shí)的產(chǎn)品最優(yōu)定價(jià)和最優(yōu)產(chǎn)品折扣系數(shù)p*=6.68,θ*=0.56，最大利潤maxΠ(p)=45.71。此時(shí)，在產(chǎn)品定價(jià)p=6.68保持不變的情況下，若θ<0.56，則生產(chǎn)商的銷售利潤會(huì)降低。

假設(shè)a,b與θ無關(guān)，令a=1，b=0.8，其他參數(shù)不變。代入相關(guān)參數(shù)數(shù)值，可得仿真圖7。從仿真結(jié)果分析可得其產(chǎn)品最優(yōu)定價(jià)和最優(yōu)折扣系數(shù)p*=4.53，θ*=0.92,生產(chǎn)商獲得最大利潤maxΠ(p)=227.96，另計(jì)算得r=0.39,η=0.39。從圖7仿真結(jié)果可得，在保持產(chǎn)品定價(jià)不變的情況下，隨著產(chǎn)品折扣系數(shù)數(shù)值不斷降低，產(chǎn)品的銷售利潤是出現(xiàn)先增長后降低的趨勢；在保持產(chǎn)品折扣系數(shù)不變的情況下，隨著產(chǎn)品定價(jià)p的不斷提高，產(chǎn)品的銷售利潤也出現(xiàn)先增長后降低的趨勢。

圖6r=0,k1,k2,η為定值時(shí),利潤與定價(jià)、折扣的關(guān)系

圖7a,b與θ無關(guān)時(shí)，利潤與定價(jià)、折扣的關(guān)系

5 結(jié)論

隨著互聯(lián)網(wǎng)經(jīng)濟(jì)的蓬勃發(fā)展，“互聯(lián)網(wǎng)+”相關(guān)問題成為近些年被關(guān)注的研究熱點(diǎn)。其中，“互聯(lián)網(wǎng)+制造業(yè)”將成為未來工業(yè)發(fā)展新紅利的主要途徑，并逐漸出現(xiàn)很多新的產(chǎn)品銷售模式來推動(dòng)制造業(yè)的發(fā)展。本文針對(duì)生產(chǎn)商網(wǎng)上直銷模式中，產(chǎn)品銷售存在顧客預(yù)付訂單和顧客退貨的背景條件下，研究生產(chǎn)商的產(chǎn)品定價(jià)及優(yōu)化問題。構(gòu)建了存在預(yù)付定金和退貨的銷售模式下市場需求確定和隨機(jī)的利潤最大化模型，利用極大值原理和兩階段優(yōu)化法，分別得出了生產(chǎn)商產(chǎn)品網(wǎng)上直銷最優(yōu)定價(jià)的解析解；并同原不考慮預(yù)付定金的銷售模式進(jìn)行比較，得出相關(guān)參數(shù)在滿足定理2的條件下，采用預(yù)付定金的銷售模式會(huì)獲得更好的收益；通過數(shù)值算例驗(yàn)證了產(chǎn)品定價(jià)和銷售利潤之間的存在著先增長后降低的趨勢，通過對(duì)比可得出市場需求隨機(jī)情況下的銷售利潤小于確定型市場需求類型的銷售利潤；并對(duì)模型中的價(jià)格折扣系數(shù)、預(yù)付定金數(shù)量比例、A類和B類顧客最終購買比例進(jìn)行敏感性分析，得出各類情況下商品網(wǎng)上直銷的銷售利潤與各變量指標(biāo)之間的關(guān)系，即變量指標(biāo)在最大值情況下，生產(chǎn)商直銷的銷售利潤最大。然后，進(jìn)一步對(duì)預(yù)付定金產(chǎn)品的數(shù)量、預(yù)付定金比例系數(shù)、退貨數(shù)量關(guān)于價(jià)格折扣敏感的決策問題進(jìn)行研究，構(gòu)建該類情況下生產(chǎn)商直銷銷售利潤最大化模型，運(yùn)用拉格朗日乘子法構(gòu)建相應(yīng)算法，并通過實(shí)例驗(yàn)證了其存在利潤最大化情況下的近似最優(yōu)的產(chǎn)品定價(jià)和價(jià)格折扣組合策略，并得出此時(shí)最優(yōu)的預(yù)付定金的產(chǎn)品數(shù)量、預(yù)付定金比例系數(shù)和產(chǎn)品退貨數(shù)量。最后，討論了A類/B類顧客退貨均全額退款(r=0)情況下的產(chǎn)品銷售利潤與產(chǎn)品定價(jià)、價(jià)格折扣之間的關(guān)系，進(jìn)過分析得出其也存在最優(yōu)的定價(jià)和價(jià)格折扣方案；同時(shí)，也對(duì)A類/B類顧客其退貨量為定值的這一特殊情況進(jìn)行分析，得出該種情況下亦存在其產(chǎn)品最優(yōu)定價(jià)和最優(yōu)折扣。

根據(jù)本文研究結(jié)果可以得出，線上直銷的生產(chǎn)商需根據(jù)不同的市場需求和類型，及時(shí)適當(dāng)?shù)恼{(diào)整銷售模式和銷售策略，進(jìn)而獲得更大的銷售收益。其中，較為有效的措施之一是保證產(chǎn)品的質(zhì)量，盡量降低商品在配送途中的損耗，進(jìn)而有效的降低顧客的退貨率，從而保證產(chǎn)品銷售利潤；另一主要途徑為適當(dāng)?shù)慕o與預(yù)付定金的顧客相應(yīng)的價(jià)格折扣優(yōu)惠，刺激顧客的購買行為，進(jìn)而降低市場需求不穩(wěn)定帶來的風(fēng)險(xiǎn)，保證生產(chǎn)商獲得較高收益。另外，本文還有一些方面可以進(jìn)一步拓展和研究。首先，模型可以擴(kuò)展為多周期產(chǎn)品銷售問題，其中退貨的產(chǎn)品可以考慮進(jìn)行二次銷售。其次，模型可以拓展為多產(chǎn)品銷售模式，或者是多代產(chǎn)品銷售的模式(可以“以舊換新”)。最后，關(guān)于顧客的購買行為、退貨行為的行為研究，也可以是以后進(jìn)一步深入的方向。