分?jǐn)?shù)階微積分在非牛頓流體中的應(yīng)用

姜玉婷

摘? 要：隨著分?jǐn)?shù)階微積分的不斷發(fā)展，其定義也逐漸得到完善，在工程、物理、生物等領(lǐng)域的應(yīng)用也越來(lái)越廣。文章首先介紹了分?jǐn)?shù)階微積分幾種形式的定義及其性質(zhì)，然后給出了帶有分?jǐn)?shù)階微積分的不同粘彈性流體的本構(gòu)關(guān)系，研究了Oldroyd-B流體在不同參數(shù)值下圓管中速度隨著時(shí)間變化的圖像，并對(duì)速度變化情況進(jìn)行了分析。由圖像可以發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)階微積分在非牛頓流體中有很好的應(yīng)用，且能夠達(dá)到很好的效果。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階微積分;粘彈性流體;Oldroyd-B流體

中圖分類號(hào)：O172? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：2095-2945（2019）24-0179-02

Abstract： With the continuous development of fractional calculus， its definition has been gradually improved， and it is more and more widely used in engineering， physics， biology and other fields. In this paper， the definitions and properties of several forms of fractional calculus are introduced， and then the constitutive relations of different viscoelastic fluids with fractional calculus are given. The image of the variation of velocity with time in a circular tube with different parameter values of Oldroyd-B fluid is studied， and the variation of velocity is analyzed. From the image， it can be found that fractional calculus has a good application in non-Newtonian fluid， and can achieve good results.

Keywords： fractional calculus; viscoelastic fluid; Oldroyd-B fluid

引言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階微積分在信號(hào)處理、粘彈性材料、沈流分析與控制等自然科學(xué)與工程的各個(gè)領(lǐng)域都有很大應(yīng)用。當(dāng)前，分?jǐn)?shù)階算子的定義主要有Riemann-Liouville型、Caputo型、Grünwald-Letnikov型、Weyl型、Erdelyi-Kober型、Riesz型等[1-2]。經(jīng)過許多學(xué)者的長(zhǎng)期不懈努力，分?jǐn)?shù)階微積分的理論在一定程度上被建立起來(lái)。但是目前分?jǐn)?shù)階微積分的實(shí)際應(yīng)用仍然遇到許多障礙，其中很重要的一個(gè)原因是其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仍未完善，一些情況下不同問題所用的定義形式也不相同，并且分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換與拉普拉斯變換也存在問題。

從應(yīng)用的角度看，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型和整數(shù)階導(dǎo)數(shù)模型的本質(zhì)區(qū)別在于：對(duì)時(shí)間而言，整數(shù)階導(dǎo)數(shù)所表征的是一個(gè)物理或力學(xué)過程某時(shí)刻的變化或某種性質(zhì)，而分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)所表征的性質(zhì)則與該現(xiàn)象的整個(gè)發(fā)展歷史有關(guān)。整數(shù)階空間導(dǎo)數(shù)描述的是一個(gè)物理過程在空間某一確定位置的局部性質(zhì)，而分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)所描述的性質(zhì)則與該物理過程涉及的整個(gè)空間有關(guān)。

本文首先介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的幾種不同定義，然后給出了粘彈性流體中幾種經(jīng)典流體的本構(gòu)關(guān)系[3-5]，重點(diǎn)分析了Oldroyd-B流體在分?jǐn)?shù)階微積分算子取不同值時(shí)，圓管中心速度變化的圖像。

1 分?jǐn)?shù)階微積分的定義

現(xiàn)在，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究和工程應(yīng)用研究中最常用的有以下四種分?jǐn)?shù)階微積分的定義：Grünwald-Letnikov型分?jǐn)?shù)階微積分、Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分、Caputo型分?jǐn)?shù)階微積分和Riesz型分?jǐn)?shù)階微積分。Grünwald-Letnikov定義是差分格式定義，與Riemann-Liouville等定義比較，該定義較少的被用于數(shù)學(xué)理論分析。然而，它在微分方程理論和數(shù)值計(jì)算方面使用較多。Riemann-Liouville定義采用微分-積分形式，在數(shù)學(xué)理論研究中起著重要作用。為了方便實(shí)際問題的建模，在粘彈性材料的研究中引入了另一種分?jǐn)?shù)階微分的定義，即Caputo型微分。Caputo型定義在建模應(yīng)用及積分變換中需滿足的初始條件以整數(shù)階微積分的形式給出，現(xiàn)在實(shí)際問題中廣泛應(yīng)用Caputo型定義。下面給出四種分?jǐn)?shù)階微積分的定義。其中，α是階數(shù)。

1.1 Riemann-Liouville型

4 結(jié)論

本文在分?jǐn)?shù)階微積分基本理論的基礎(chǔ)上，利用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建模，給出了圓管中幾種粘彈性流體的本構(gòu)方程，并重點(diǎn)分析了圓管中分?jǐn)?shù)階Oldroyd-B流體的速度隨著不同分?jǐn)?shù)階參數(shù)的變化情況。本文的結(jié)果對(duì)微流控芯片和實(shí)驗(yàn)室芯片等設(shè)備的設(shè)計(jì)和改進(jìn)具有一定的參考意義。

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