純多播BC 信道并存單播MAC 信道的天線效率研究

于振超，劉鋒

（1.中電裝備山東電子有限公司，濟(jì)南250000；2.上海海事大學(xué)信息工程學(xué)院，上海201306）

0 引言

隨著無線通信系統(tǒng)帶寬和能力的增加，對收發(fā)端的天線數(shù)以及信道容量提出了新的考驗。多輸入多輸出天線系統(tǒng)（Multiple Input Multiple Output，MIMO）通過充分利用空間資源，可以大幅提高頻譜效率和功率。并且在頻譜資源日益匱乏的現(xiàn)狀下，多天線技術(shù)可以在不增加系統(tǒng)帶寬的前提下，增加信號空間復(fù)用增益，增加信道容量以滿足現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)多媒體大快速發(fā)展的需要?？臻g復(fù)用增益（r）是由空間復(fù)用技術(shù)帶來的傳輸速率的提高?？臻g復(fù)用技術(shù)可以大大提高信道容量，提高傳輸速率。即：在發(fā)射端將數(shù)據(jù)流分成多個平行的子數(shù)據(jù)流，并且在同一頻帶上使用不同的天線同時發(fā)射出去，充分利用空間傳播的多徑分量。

可想而知在未來的無線通信系統(tǒng)中，將不只是單純的單播傳輸或者單純的多播傳輸，更加復(fù)雜的單播、多播以及廣播等多網(wǎng)絡(luò)并存的傳輸方式將占據(jù)主流，以滿足不同用戶、不同條件下的需要，從而降低投入的成本，提高天線的利用率。當(dāng)下無線通信系統(tǒng)中，處理信道間干擾的主流方法是迫零方法和干擾對齊。本文主要采用接收端迫零的方法，在發(fā)送端進(jìn)行線性預(yù)編碼處理從而在接收端解碼出相應(yīng)的期望信號，從而消除干擾。線性預(yù)編碼技術(shù)是已知全部或者部分信道狀態(tài)信息（Channel Status Information，CSI）的情況下，本文的假設(shè)條件也是已知全部CSI 的理想條件下進(jìn)行的。

本文首先研究了有K 個接收端的純多播BC 網(wǎng)絡(luò)并存有N 個發(fā)送端的單播MAC 網(wǎng)絡(luò)的信道模型，采用迫零算法消除干擾從而求出信道的空間復(fù)用增益。由一般情況推廣到K=N=3 的特殊情況，從而得出模型的最佳的天線效率以及系統(tǒng)的空間復(fù)用增益。本文第二部分介紹了一般系統(tǒng)模型。第三部分是采用迫零算法對所設(shè)計的信道進(jìn)行分析驗證，從而得到收發(fā)端的天線數(shù)配置以及系統(tǒng)的空間復(fù)用增益從而得到天線效率，并將一般情況的模型應(yīng)用到K=N=3 特例模型中。第四部分是對系統(tǒng)和速率、天線效率進(jìn)行MATLAB 仿真，證明所述結(jié)論的可行性。

1 系統(tǒng)模型

我們一般稱虛線已上的BC 網(wǎng)絡(luò)為主網(wǎng)，虛線以下的MAC 網(wǎng)路為次網(wǎng)。然后對于主網(wǎng)BC 純多播信道的K 個發(fā)送端配置M1根天線，接收端配置N1根天線，發(fā)送端發(fā)送K 個多播消息，并且每個多播消息只發(fā)送給本網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的K-1 個接收端。對于次網(wǎng)MAC 單播信道的N 個發(fā)送端，在每個發(fā)送端配置M2根天線，在接收端配置N2根天線，則接收端i 接收到的信號為：

其中yi表示第i 個接收端所接收的信號，S1表示BC 信道發(fā)送端發(fā)送的信號，S2j(j=1,2,…,K)表示MAC信 道 的 第 j 個 發(fā) 送 端 發(fā) 送 的 信 號 ，表示從第2 j 個發(fā)送端到第i 個接收端的信道矩陣，Zi表示第i 個接收端接收的的加性高斯白噪聲，假設(shè)其均值為0，方差為σ2。我們現(xiàn)在對發(fā)送端的信號進(jìn)行線性預(yù)編碼處理，在每個發(fā)送端通過設(shè)計一個預(yù)編碼矢量矩陣F 使信號干擾迫零，從而在接收端我們可以得到期望信號。以下是經(jīng)過預(yù)編碼后的每個接收端接收到的信號：

其中Fi表示第i 個發(fā)送端的預(yù)編碼矩陣。

2 方案分析與設(shè)計

2.1 對于K=N=3的設(shè)計分析

由于主網(wǎng)BC 純多播網(wǎng)絡(luò)接收端數(shù)至少為3，所以我們首先將一般情況應(yīng)用到3 用戶的特殊情況。對主網(wǎng)BC 純多播信道的發(fā)送端配置6 根天線，每個接收端配置2 根天線，發(fā)送端發(fā)送3 個多播消息S11S12S13，并且每個多播消息是發(fā)送給本網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的2 個接收端。對于次網(wǎng)MAC 單播信道的發(fā)送端配置7 根天線，接收端配置3 根天線，每個發(fā)送端發(fā)送1 個單播消息。由此可以得出每個接收端的接收信號為：

其中yi表示第i 個接收端所接收的信號，S1表示BC 信道發(fā)送端發(fā)送的信號，S2j(j=1,2,3)表示MAC 信道 的 第 j 個 發(fā) 送 端 發(fā) 送 的 信 號 ，Hi(2j)(i=1,2,3,4;j=1,2,3)表示從第2 j 個發(fā)送端到第i個接收端的信道矩陣。

同理我們對其發(fā)送端的信號進(jìn)行線性預(yù)編碼處理，以下是經(jīng)過預(yù)編碼后的接收信號：

對于每個接收端不止是接收到期望消息而且還有來自不同接收端的干擾消息，我們以主網(wǎng)BC 信道的發(fā)送端消息S11為例來分析。S11對于接收端1、2 為期望消息，而對于另外的接收端是干擾消息。迫零方法就是要講干擾消息置于傳輸信道的零空間內(nèi)，即H31H41的零空間中。為此我們先介紹零空間的概念。

引理給定兩個矩陣A ∈Cm×n和B ∈Cg×n，若令，則Cx=0 ?Ax=0和Bx=0，即C 的零空間的交Null（C）=Null（A）∩Null（B）。

由引理得出信道矩陣的零空間的性質(zhì)。設(shè)(m+g)×n 的矩陣C 的秩為r=rank(C)，因為至少得存在一個零空間的交，故有n-r ≥1。但是已知C 是滿秩的，有r=min（m+g,n），由此可以推出r=m+g。綜上可以得到零空間交的性質(zhì)：

由此可以得到S11的零空間矩陣為C=[H31;H41]。在接收端按照“有幾個有效消息配置幾根天線”的原則，我們在接收端3 配置2 根天線，在接收端4 配置3根天線。因此H31是一個2*M1的矩陣H41是一個3*M1的矩陣。從而可以得到零空間矩陣C 是一個5*M1的維度，再根據(jù)引理可以得到M1至少為6 根天線。同理可以得到3 用戶MAC 信道每個發(fā)送端配置7 根天線。

接下來對S11的零空間矩陣進(jìn)行奇異值分解，假設(shè)S11的預(yù)編碼矢量滿足f11?Null(C)，并且可知C 的秩為5，它的右奇異向量V1,V2,V3,V4,V5,V6中，與1 個零奇異向量V6構(gòu)成零空間的交的標(biāo)準(zhǔn)正交基。于是預(yù)編碼矢量，最后得到發(fā)送端1 的波束成形矩陣，其他發(fā)送端的波速成形矩陣可以此類推。

定理在單播MAC 網(wǎng)絡(luò)中，發(fā)送端的天線數(shù)分別為M1…Mk，接收端天線數(shù)為N 時，其空間復(fù)用增益為。在多播BC 網(wǎng)絡(luò)中，空間復(fù)用增益的大小即是每個接收端解碼出的期望消息數(shù)的和。因此可以得到K=N=3 模型的空間復(fù)用增益是9。

圖2 3個接收端的BC純多播并存3個發(fā)送端的MAC單播的系統(tǒng)模型

2.2 對于K＞3的設(shè)計分析

在驗證了K=N=3 模型的信道天線配置的合理性的前提下，我們對BC 信道的接收端和MAC 信道的發(fā)送端進(jìn)行了擴(kuò)展，以適應(yīng)更多用戶的需求。一根天線一個信道維度，同樣我們給BC 信道的每個接收端配置K-1 根天線，MAC 信道的接收端配置N 個天線，以滿足接收期望消息的需求。然后采用迫零方法經(jīng)行分析干擾消息，將其都置于對應(yīng)的信道矩陣零空間，進(jìn)而得到模型的發(fā)送端的天線數(shù)量，提高系統(tǒng)的天線效率。

定理對于有K 個接收端的BC 純多播并存N 個發(fā)送端的MAC 單播網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，BC 的發(fā)送端發(fā)送K 個多播消息，并且每個多播消息發(fā)送給主網(wǎng)內(nèi)的K-1 接收端，給BC 每個接收端配置K-1 根天線。MAC 的每個發(fā)送端發(fā)送一個單播消息，給MAC 的接收端配置N根天線。在這種條件下，BC 發(fā)送端的最優(yōu)天線配比是K+N 根，MAC 發(fā)送端的最優(yōu)天線配比是K（K-1）+1 根天線。

證明同樣我們以BC 發(fā)送端1 和MAC 發(fā)送端1為例進(jìn)行分析，BC 發(fā)送端發(fā)送的信號S11被本網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的K-1 個接收端接收，對于剩下的一個接收端和MAC的接收端來說是干擾信號，因此可以將其置于其信道矩陣中如Hi1和H(K+)11的零空間中?？梢缘玫絊11零空間矩陣的維度是（N+K-1）*M1，由引理進(jìn)而可以得到M1的最小值是N+K。同樣我們可以分析MAC 發(fā)送端1發(fā)送的信號S21只對于本網(wǎng)絡(luò)的接收端是期望信號，對于BC 的K 個接收端都是干擾消息，只需將干擾消息S21置于Hi(21)( i= 1,2…N )的信道矩陣的零空間中?？梢缘玫桨l(fā)送端的零空間矩陣K（K-1）*M2，進(jìn)而由引理得出M2的最小值是K（K-1）+1。

與K=N=3 求系統(tǒng)空間復(fù)用增益的方法相似，可以得到一般情況下的模型的空間復(fù)用增益為（K-1）*K+N。

3 仿真與結(jié)論

3.1 系統(tǒng)的空間復(fù)用增益

通過MATLAB 仿真證明了以上定理的可行性，并最后得出關(guān)于空間復(fù)用增益的結(jié)論。首先我們假設(shè)每個信道為不相關(guān)的瑞利衰落信道，發(fā)送端的功率為P，由于發(fā)送端在滿足總的功率有限的條件下，對每個用戶的發(fā)送功率平均分配。每個用戶接收端的噪聲方差都相同且設(shè)為σ2。假設(shè)每個發(fā)送端可獲知它所服務(wù)的所有用戶的無差錯的等效信道狀態(tài)信息，每個用戶也能獲得信道狀態(tài)信息。BC 用戶i 的單播數(shù)據(jù)流經(jīng)過發(fā)送干擾抑制矢量、信道和接收干擾抑制矢量作用后，接收信噪比為：

接收端i 可以獲得的單播信號的和速率為：

接收端i 可以獲得的多播信號的和速率為：

由此，系統(tǒng)的總和速率為：

接下來我們對系統(tǒng)的和速率隨系統(tǒng)發(fā)送信噪比的變化進(jìn)行了K=N=3、4、5 的仿真。其中橫坐標(biāo)SNR 的單位是dB，每條直線段的斜率和其對應(yīng)的系統(tǒng)空間復(fù)用增益是10 倍關(guān)系。

然后我們對系統(tǒng)的和速率隨系統(tǒng)發(fā)送信噪比的變化進(jìn)行了K=3,N=2、K=4,N=3、K=5,N=4 的仿真。其中橫坐標(biāo)SNR 的單位是dB，每條直線段的斜率和其對應(yīng)的系統(tǒng)空間復(fù)用增益是10 倍關(guān)系。

3.2 系統(tǒng)的天線效率（恒小于1的數(shù)值）

首先給出空間復(fù)用增益的數(shù)學(xué)表達(dá)式，假設(shè)傳輸速率為：

圖3 K=N時的和速率性能圖

因此空間復(fù)用增益定義為：將MIMO 系統(tǒng)能夠得到的傳輸速率與SISO 系統(tǒng)的最大傳輸速率log(1+SNR)的比值。即：

MIMO 系統(tǒng)能夠得到的最大空間復(fù)用增益r(max)=min(Nt,Nr)，Nt 表示發(fā)送端的天線數(shù)，Nr 表示接收端的天線數(shù)。

然后我們給出天線效率的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

天線效率（E）的定義為無線空間復(fù)用增益（r）與系統(tǒng)所用收發(fā)天線數(shù)總數(shù)（n）的比值。

由此可以得到一般模型的天線效率為：

首先，可以由MATLAB 仿真可以得到在3 ≤K ≤20時，N 依次隨機(jī)取2、7、13、56、103、200 等值時的天線效率如圖5。

由圖5 的仿真結(jié)果，可以分析：在BC 主網(wǎng)的接收端數(shù)K 固定在有限范圍時，天線的效率隨著MAC 次網(wǎng)的發(fā)送端數(shù)N 的增加而增大。并且由式子（13）可以看出，當(dāng)N 無限增大時，天線效率將接近于1。由此可以看出，次網(wǎng)MAC 單播的參與用戶數(shù)對整個系統(tǒng)的天線效率有增益，有助于天線效率的提高。設(shè)計系統(tǒng)時可以適當(dāng)?shù)奶岣逳。

圖4 時的和速率性能圖

圖5 天線效率圖（1）

圖6 天線效率圖（2）

然后，可以得到在2 ≤N ≤20 時，K 依次隨機(jī)取3、5、7、10、57、109 等值時MATLAB 的天線效率如圖6。

由圖6 的仿真結(jié)果，可以分析：在MAC 次網(wǎng)的發(fā)送端數(shù)N 固定在有限范圍時，天線的效率隨著BC 主網(wǎng)的接收端數(shù)K 的增加而減少。并且由式子（13）可以看出，當(dāng)K 無限增大時，天線效率將接近于0。由此可以得出，主網(wǎng)BC 多播的參與用戶數(shù)越多對整個系統(tǒng)的天線效率有減損，不利于天線效率的提高。設(shè)計系統(tǒng)時不能讓M 值過大，而因該控制在一定的范圍內(nèi)。

4 結(jié)語

本文通過使用接收端迫零的方法，通過設(shè)計預(yù)編碼矩陣，提供出了一種切實可行的處理干擾的方法。并且能夠?qū)⒁话鉑 個接收端的BC 純多播信道并存N個發(fā)送端的MAC 單播信道的情況應(yīng)用到特殊情況下，最后得到發(fā)送端天線數(shù)的最少配置，接收端能夠完美解析出期望信號。然后，通過BC 主網(wǎng)和MAC 次網(wǎng)的合理參與用戶數(shù)的設(shè)計，可以提高了系統(tǒng)的天線效率。最后通過仿真的形式證明了提出理論的可行性。下一步將分析更加復(fù)雜的純多播并單播的情況，以適應(yīng)當(dāng)下應(yīng)用環(huán)境的更多需求。