三維淺海下圓柱殼聲輻射預(yù)報方法研究

錢治文， 何元安， 商德江， 肖 妍， 史 博

（1. 天津大學(xué) 海洋科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 天津300072； 2. 哈爾濱工程大學(xué) 水聲工程學(xué)院，哈爾濱150001； 3. 中國船舶工業(yè)系統(tǒng)工程研究院， 北京100036）

0 引 言

我國海洋領(lǐng)土大多屬于水深小于200 m 的典型淺海環(huán)境， 潛器在淺海所處的聲場環(huán)境并非理想的自由場，存在水面和水底的反射、散射作用[1]，其聲場特性與結(jié)構(gòu)本身和淺海環(huán)境兩者密切相關(guān)。 研究淺海下結(jié)構(gòu)輻射聲場特性，對開展淺海環(huán)境下結(jié)構(gòu)振動輻射噪聲實時監(jiān)測預(yù)報、聲學(xué)隱身性能評價以及淺海環(huán)境參數(shù)對輻射聲場影響分析等研究領(lǐng)域具有重要的理論和應(yīng)用價值， 是今后我國水聲技術(shù)領(lǐng)域長期關(guān)注的熱點和難點問題之一。

然而，目前關(guān)于水下彈性結(jié)構(gòu)耦合振動與聲輻射問題的研究，大多考慮無界或半空間流體域下的近距離輻射聲場問題[2-3]。 對于淺海環(huán)境下結(jié)構(gòu)輻射聲場問題，國內(nèi)外很少涉及該方面的研究，因該研究在試驗法、解析法和數(shù)值法研究過程中均遇到了難題，有效開展工作較為困難；試驗法周期長成本高，數(shù)值法受網(wǎng)格劃分以及計算量的嚴重制約，解析解法目前只能針對理想淺海環(huán)境下簡單結(jié)構(gòu)聲場問題[4-5]。為了解決淺海下彈性結(jié)構(gòu)聲輻射研究所遇到的這些難題，本文引入了一種對結(jié)構(gòu)和流體環(huán)境適應(yīng)性很強且計算高效的研究方法:波疊加法（Wave Superposition Method，簡稱WSM）。Koop-mann 等[6]最先提出了利用波疊加法進行結(jié)構(gòu)輻射聲場的計算，Miller 和Fahnline 等隨之對穩(wěn)定性、 計算精度和效率進行了分析[7-8]。波疊加法以適應(yīng)性強、計算效率高的優(yōu)勢逐步地成為了研究彈性結(jié)構(gòu)聲輻射的重要方法之一，近年來受到了國內(nèi)學(xué)者極大的關(guān)注，并廣泛應(yīng)用于自由場或半空間流體環(huán)境下的近場聲全息[9-11]、結(jié)構(gòu)聲輻射預(yù)報[12-13]和噪聲源識別[14-15]等研究領(lǐng)域。 但采用波疊加法進行淺海下結(jié)構(gòu)聲輻射的研究卻很少，因為淺海下結(jié)構(gòu)輻射聲場問題涉及流體、結(jié)構(gòu)和淺海上下邊界等多個物理場之間的相互耦合作用，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)表面振動速度難以準確獲取，從而無法進行波疊加法的準確計算。 也有部分研究把淺海下結(jié)構(gòu)輻射源視為點聲源，但這樣直接忽略了結(jié)構(gòu)與流體、結(jié)構(gòu)與環(huán)境的耦合作用和近場聲輻射特性。 導(dǎo)致目前尚無高效可靠的研究方法進行淺海環(huán)境下彈性結(jié)構(gòu)聲輻射預(yù)報的有效研究，但它對淺海下結(jié)構(gòu)聲輻射預(yù)報、源識別和噪聲控制等具有重要的意義，急需探索一種新方法來解決淺海下結(jié)構(gòu)聲輻射預(yù)報問題[16]。

本文提出了一種三維淺海波導(dǎo)下彈性結(jié)構(gòu)輻射聲場預(yù)報的理論方法。 該方法首先利用有限元法建立了淺海波導(dǎo)下結(jié)構(gòu)聲輻射多物理場耦合有限元模型； 計算獲取在考慮流體環(huán)境和淺海波導(dǎo)上下邊界耦合影響下結(jié)構(gòu)表面振動數(shù)據(jù)，然后采用波疊加法和淺海聲場傳輸函數(shù)進行虛擬源源強求解，最后進行彈性結(jié)構(gòu)輻射聲場的等效疊加計算。 經(jīng)有限元法和解析解法驗證該方法的正確性后，研究了典型彈性圓柱殼在理想淺海波導(dǎo)下的輻射聲場特性， 為今后開展復(fù)雜淺海環(huán)境下大型彈性結(jié)構(gòu)聲輻射預(yù)報研究提供了一種新途徑。

1 理論模型

1.1 淺海波導(dǎo)下點源聲傳播模型

考慮聲源為水下簡諧點源，設(shè)海水為理想介質(zhì)，壓力p 滿足非齊次亥姆霍茲方程

式中:▽2為拉普拉斯算符，c 為流體聲速，r→為聲源到場點的矢量距離，δ r→（）為狄拉克函數(shù)，A 為點源強度幅值，j 為復(fù)數(shù)虛部，ω 為角頻率。

由于聲場具有圓柱對稱性，選用柱坐標下，以通過點源且垂直向下的方向為z 軸，垂直于z 軸的方向為r 軸，方程可以寫成[1]

式中:k0為流體介質(zhì)中聲波波數(shù)，定義為k0=ω/c，z0為聲源在z 軸上的位置。

采用簡正波理論求解式，可得淺海波導(dǎo)下點源聲場表達式p （r, z ）即淺海波導(dǎo)傳輸函數(shù)G （r, z ）為

海面通常為Dirichlet 邊界條件，滿足的邊界條件為

海底是一個反射和散射邊界， 典型海底邊界模型有Neumann 邊界、Rayleigh 定律、Sommerfeld 模型、Cauchy 邊界和地聲模型等。

在Neumann 邊界、Rayleigh 定律和Sommerfeld 模型的交互面上，滿足聲學(xué)邊界方程為

1.2 波疊加法模型

建立如圖1 所示的三維淺海下結(jié)構(gòu)聲輻射波疊加法計算理論模型，流體密度為ρ1，聲速為c1；結(jié)構(gòu)中心和點源在海面的投影為o 和o′，o-xy 和o′-x′y′與海面重合，o-xyz 為全局坐標系，o′-x′y′z′為各虛擬源的局部坐標系，oo′連線延長線為y′軸，o′y′與oy 的夾角為θ； 振動體表面記為S′，n 為結(jié)構(gòu)表面的外法向矢量，zs為結(jié)構(gòu)中心在豎直方向的位置；S 為與結(jié)構(gòu)面共形的等效源面，Q 為虛擬源，z0i為各虛擬源在局部坐標中的位置；P 為場點位置，Q 和P 間的距離記為rp。

圖1 三維淺海波導(dǎo)下波疊加法原理示意圖Fig.1 Principle of wave superposition method in three-dimensional shallow water waveguide

波疊加法與Helmholtz 積分公式等效，經(jīng)過離散化處理后，全局坐標系下結(jié)構(gòu)表面某一點的法向速度un可由N 個簡單聲源構(gòu)建[18]

把（7）式寫成矩陣形式，可表示為

其中，［D］-1為［D ］的廣義逆矩陣。

為了求解傳遞矩陣的廣義逆［D］-1，需要對其進行奇異值分解

式中:S、V 分別為M 階、N 階方陣，Σ=diag （σ1, σ2, σ3…σn）為包含n 個非奇異值σi的對角陣。

通過奇異值分解求逆矩陣獲取輻射體結(jié)構(gòu)內(nèi)部虛擬源源強后，便可計算任意一點的聲壓

從（9）式和（11）式可知，傳遞矩陣D 和單極矩陣T 中涉及的傳遞函數(shù)G （x, y,z ）均為全局坐標下三維聲場傳遞函數(shù)，而1.1 節(jié)求解的聲場傳遞函數(shù)為局部柱對稱坐標下二維聲場傳遞函數(shù)G （r, z ），需要進行如下空間坐標轉(zhuǎn)化。

淺海下各虛擬源產(chǎn)生的空間聲場滿足軸對稱性， 三維局部坐標系o′-x′y′z′下聲場可降為二維軸對稱局部坐標系o′-rz′下聲場，根據(jù)局部二維坐標下各點源到場點水平距離r 和豎直距離z′求解各點源對場點的聲場作用G （r, z′ ）即G （x′ , y′, z′ ）（其中x′=rcos?，y′=rsin?，? 為r 軸與x 軸夾角），然后通過局部坐標系與全局坐標系的轉(zhuǎn)換關(guān)系建立各點源在全局坐標系下的聲場作用G （x, y,z ）。首先將局部坐標系聲場函數(shù)G （x′ , y′, z′ ）沿x 方向、y 方向和z 方向分別平移Δx、Δy 和Δz， 得到全局坐標系下聲場G （xi, yi, zi），平移變換矩陣為

然后再將全局坐標系下聲場函數(shù)G （xi, yi, zi）繞z 軸順時針旋轉(zhuǎn)角度θ， 得到與全局坐標系o-xyz下的聲場函數(shù)G （x, y,z ），旋轉(zhuǎn)變換矩陣為

通過局部坐標o′-rz′到全局坐標o-xyz 的轉(zhuǎn)換， 可求得各局部坐標下點源聲場函數(shù)G （r, z′ ）對全局坐標系下結(jié)構(gòu)表面的作用G （x, y,z ）。

由（9）式和（11）式可知，該方法計算的基本思路為:首先通過有限元法建立淺海波導(dǎo)下彈性結(jié)構(gòu)聲輻射數(shù)值模型，計算獲取結(jié)構(gòu)表面法向速度U，然后通過波疊加法以及傳輸函數(shù)G 進行虛擬源源強Q 求解，最后結(jié)合單極矩陣T 便可計算在任意場點的輻射聲場P。

2 數(shù)值分析

2.1 方法準確性與高效性分析

如圖2 所示，建立了淺海波導(dǎo)下脈動球有限元模型，波導(dǎo)深度h=50 m，海面為Dirichlet 邊界，海底為Neumann 邊界，流體四周無限大邊界。 小球中心深度為zs=25 m，半徑為r0=3 m，表面施加均勻振速ua，數(shù)值計算獲取表面振動數(shù)據(jù)，然后采用波疊加法計算場點聲場信息。

圖2 淺海波導(dǎo)下脈動球聲輻射有限元模型Fig.2 The finite element model of spherical shell in shallow water waveguide

如圖3 所示， 利用本文淺海波導(dǎo)下輻射聲場波疊加計算式即（11） 式計算了淺海波導(dǎo)下脈動球輻射聲壓級隨距離的變化曲線（各場點深度為h2=30 m），并分別與解析解法即（14）式、有限元法計算結(jié)果進行了對比分析，驗證了該方法計算聲場的可靠性。

圖3 波疊加法計算結(jié)果驗證Fig.3 The verification of wave superposition method

圖4 FFP 與Kraken 計算結(jié)果對比Fig.4 The comparison between FFP and Kraken

雖然采用簡正波法存在一定的近場聲場計算精度問題， 但從遠場波疊加法聲場計算結(jié)果驗證來看，其計算精度是滿足要求的。為了說明采用簡正波法的聲場波疊加計算精度問題，本節(jié)采用最為精準的波數(shù)積分法計算程序FFP 與簡正波計算程序Kraken 進行了計算結(jié)果對比分析。 計算環(huán)境以Pekeris波導(dǎo)為例，海水密度ρw=1 024 kg/m3，聲速cw=1 500 m/s；半無限液態(tài)海底密度ρw=1 800 kg/m3，海底聲速cw=2 500 m/s；海水深度h=200 m，聲源深度zs=100 m，接收點深度zr=50 m，如圖4 所示，分別采用FFP 和Kraken 計算了點源在淺海波導(dǎo)內(nèi)的傳播損失曲線對比圖。

從圖4 可知，采用簡正波法與波數(shù)積分法計算結(jié)果在近場存在一定偏差，且波數(shù)積分法計算結(jié)果更為準確，當(dāng)達到一定距離后，兩者的計算結(jié)果基本吻合。 但因簡正波的推導(dǎo)簡單， 低頻計算效率高，所以本文采用簡正波進行波疊加法中聲傳輸函數(shù)的求解，且聲場波疊加法計算精度也是滿足要求的。 為了進一步完善淺海下結(jié)構(gòu)聲輻射預(yù)報理論體系，提高波疊加法計算精度，后續(xù)將通過從波數(shù)積分法改進淺海波導(dǎo)聲傳輸函數(shù)、優(yōu)化結(jié)構(gòu)表面測點和虛擬源布放方式進行深入研究。

表1 不同距離范圍聲場計算時間Tab.1 The calculation time of different distance range

為了顯示該方法在進行淺海波導(dǎo)下彈性結(jié)構(gòu)輻射聲場計算方面的高效性， 以下采用該方法對不同計算距離范圍進行了時間測試，如表1 所示。

從圖3、圖4 和表1 可看出，該方法計算結(jié)果不僅與解析解法、有限元法計算結(jié)果吻合很好，而且計算效率高，能夠快速準確進行淺海波導(dǎo)下任意結(jié)構(gòu)輻射聲場預(yù)報。

2.2 典型淺海波導(dǎo)下圓柱殼聲輻射分析

建立如圖5 所示的理想淺海下彈性圓柱殼聲輻射多物理場耦合有限元模型，淺海深度h=50 m，海面為Dirichlet 邊界，海底為Neumann 邊界。結(jié)構(gòu)為彈性圓柱殼，半徑a=3 m，長度l=30 m，厚度d=0.01 m，材料為鋼（密度ρs=7 850 kg/m3，楊氏模量Es=2.05×1011Pa，泊松比us=0.28），圓柱殼中心距水面為25 m，在圓柱殼中間施加徑向簡諧力Fr=1 000 N，結(jié)構(gòu)邊界為自由邊界，h2為圓柱殼軸線方向上各個場點距離水面的距離。

圖5 淺海波導(dǎo)下結(jié)構(gòu)聲輻射模型Fig.5 Acoustic radiation model of structure in shallow water waveguide

首先采用有限元法對淺海下彈性圓柱殼聲輻射進行建模計算，獲取了圓柱殼表面附近192 個測點的振動數(shù)據(jù)。根據(jù)文獻[18]虛擬源布放建議，在離散的結(jié)構(gòu)內(nèi)部空間均勻布放162 個虛擬源，虛擬源源面為與彈性結(jié)構(gòu)共形的圓柱面，其中虛擬圓柱面長為24 m，半徑為2.4 m。 通過（9）式計算虛擬源源強后，采用（11）式計算了各個虛擬源在任意場點的疊加聲場。 等效計算彈性結(jié)構(gòu)輻射聲場后，便可研究淺海下彈性圓柱殼輻射聲場特性。

2.2.1 遠距離聲輻射曲線

圖6 不同頻率的輻射曲線Fig.6 Radiation curves at different frequencies

采用圖5 所示的有限元數(shù)值模型計算獲取圓柱殼結(jié)構(gòu)在典型淺海波導(dǎo)下的圓柱殼表面振動數(shù)據(jù)，再通過波疊加法和淺海波導(dǎo)傳輸函數(shù)計算淺海下任意場點的聲場信息。 如圖6 所示，分別給出了淺海波導(dǎo)下彈性圓柱殼不同頻率所對應(yīng)的輻射聲壓級隨水平距離變化曲線， 各場點連線與圓柱殼軸線平行，各個場點的深度取為h2=30 m。在結(jié)構(gòu)近場附近，輻射聲場受到結(jié)構(gòu)尺寸影響較大，輻射聲壓級曲線變化較為復(fù)雜。 由于場點聲場受到淺海波導(dǎo)上下界面的干涉疊加影響， 圓柱殼在整個距離上的輻射聲場發(fā)生了相長和相消的疊加，聲壓級曲線波動明顯。 但當(dāng)場點距源中心達到一定距離后，輻射聲場受結(jié)構(gòu)尺寸影響較小，其輻射聲壓級衰減規(guī)律按柱面波即滿足-10lg（r）衰減。 因整個聲場計算是由多個虛擬源產(chǎn)生聲場疊加而來的，所以總聲場的波動規(guī)律相對于單個點源聲場波動細節(jié)較多。 在近場，場點與各個虛擬源之間距離的大小相差較大，導(dǎo)致在采用（11）式進行聲場計算時，所涉及的單極矩陣T 相差也較大，即進行了不同相位和幅度的聲場疊加計算，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)近場輻射聲場波動比較復(fù)雜。 在遠場，由于場點距虛擬源的距離遠大于各個虛擬源之間的距離，各個虛擬源與場點之間的距離相差較小，所以各虛擬源在場點產(chǎn)生聲場近似為同相疊加，疊加的總聲場波動規(guī)律較為穩(wěn)定，聲壓級按-10lg（r）遞減規(guī)律進行衰減。

2.2.2 空間聲場分布

圖7 空間場點選取示意圖Fig.7 The diagram of space field selection

圖8 不同流體環(huán)境下輻射聲壓對比Fig.8 The comparison of sound pressures in different fluid environments

為顯示圓柱殼在垂直方向上的近場聲場分布特性，按圖7（a）所示的場點選取方式（場點選擇在距離結(jié)構(gòu)中心h2=25 m 的圓周上，圓周所在平面垂直圓柱殼軸線，極角90°和270°處分別對應(yīng)淺海海面和海底），利用波疊加法計算了50 Hz、100 Hz、200 Hz 和300 Hz 頻率下，圓柱殼輻射聲壓在不同流體環(huán)境中的空間聲場分布，并分別與相同條件下圓柱殼在自由場、半空間流體環(huán)境中計算結(jié)果進行比對分析，如圖8 所示。通過對比三種流體環(huán)境下輻射聲場空間分布可看出， 邊界的存在會使在靠近邊界處的聲場分布出現(xiàn)較大波動，淺海波導(dǎo)下結(jié)構(gòu)輻射聲場由于同時受淺海波導(dǎo)上下界面的影響，在深度方向上聲場為駐波場，各個駐波干涉疊加導(dǎo)致在整個圓周上均出現(xiàn)明顯的旁瓣。 在不同頻率時，下界面和上界面對整個圓柱殼輻射聲場分布影響作用不同，如當(dāng)頻率為200 Hz 時，在上半圓周上的聲場分布已經(jīng)受到了淺海下邊界反射聲的嚴重影響，而不會出現(xiàn)在其他頻率如50 Hz、100 Hz 和300 Hz 時，淺海和半空間環(huán)境下輻射聲場在上半圓周的聲場分布情況趨于一致。 相對于較高頻率，根據(jù)簡正波理論[1]，50 Hz頻率下在深度方向上只有3 階簡正波且對應(yīng)波長較長， 聲場干涉不明顯， 輻射聲壓空間分布波動較小，在豎直方向上的空間分布曲線類似為圓形。 隨著頻率的增加，在深度方向上的簡正波數(shù)目和聲場波動細節(jié)增加，輻射聲壓空間分布曲線的旁瓣數(shù)量增加。 而由于淺海下場點聲場由不同成分的反射聲與直達聲干涉疊加構(gòu)成，結(jié)構(gòu)在淺海下疊加的總聲壓幅值均大于自由場以及半空間下的聲壓幅值。

圖9 為在水平面上選取了不同深度場點下的輻射聲壓級（單位:dB）空間分布，場點選取如圖7（b）所示，場點在水平距圓柱殼中心hs=1 000 m 處的水平圓周上，各場點距離水面距離為h2，極角0°和90°處分別對應(yīng)圓柱殼端面與側(cè)面。 可看出，在水平方向上，界面反射聲對圓周上各個場點的影響作用相同，所以聲場分布特性主要與結(jié)構(gòu)本身的輻射聲場相關(guān)。 在低頻段時，結(jié)構(gòu)輻射聲場指向性分布不明顯，且結(jié)構(gòu)在水平方向的輻射聲場為擴散聲場，無駐波的干涉作用。 頻率為30 Hz 時，圓柱殼在不同場點深度下的空間聲場分布均為圓形，說明在30 Hz 處的輻射聲場可等效為單極點源聲場，而其他頻率下聲場空間分布特性在不同場點深度下會出現(xiàn)明顯的分布差異，結(jié)構(gòu)源不可等效為點源。

2.2.3 簡正波模式分析

淺海波導(dǎo)下圓柱殼輻射聲場受到了淺海上下界面的限制，在深度方向存在簡正波。 為了研究駐波中簡正波模式對圓柱殼聲輻射的影響， 圖10 分別計算了60 Hz 頻率下只保留1 個、2 個、3 個和4 個簡正模式（（3）式中n=1, 2, 3, 4）的圓柱殼聲輻射曲線。 由（11）式可知，圓柱殼在任意場點的輻射聲場是由多模式疊加作用的結(jié)果，隨著簡正波模式的增加，圓柱殼聲輻射曲線的細節(jié)也在增加。

圖10 不同簡正波模式的輻射曲線Fig.10 Radiation curves at different normal modes

為了分析各模式輻射聲場特性，可以把淺海下聲場傳輸函數(shù)（（3）式）表示為簡化的聲強形式

當(dāng)采用（11）式進行結(jié)構(gòu)聲輻射聲場計算時，在傳輸函數(shù)G（r, z）中只保留一個模式，復(fù)聲壓包含振蕩項ejξrr，包絡(luò)曲線是平滑的；保留兩個模式時，聲強包含了cos ［（ξr1-ξr2）r ］，聲輻射曲線出現(xiàn)了波動，而且干涉曲線的重復(fù)尺度遠大于該頻率下的波長；當(dāng)G（r, z）保留3 個以上的輻射模式，聲強表達式包含的級數(shù)項進一步增多，干涉結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性加大。

3 結(jié) 論

本文采用WSM 進行了三維理想淺海下彈性圓柱殼輻射聲場特性的研究，主要結(jié)論如下:

（1） 在近距離處，淺海波導(dǎo)下圓柱殼各頻率所對應(yīng)的聲輻射曲線受結(jié)構(gòu)尺寸影響較大，聲場分布較為復(fù)雜；在遠距離處，由于結(jié)構(gòu)尺寸對聲場影響減小，輻射聲場波動規(guī)律穩(wěn)定，按柱面波擴展規(guī)律波動，即輻射聲壓級隨水平距離r 的變化按-10lg（r）進行擴展。

（2） 在豎直方向空間聲場分布上，由于聲場受上下界面影響，輻射聲場為駐波場。 淺海波導(dǎo)下的聲場分布不同于自由場以及半空間下聲場分布，其聲場分布差異隨著頻率的增加而增大；在水平方向的空間聲場分布上，輻射聲場為擴散場。 且在低頻處（如本文分析頻段30 Hz 處），遠場圓柱殼空間聲場分布可等效為無指向性點源聲場，而其他頻率下輻射聲場出現(xiàn)明顯的指向性分布，不可等效為點源聲場，必須以圓柱殼作為實際輻射源進行聲場計算，以獲取其真實的聲場分布特征。

（3） 結(jié)構(gòu)內(nèi)部某一虛擬源在場點的聲場是由各個模式簡正波疊加計算獲取的，且不同簡正波模式下的疊加數(shù)目不同，導(dǎo)致最終結(jié)構(gòu)輻射聲場波疊加計算的干涉曲線波動規(guī)律不同，隨著傳輸函數(shù)中簡正模式的增加，輻射曲線波動細節(jié)增多，波疊加法的計算結(jié)果更為精確。