劉 峰，鄭思行

（中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院研究發(fā)展中心，北京，100076）

0 引 言

固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)相對于液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)而言，不需要燃料的加注過程，操控靈活[1,2]，具備快速響應(yīng)能力，受到各國的高度重視。

相對于液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的性能，固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的推力和流量隨時(shí)間和溫度等偏差因素而變化，地面試車也只能開展有限偏差因素的試驗(yàn)。

固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推力等性能參數(shù)受到多種偏差因素影響，固體發(fā)動(dòng)機(jī)性能參數(shù)形成的內(nèi)彈道曲線一般以給定偏差下隨時(shí)間變化的推力等參數(shù)表示，不同的偏差因素不但影響推力大小，而且影響工作時(shí)間的長短，因而難以只通過時(shí)間對其對固體發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)彈道曲線進(jìn)行插值。固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)效果示意如圖1所示。

本文給出一種基于自變量與因變量同時(shí)變化的性能參數(shù)雙線性插值方法，雙線性插值方法常用于圖像處理、導(dǎo)航計(jì)算等方面[3~8]，一般用于處理相互正交的輸入量。本文提出的方法針對自變量（時(shí)間和偏差因素）相關(guān)的情況，基于其中性能參數(shù)（燃料質(zhì)量）的不變性，確定自變量之間同步變化的比例關(guān)系，形成改進(jìn)的雙線性插值方法，拓展了該方法的應(yīng)用范圍。

1 雙線性插值方法研究

1.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

基于固體助推性能參數(shù)的插值方法中，偏差因素包括溫度、裝藥量、燒蝕率等，以不同溫度下的隨時(shí)間變化的推力曲線為例，首先通過數(shù)據(jù)預(yù)處理，確定插值原始數(shù)據(jù)的選取和雙線性插值中的比例系數(shù)。

一般而言，不管固體發(fā)動(dòng)機(jī)的推力、流量、比沖等性能參數(shù)隨時(shí)間和偏差因素等如何變化，其總?cè)剂舷目偸且欢ǖ模势淇倹_是一定的。因此，通過流量積分得到燃料消耗量變化曲線，以終端燃料消耗量相等為條件，獲得不同偏差因素下的不同時(shí)間長度的固體助推性能參數(shù)內(nèi)彈道曲線，作為開展插值算法研究的基礎(chǔ)。

在本文中，自變量設(shè)定為時(shí)間和溫度，因變量為發(fā)動(dòng)機(jī)的推力曲線。以給定的性能參數(shù)表的對應(yīng)溫度稱為節(jié)點(diǎn)溫度，設(shè)固體助推的性能參數(shù)如下：

基于不同溫度的性能參數(shù)，時(shí)間尺度為不同溫度數(shù)據(jù)的最大時(shí)間；推力尺度為不同溫度數(shù)據(jù)的推力對時(shí)間的積分，有：

1.2 對輸入輸出的尺度變換

計(jì)算時(shí)間尺度和推力尺度如下：

根據(jù)性能參數(shù)的特點(diǎn)，在查表前對自變量時(shí)間進(jìn)行線性插值縮放，以采用溫度對應(yīng)的固體助推性能參數(shù)表進(jìn)行插值為例，其線性縮放關(guān)系如下：

1.3 基于不同數(shù)據(jù)的加權(quán)

相對于線性加權(quán)，該種加權(quán)方式對應(yīng)溫度在節(jié)點(diǎn)溫度附近時(shí)，與節(jié)點(diǎn)溫度高度近似，在遠(yuǎn)離節(jié)點(diǎn)溫度時(shí)，按照線性關(guān)系過渡。

在基于固體助推性能參數(shù)的插值方法中，首先對自變量時(shí)間進(jìn)行線性插值以便縮放到節(jié)點(diǎn)溫度上計(jì)算性能參數(shù)，然后對因變量推力進(jìn)行線性插值將其縮放到當(dāng)前溫度下，方法涉及兩次插值，故將該方法稱為雙線性插值方法。

2 雙線性插值仿真分析

固體助推性能參數(shù)插值方法對固體發(fā)動(dòng)機(jī)性能參數(shù)的插值計(jì)算，主要用于支持包含固體發(fā)動(dòng)機(jī)開展六自由度打靶仿真試驗(yàn)中及固體發(fā)動(dòng)機(jī)偏差因素下性能參數(shù)的計(jì)算，其設(shè)備示意如圖2所示。

圖2 六自由度打靶仿真試驗(yàn)設(shè)備示意Fig.2 Schematic Diagram of 6DOF Target Simulation Test Equipment

雙線性插值算法仿真流程如圖3所示。

圖3 雙線性插值算法仿真流程示意Fig.3 Simulation Flow Chart of Bilinear Interpolation Algorithm

以某運(yùn)載火箭固體發(fā)動(dòng)機(jī)的推力曲線為例，已知10 ℃、20 ℃和30 ℃的時(shí)間推力曲線如圖4所示，基于10 ℃和30 ℃插值得到20 ℃的時(shí)間推力曲線如圖4所示。

圖4 某固體發(fā)動(dòng)機(jī)20℃溫度下的推力曲線Fig.4 Thrust Curve Comparison of a Solid Rocket Engine at 20℃ Temperatures

由圖4可知，中間20 ℃的粗線與細(xì)線幾乎重疊，相對偏差小于0.6%，在此用試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了雙線性插值方法的合理性和有效性。

為了提高插值方法的展示度，在下方10 ℃和上方30 ℃的原始時(shí)間推力曲線上疊加不同幅度和頻率的波動(dòng)如圖5所示。

圖5 某固體發(fā)動(dòng)機(jī)3種溫度下的時(shí)間推力曲線Fig.5 Time Thrust Curve of a Solid Rocket Engine at Three Temperatures

通過雙線性插值可以得到任意溫度間隔的推力曲線，以間隔插值1 ℃為例得到的時(shí)間推力曲線如圖6所示。

圖6 某固體發(fā)動(dòng)機(jī)雙線性插值的時(shí)間推力曲線Fig.6 Time Thrust Curve of Bilinear Interpolation for a Solid Rocket Engine

由圖6可知，任意溫度下的時(shí)間推力曲線完全適應(yīng)插值節(jié)點(diǎn)溫度下時(shí)間推力曲線的任意變化，插值得到的時(shí)間推力曲線實(shí)現(xiàn)了從一個(gè)溫度到另一個(gè)溫度的連續(xù)漸變，變化結(jié)果符合預(yù)期。該方法一般用于內(nèi)插，在試驗(yàn)數(shù)據(jù)的線性規(guī)律較強(qiáng)時(shí)可以適度進(jìn)行外插。

3 結(jié) 論

本文提出的雙線性插值方法，對給定的少數(shù)幾組偏差下的性能參數(shù)，能夠插值得到任意偏差下的隨時(shí)間變化的固體發(fā)動(dòng)機(jī)推力、比沖、流量等性能參數(shù)，該方法得到了試驗(yàn)數(shù)據(jù)的驗(yàn)證，為采用固體發(fā)動(dòng)機(jī)的飛行器的控制系統(tǒng)六自由度仿真試驗(yàn)的偏差模型建模提供了重要的數(shù)據(jù)處理方法。