王新寬，王桂寶，賈建科

(陜西理工大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院，陜西 漢中 723001)

0 引 言

在陣列天線的許多應(yīng)用場(chǎng)合，要求天線具有窄波束以提高分辨率，而容許犧牲掉一些天線增益[1]。因此，可以從一個(gè)固定口徑、單元規(guī)則排列的滿陣中隨機(jī)抽取掉部分單元來形成所需的方向圖，這種陣列被稱為稀疏陣列(簡(jiǎn)稱稀疏陣)。稀疏陣的特點(diǎn)是單元隨機(jī)分布在一組間距為半波長(zhǎng)的柵格上。如果陣列的單元不被限制在這些柵格上，而是在整個(gè)孔徑的范圍內(nèi)隨機(jī)分布，就會(huì)形成稀布陣列天線(簡(jiǎn)稱稀布陣)。圖1給出了一種6單元稀疏及稀布陣列天線的示意圖。圖1中，符號(hào)“×”代表柵格位置；符號(hào)“”代表該位置上存在天線單元。稀疏/稀布陣列天線的優(yōu)點(diǎn)在于能夠顯著降低天線的重量、成本、以及功率損耗，可以獲得相對(duì)于滿陣更低的旁瓣電平(sidelobe level, SLL)而不會(huì)引起主瓣波束的明顯展寬。而且，稀疏/稀布陣列設(shè)計(jì)方案也為緩解緊密排列的含T/R組件的有源陣列單元的散熱問題提供了可行的解決措施[1]?；谏鲜鲈?，尋找優(yōu)異的陣列綜合算法，用于指導(dǎo)稀疏/稀布陣列天線的設(shè)計(jì)，具有潛在的工程應(yīng)用價(jià)值。

圖1 稀疏/稀布陣列天線示意圖Fig.1 Sketches of thinned/sparse array

與稀疏陣相比，稀布陣的單元不必限制在有限的柵格位置上，從而具有更高的自由度來實(shí)現(xiàn)低副瓣。多年來，針對(duì)稀疏/稀布陣列天線的方向圖綜合一直是陣列天線領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。各種隨機(jī)優(yōu)化算法，比如遺傳算法(genetic algorithm, GA)[2-5]，蟻群算法(ant colony optimization, ACO)[6]，粒子群算法(particle swarm optimization, PSO)[7-10]，差分進(jìn)化算法(differential evolution, DE)[11-12]等，已被廣泛用于稀疏/稀布陣列天線的方向圖綜合。在上述幾種算法中，DE算法因具有更好的全局收斂特性，且控制參數(shù)較少，魯棒性高的特點(diǎn)，成為近些年來稀布陣列綜合的主流算法之一。盡管如此，這些算法的共同特點(diǎn)是只適用于含有少量單元的小型陣列。對(duì)于尺寸比較大的陣列，隨著單元數(shù)目的增加，采用上述隨機(jī)優(yōu)化算法不但會(huì)消耗相當(dāng)多的計(jì)算資源，而且很難求得最優(yōu)解。為此，文獻(xiàn)[13]引入一種稱作迭代傅里葉算法(iterative Fourier transform, IFT)的方案用于稀疏陣的綜合。所得結(jié)果表明，該算法不但收斂速度快，而且適用于綜合各種不同尺寸的稀疏直線陣以及稀疏平面陣列[13-14]。盡管如此，對(duì)于單元數(shù)較多的稀布陣列的方向圖綜合，尚缺乏較好的解決方案。其原因在于，與稀疏陣相比，稀布陣的綜合需要考慮到天線孔徑、單元最小間距，單元數(shù)目等多種約束條件，并由于單元分布具有更大的隨機(jī)性，導(dǎo)致隨著單元數(shù)目的增多，算法的尋優(yōu)空間被大幅度擴(kuò)展，使得采用隨機(jī)優(yōu)化算法難以跳出局部解。近年來，有學(xué)者把貝葉斯壓縮采樣(Bayesian compressive sampling, BCS)方法應(yīng)用于綜合含有較多單元的稀布陣列天線[15-16]，取得了較好的效果。然而，基于BCS的方法，要求單元為非均勻激勵(lì)，并且為了滿足方向圖的特定要求，通常會(huì)產(chǎn)生相鄰單元的激勵(lì)幅度比過大的情況，這樣會(huì)導(dǎo)致饋電成本的大幅增加。

文獻(xiàn)[17]通過把迭代傅里葉算法和差分進(jìn)化算法相結(jié)合，提出了一種唯位置綜合的稀布直線陣列綜合方法，簡(jiǎn)稱IFT-DE。該方法首先采用IFT算法獲得一個(gè)單元相位為零且等功率饋電、柵格間距為半波長(zhǎng)的稀疏陣列。然后，選取該陣列中，間距大于半波長(zhǎng)的單元作為優(yōu)化對(duì)象(也就是假定單元最小間距為半波長(zhǎng)，這樣可以有效降低互耦效應(yīng)的影響)，采用DE算法，對(duì)這些單元的位置進(jìn)行優(yōu)化以尋找具有更低副瓣的單元分布。根據(jù)上述對(duì)單元最小間距的假定，執(zhí)行完算法的第一步后，絕大部分單元的位置將被固定下來，只有少量的單元參與到算法第二步的優(yōu)化進(jìn)程。這樣使得DE個(gè)體中的優(yōu)化變量數(shù)目大幅減少，從而也大幅縮小了算法的尋優(yōu)空間，促進(jìn)了算法的加速收斂。研究結(jié)果表明，與IFT方法相比，IFT-DE算法能夠在不展寬陣列方向圖的波束寬度情況下，使其旁瓣電平值降低約1～3 dB[17]。

本文在文獻(xiàn)[17]所述算法的基礎(chǔ)上，提出了一種設(shè)計(jì)低副瓣稀布陣列天線的改進(jìn)方案。該方案中，針對(duì)被選中的待優(yōu)化單元，不僅考慮這些單元的位置，還考慮其激勵(lì)相位，也就是采用DE算法對(duì)這些單元的位置和相位同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化以獲取具有更低副瓣的稀布陣列天線。更進(jìn)一步，在對(duì)算法程序稍加修改后，本文還把該算法擴(kuò)展到含有較多單元的二維稀布平面陣的低副瓣綜合。通過對(duì)不同尺寸的稀布直線陣及一些稀布平面陣進(jìn)行仿真后的結(jié)果表明，本方案能夠行之有效地應(yīng)用于較大尺寸稀布陣列天線的低副瓣綜合。

1 算法描述

1.1 陣列模型

假定一直線陣列，含有N個(gè)零相位、均勻激勵(lì)的理想輻射單元，其陣因子可表示為

(1)

(1)式中：u=sinθ(θ指遠(yuǎn)場(chǎng)方向和陣列法向的夾角)；An代表第n個(gè)單元的激勵(lì)；k為波數(shù)；d為單元間距。若單元保持不變，陣列為一M行N列的矩形平面陣，其陣因子可表示為

(2)

(2)式中：Amn代表柵格位置為(m,n)點(diǎn)的單元激勵(lì)；u=sinθcosφ，v=sinθsinφ，其中，φ代表方位角，θ為天頂角。對(duì)于稀疏陣列，在相位為零，均勻激勵(lì)情況下，An和Amn的取值只能為1或0。若取1代表相應(yīng)位置存在單元，取0則代表不存在。為方便起見，把所有An及Amn的集合分別記作{An}和{Amn}。這樣，從(1)式和(2)式以及Fourier級(jí)數(shù)理論，當(dāng)單元間距為半波長(zhǎng)時(shí)，{An}和FL(u)，以及{Amn}和FS(u,v)分別構(gòu)成一維及二維傅里葉變換對(duì)。

1.2 算法流程

本算法的執(zhí)行過程可分為2部分：①采用IFT算法獲得一個(gè)各單元均勻激勵(lì)且相位為零的稀疏陣列；②針對(duì)此陣列，選取相鄰間距大于半波長(zhǎng)的單元作為研究對(duì)象，把這些單元的位置和相位分別作為待優(yōu)化的個(gè)體變量，采用差分進(jìn)化算法進(jìn)行優(yōu)化，以獲得具有更低副瓣的稀布陣列。為了詳細(xì)描述該算法的流程，以上述直線陣列模型為例，并假定陣列的填充因子為f0，對(duì)該算法的步驟闡述如下。

1)利用IFT算法獲得一個(gè)稀疏直線陣列。

①隨機(jī)初始化單元激勵(lì){An}，使得An的值以相等的概率置1或0。

②對(duì){An}施加K點(diǎn)IFFT以得到陣列因子FL(u)，其中，K的大小需滿足采樣定理。

③在FL(u)的K個(gè)采樣點(diǎn)中，選擇位于旁瓣區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)并對(duì)其重新賦予一個(gè)預(yù)設(shè)的旁瓣電平值。

④對(duì)更新后的FL(u)施加K點(diǎn)FFT，得到新的點(diǎn)集{Ap|p=1,2,3,…,K}，它對(duì)應(yīng)K個(gè)單元激勵(lì)，簡(jiǎn)記為{Ap}。

⑦重復(fù)步驟②—⑥，直到相鄰2次迭代獲得相同的單元分布，或者達(dá)到設(shè)定的最大迭代次數(shù)后，算法的第一部分結(jié)束。

2)針對(duì)上述得到的稀疏陣列，選擇相鄰間距大于半波長(zhǎng)的單元作為優(yōu)化對(duì)象，采用差分進(jìn)化算法，分別對(duì)這些單元的位置和相位進(jìn)行優(yōu)化，以尋找具有更低副瓣的稀布陣列。具體步驟如下。

①確定待優(yōu)化的單元編號(hào)l=1,2,…,L，把其位置標(biāo)記為{bl|l=1,2,…,L}，簡(jiǎn)記為{bl}。為了闡述選取規(guī)則，以圖2所示含有8個(gè)柵格，5單元填充的稀疏直線陣為例進(jìn)行說明?？梢钥闯?，編號(hào)為1st, 2nd, 3rd, 4th的單元滿足間距大于半波長(zhǎng)的條件，因此，它們將被選中作為繼續(xù)優(yōu)化的對(duì)象，而2nd與3rd之間的單元將被固定在其初始位置，無需優(yōu)化。

圖2 待優(yōu)化單元的位置變化范圍示意圖Fig.2 Sketch to describe the location range of the elements to be optimized

②確定DE的種群規(guī)模與個(gè)體向量。

假定DE的當(dāng)前種群可表示為

Pg={Xi,g|i=1,2,…,I}

(3)

(3)式中：Xi,g代表第g代種群中的第i個(gè)個(gè)體；I為種群規(guī)模。把被選中單元的位置和相位設(shè)為待優(yōu)化的參數(shù)，從而個(gè)體向量Xi,g可以記作

Xi,g={xl,i,g,pl,i,g|l=1,2,…,L}

(4)

(4)式中：L為待優(yōu)化的單元數(shù)目；xl,i,g和pl,i,g分別代表第l個(gè)待優(yōu)化單元的位置和相位。

③確定個(gè)體向量中參數(shù)的變化范圍。

從(4)式可看出，個(gè)體向量的參數(shù)包括位置參數(shù)和相位參數(shù)。對(duì)于相位參數(shù)pl,i,g,l=1,2,…,L，統(tǒng)一設(shè)定相位的變化范圍位于(0,π)之內(nèi)。對(duì)于位置參數(shù)xl,i,g,l=1,2,…,L，設(shè)定其變化范圍為

(5)

(6)

依據(jù)(6)式，可以依次確定每個(gè)單元的移動(dòng)范圍，即參數(shù)xl,i,g的變化范圍。需要說明的是，若待優(yōu)化單元處于陣列最外圍位置，則該單元可移動(dòng)的上限可以到達(dá)陣列孔徑最邊緣的柵格位置。為了更直觀地描述，圖2中用雙箭頭標(biāo)出了編號(hào)分別為1st, 2nd,3rd,4th單元的位置變化范圍。

④初始化種群中的個(gè)體。

對(duì)種群中的個(gè)體參數(shù)初始化如下。

(7)

(7)式中，l=1,2,…,L,i=1,2,…,I，R代表(0,1)之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。利用(7)式進(jìn)行種群初始化后，分別進(jìn)行變異(變異算子取DE/rand/1)、二項(xiàng)式交叉、選擇等操作以產(chǎn)生新的種群，并把具有最佳適應(yīng)度的個(gè)體作為迄今為止的最佳個(gè)體保留下來，進(jìn)入下一代進(jìn)化過程，直到達(dá)到預(yù)設(shè)的最大進(jìn)化代數(shù)為止，就完成了一次完整的數(shù)值試驗(yàn)。之后，算法又重新初始化，進(jìn)入下一次數(shù)值試驗(yàn)。圖3給出了算法流程圖。

圖3 算法流程圖Fig.3 Flowchart of the proposed algorithm

2 計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果

為了說明算法的有效性,以下分直線陣和矩形平面陣2種情況進(jìn)行討論。算法的試驗(yàn)次數(shù)為100次，并設(shè)定DE的種群規(guī)模和最大進(jìn)化代數(shù)均為20，縮放因子和交叉概率分別取0.7和0.9。

2.1直線陣列

首先考慮在一個(gè)含有100個(gè)柵格位置，填充因子為76%的對(duì)稱稀疏陣基礎(chǔ)上，綜合一個(gè)相位和位置均對(duì)稱分布的稀布陣列，所得結(jié)果如圖4，圖5。圖4a給出了分別執(zhí)行完算法第1步(僅執(zhí)行IFT算法)和算法第2步(采用DE對(duì)被選中單元的位置和相位進(jìn)行優(yōu)化)后的適應(yīng)度收斂情況。對(duì)比后可以看出，通過對(duì)部分單元的位置和相位進(jìn)行優(yōu)化后，適應(yīng)度函數(shù)值有了較大幅度的下降。在第68次試驗(yàn)時(shí)，適應(yīng)度達(dá)到最小值-24.74 dB，分別比文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[17]中的結(jié)果低約4.2 dB和1.18 dB。圖4b給出了與最小適應(yīng)度對(duì)應(yīng)的稀布陣列天線的方向圖。為了說明算法的執(zhí)行過程，對(duì)于第68次試驗(yàn)，圖5a描述了執(zhí)行完算法第1步后得到的稀疏陣列的單元分布及其激勵(lì)幅值。由于等幅激勵(lì)且不考慮相位，所有單元的激勵(lì)值均被記作一個(gè)歸一化的幅度值1，圖5a中，頂端為圓環(huán)的記號(hào)代表該處單元保持其位置不變，而頂端為方形的記號(hào)代表該位置的單元滿足相鄰間距大于半波長(zhǎng)的條件，因此將是待優(yōu)化的對(duì)象?？梢钥闯?，在含有76個(gè)單元的稀疏陣中，共有28個(gè)單元滿足此條件?？紤]到對(duì)稱性，僅有14個(gè)單元的位置和相位需要被優(yōu)化，從而DE中的個(gè)體向量共含有28個(gè)可變參數(shù)。圖5b，圖5c分別給出了執(zhí)行完DE算法后，被優(yōu)化單元的位置及其相位分布。與優(yōu)化前相比較可以看出，被優(yōu)化單元的位置在原來的柵格位置附近發(fā)生了一定范圍的擾動(dòng)，但是仍滿足單元最小間距不小于半波長(zhǎng)的約束條件。并且，這些單元的相位也不再是零值。表1列出了被優(yōu)化單元的最終位置和相位值。同樣，若保持初始稀疏陣列的柵格數(shù)不變，但填充因子分別增加到78%和80%，利用本算法得到的稀布陣的旁瓣電平值分別為-24.25 dB和-23.51 dB，與文獻(xiàn)[3，6]中的結(jié)果相比，分別降低約3.7 dB和3.0 dB。與文獻(xiàn)[17]中的結(jié)果相比，旁瓣電平降低約1.3 dB。

表1 圖5b，圖5c描述的單元位置和相位

圖5 稀布陣列的單元數(shù)為76時(shí)， 單元的位置及其相位分布Fig.5 When the number of element within sparse array is 76, the element positions and phases

類似地，稀布陣列的單元數(shù)為132時(shí)，算法的收斂曲線，以及最佳陣列的方向圖如圖6。初始稀疏陣列含有200個(gè)柵格，填充因子為66%且單元對(duì)稱分布，通過100次數(shù)值試驗(yàn)后，得到的最佳適應(yīng)度值為-24.72 dB，見圖6a。圖6b給出了與該適應(yīng)度對(duì)應(yīng)的稀布陣的方向圖。與文獻(xiàn)[13]中的結(jié)果相比，該方向圖的旁瓣電平值下降了1.86 dB，而3 dB波束寬度(用Φ表示)只展寬了0.035度。圖7給出了稀布陣列的單元位置及其相位分布。圖7a描述了僅采用IFT算法得到的初始稀疏陣列的單元分布?？梢园l(fā)現(xiàn)，在總數(shù)為132的單元中，共有38個(gè)單元被選中作為繼續(xù)優(yōu)化的對(duì)象。圖7b，圖7c描述了優(yōu)化后，上述被選中單元的位置及其相位分布?？梢钥闯?，優(yōu)化后單元的位置和相位仍保持對(duì)稱分布。同樣，當(dāng)稀疏陣的填充因子增加到77%時(shí)，所得稀布陣的旁瓣電平值為-24.89 dB，比文獻(xiàn)[13]中的結(jié)果降低了1.97 dB,而波束寬度僅展寬了0.012度。與文獻(xiàn)[17]中的結(jié)果相比，旁瓣降低約0.85 dB。表2對(duì)本文結(jié)果和文獻(xiàn)中的結(jié)果進(jìn)行了比較，其中，T代表被優(yōu)化單元的數(shù)目。對(duì)比分析表明，本文提出的算法方案能夠行之有效地應(yīng)用于低副瓣稀布直線陣列的方向圖綜合。

表2 不同算法所得稀布直線陣列的方向圖參數(shù)

圖6 稀布陣列的單元數(shù)為132時(shí)，算法的 收斂曲線，以及最佳陣列的方向圖Fig.6 When the number of element within sparse array is 132, the convergence curve of the algorithm, and the pattern of the optimum array

圖7 稀布陣列的單元數(shù)為132時(shí)， 單元的位置及其相位分布Fig.7 When the number of element within sparse array is 132, the element positions and phases

2.2 矩形平面陣列

對(duì)一個(gè)M行N列的矩形平面陣列，其方向圖表達(dá)式如(2)式。為了應(yīng)用本算法，只需把IFT算法中的FFT換為2-D FFT即可。首先，利用IFT算法產(chǎn)生一個(gè)初始的矩形平面稀疏陣列，以縱向(列方向)為參考方向，針對(duì)該陣列的每一列單元，選取相鄰間距大于半波長(zhǎng)的單元作為待優(yōu)化的對(duì)象。然后，利用DE算法對(duì)這些單元的位置和相位進(jìn)行優(yōu)化以獲取具有更低副瓣的稀布平面陣列。為此，假定初始稀疏陣列的柵格數(shù)目為24×24，填充因子為44%。利用本算法得到的稀布陣的單元分布如圖8。圖8中，符號(hào)“+”代表無需優(yōu)化的單元，這些單元處于矩形陣列的柵格位置上。符號(hào)“□”代表被優(yōu)化單元的最終位置(為簡(jiǎn)單起見，規(guī)定這些單元的位置只在陣列的縱向發(fā)生變化)。從圖8可以看出，在總數(shù)為254的單元中，被優(yōu)化單元的數(shù)目為30個(gè)，它們的位置相當(dāng)于在原來的柵格位置附近發(fā)生了擾動(dòng)。圖9給出了被優(yōu)化單元的相位分布。圖9中編號(hào)1～30是指按照?qǐng)D8中列的順序，從上到下,從左到右，依次對(duì)被優(yōu)化單元進(jìn)行的編號(hào)。圖10為所得稀布陣列的三維方向圖，該方向圖的旁瓣電平為-22.44 dB，比文獻(xiàn)[7]中的結(jié)果低3.47 dB。與之類似，若初始稀疏陣列的柵格結(jié)構(gòu)為12×12，填充因子為48%，利用本算法得到的稀布平面陣列的旁瓣電平為-18.52 dB，比文獻(xiàn)[7]中的結(jié)果低約1.8 dB。表3給出了2種方法的對(duì)比結(jié)果?？梢钥闯觯cHSPSO算法相比，本文算法在低副瓣稀布平面陣列的方向圖綜合中具有一定優(yōu)勢(shì)。

圖8 24×24矩形稀布平面陣的單元分布Fig.8 Element distribution of the 24×24 rectangular sparse planar array

圖9 24×24矩形稀布平面陣中，被優(yōu)化單元的相位分布Fig.9 Phase distribution of the elements being optimized within the 24×24 rectangular sparse planar array

圖10 矩形稀布平面陣的三維方向圖Fig.10 3D pattern of the rectangular sparse planar array表3 本文算法與HSPSO算法所得稀布平面陣列的旁瓣參數(shù)Tab.3 Sidelobe level of the planar sparse array obtained by this method and the HSPSO

孔徑尺寸填充因子TSLL本文結(jié)果HSPSO[7]12×1248%15-18.52-16.7424×2444%30-22.44-18.97

3 結(jié) 論

為了對(duì)含有較多單元的稀布陣列天線進(jìn)行低副瓣綜合，本算法首先在規(guī)定的孔徑范圍內(nèi)，利用IFT算法獲得一個(gè)柵格間距為半波長(zhǎng)的稀疏陣列。然后選擇陣列中單元間距大于半波長(zhǎng)的單元作為待優(yōu)化對(duì)象，繼續(xù)采用差分進(jìn)化算法對(duì)被選中單元的位置和相位進(jìn)行優(yōu)化，以獲取具有更低副瓣的稀布陣列天線。由于大多數(shù)單元的位置在算法的第一步已經(jīng)被確定，故僅有少量單元進(jìn)入優(yōu)化進(jìn)程，使得DE算法的尋優(yōu)空間大幅縮減，從而加速了算法的收斂。數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果表明，本算法可為低副瓣稀布陣天線的設(shè)計(jì)提供一定的參考價(jià)值。