淺談避開題設(shè)“陷阱”的巧解方法

韓秀

[摘 要]解答數(shù)學(xué)題，會遇到設(shè)陷阱的題，許多學(xué)生一般都會出錯(cuò)。要排除這種障礙，減少失誤，省時(shí)省力快速解答，獲得高分，運(yùn)用巧妙的解題技巧解陷阱題是最好的方法。

[關(guān)鍵字]巧解;陷阱題;分類

一、巧解陷阱題，問題分類要全面

（典例1）解關(guān)于x的不等式|b-ax|0，a≠0）.

【錯(cuò)解】原不等式等價(jià)于-m

∴-m-b<-ax

∴ -m+b

∴

故不等式的解集為：

【剖析】 上述解答錯(cuò)誤的原因是誤認(rèn)為a>0，其實(shí)當(dāng)a<0時(shí)還有一種情況：，此時(shí)解集為。

【評注】 含字母系數(shù)的不等式，求解時(shí)要注意分類討論。

典例2 ?“若m>0，則x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根”，此命題的逆否命題為若x2+x-m=0沒有實(shí)數(shù)根，則m≤0為假命題。

【剖析】 當(dāng)m>0時(shí)，x2+x-m=0的判別式△=1+4m>0，所以原命題為真，因而逆否命題也為真.題設(shè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，其原因是對復(fù)合命題“p或q”的理解有偏差。若x2+x-m=0沒有實(shí)數(shù)根，則△=1+4m<0，所以m<-，而不是m≤0，這種理解是錯(cuò)誤的，因?yàn)閙<- m<0或m=0m≤0， “p或q”有真即真，只要有一個(gè)成立即可。

【評注】 對命題、復(fù)合命題的理解要到位，尤其是對“p或q”的理解更是如此。

典例3 ?若三棱錐A-BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點(diǎn)P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是

【延時(shí)成因】考生平時(shí)解題中對求空間軌跡問題的題型接觸少，本題中求解軌跡方程，受知識所限困難太大，又由于受選擇項(xiàng)A與B的干擾，使思維方向集中指向了平面解析幾何中的軌跡問題。

【對策】 解選擇題也不能一味地追求速度，如在本題中，若胡亂作圖后，立即選擇答案，而不是考慮選項(xiàng)的科學(xué)性，則解選擇題的錯(cuò)誤率就會很高，排除干擾項(xiàng)的方法常見的有：特殊值法、代入法、圖像法、篩選法等。此題的思考方向應(yīng)在C與D選項(xiàng)上，設(shè)線段PB與底面BCD所成的角為α，∠ABP=β，則當(dāng)且僅當(dāng)α=β時(shí)，P到底面BCD的距離與到棱AB的距離均等于PB ?sinα，又由實(shí)際作圖可得僅選D符合條件，故選D。

二、巧解陷阱題，特殊情況要牢記

典例4 ?已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別a，b，c，若b是 ，2的等比中項(xiàng)，c是1，5的等差中項(xiàng)，則a的取值范圍是______。

【錯(cuò)因分析】 根據(jù)余弦定理知，若a是最大邊，當(dāng)b2+c2-a2>0 時(shí)，三角形為銳角三角形.由于忽視當(dāng)c為最大邊時(shí)的情形，從而掉入漏解陷阱。

【正確解析】 （，10） 因?yàn)閎是 ，2的等比中項(xiàng)，所以b==1;

因?yàn)閏是1，5的等差中項(xiàng)，

所以c==3.

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以

①當(dāng)a為最大邊時(shí)，有

解得3≤a<;

②當(dāng)c為最大邊時(shí)，有，

解得2

由①②得 2

【誤區(qū)警示】 求解此類題需樹立分類討論的思想意識，明確其分類“度”的選擇，分類時(shí)要做到不重、不漏。

三、巧解陷阱題，排除干擾要果斷

典例5 ?已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為4，前n項(xiàng)和sn滿足=+1（n≥2） ，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_____.

【錯(cuò)因分析】 利用an=sn-s（n-1）） （n≥2） 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式時(shí)，未注意到首項(xiàng)a1=4是否滿足an=2n+1 ，導(dǎo)致求出的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式錯(cuò)誤。

【正確解析】 an= 因?yàn)?+1（n≥2），且===2，

所以數(shù)列 是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，

所以=2+（n-1）×1=（n+1），

所以sn=（n+1）2.

當(dāng)n=1時(shí)，a1=4;

當(dāng)n≥2時(shí)，an=sn-s（n-1））=（n+1）2-n2=2n+1.

因?yàn)閍1=4不符合上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=

【誤區(qū)警示】 對于已知條件中含有可轉(zhuǎn)化為an與 sn關(guān)系的數(shù)列題，求其通項(xiàng)公式時(shí)常利用公式an=進(jìn)行求解，此時(shí)需注意：一定要驗(yàn)證a1是否包含在an=sn-s（n-1）所求得的公式中，若不符合，其通項(xiàng)公式一定要分段來表示，如典例3中，a1=4不符合an=2n+1，所以其通項(xiàng)公式需寫成an=.

典例6已知全集U=R，集合A={x│log2（5-x）≤2 }，C={x│-a

【錯(cuò)因分析】本題因思考不嚴(yán)謹(jǐn)，導(dǎo)致實(shí)數(shù)a 的取值集合求錯(cuò)，一般有兩種情形：一是解對數(shù)不等式log2（5-x）≤2時(shí)，忽視了對數(shù)的真數(shù)要大于0，導(dǎo)致不等式求解出錯(cuò);二是想當(dāng)然地認(rèn)為集合C不為空集，導(dǎo)致實(shí)數(shù)a 的取值集合求錯(cuò)。

【正確解析】{a│a≤-1} 因?yàn)閘og2（5-x）≤2 ，所以，解得1≤x<5，所以A={x│1≤x<5}.

因?yàn)镃∩A=C，所以C∈A.

當(dāng)C=φ時(shí)，滿足C∈A，此時(shí)-a≥a+3，解得a≤;

當(dāng)C≠φ時(shí)，要滿足C∈A，則 .解得-

由①②得，a≤-1，所以實(shí)數(shù)a的取值集合為{a│a≤-1}.

【誤區(qū)警示】 已知集合的運(yùn)算關(guān)系式，求解集合中參數(shù)的值（或取值范圍），這類題往往具有一定的開放性，牽涉因素較多，看上去錯(cuò)綜復(fù)雜。若嚴(yán)謹(jǐn)思考問題，則能突破解題難點(diǎn)，優(yōu)化解題思路。

三、巧解陷阱題，思考問題要嚴(yán)謹(jǐn)

典例7 ?關(guān)于x的不等式x+-a2+3a>0 在x∈（2，+∞）上恰成立，則實(shí)數(shù)a的值為______。

【點(diǎn)撥】將“關(guān)于x的不等式x+-a2+3a>0”在x∈（2，+∞）上恰成立”轉(zhuǎn)化為“函數(shù)f（x）=x+在（2，+∞）上的值域?yàn)椋╝2-3a，+∞）”，求函數(shù)f（x）在（2，+∞）上的值域，得到關(guān)于a的方程，求出a的值.

【解析】 -1或4設(shè)f（x）=x+，因?yàn)閤>2，所以f‘ （x）=1-=>0，所以f（x）=x+在（2，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f（x）>f（2）=4. 又x+>a2-3a在（2，+∞）上恰成立，所以a2-3a=4，解得a=-1或a=4.

【攻略秘籍】 求解此類含參不等式恰成立問題的關(guān)鍵是過好三關(guān)：一是轉(zhuǎn)化關(guān)，即將“關(guān)于x的不等式f（x）g（a）在區(qū)間D上恰成立”轉(zhuǎn)化為“函數(shù)f（x）在D上的值域是（g（a），+∞）”;二是求函數(shù)的值域關(guān)，可以用函數(shù)的單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法、圖像法等求函數(shù)的值域;三是方程關(guān)，即列出參數(shù)a所滿足的方程，可求出a的值 。