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【摘 要】本文主要研究的是針對標槍的投擲運動中，不同因素對標槍投擲距離的遠近產(chǎn)生不同程度的影響。首先固定參數(shù)，建立線性回歸模型，得到標槍的最佳出手速度、出手角、初始攻角等。然后建立二階常微分模型，求得標槍的最優(yōu)飛行遠度。最后，將各因素分類，進行靈敏度分析，得到各因素對標槍投擲距離影響的相對重要性排序，從大到小依次為：出手速度、出手角、風速、初始俯仰角、攻角。

【關(guān)鍵詞】二階常微分模型;Matlab;擲標槍的距離;線性回歸模型;SPSS

中圖分類號： O175.8 文獻標識碼： A文章編號： 2095-2457（2019）30-0013-003

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.30.006

0 引言

擲標槍是一項古老的田徑運動。標槍投擲距離的遠近與眾多因素有關(guān)，比如與標槍的技術(shù)參數(shù)（標槍的長度、重量、重心的位置、幾何形狀、形心的位置等）有關(guān)，與運動員水平（出手的速度、出手高度、出手角、初始攻角、出手時標槍的初始俯仰角速度等）有關(guān)，與比賽環(huán)境（風力、風向、空氣的密度與粘度等）有關(guān)。

1 參數(shù)的選取

設標槍為剛體，槍身由鋁合金制成，其密度為2.7×103kg/m3，槍頭由合金鋼制成，其密度為7.8×103kg/m3。標槍的幾何尺寸采用文獻【國家標準】 GBT 22765-2008-標槍中數(shù)據(jù)。為便于討論，假設運動員出手高度為，標槍重量為且不考慮標槍在飛行過程中的進動影響。空氣密度為1.184×10-3g/cm3，空氣粘度為1.84×10-15pa·s（帕·秒），進行問題探究。

2 模型建立

2.1 標槍的投擲距離的模型建立

易知投擲標槍的運動軌跡是一條拋物線，如下圖拋物線所示：

圖1 標槍投擲軌跡圖

由上圖建立模型[1]：

L=■[v■tanθ+■]

2.2 標槍的運動軌跡模型建立

2.2.1 只考慮空氣阻力作用

我們考慮空氣阻力作用時標槍的運動軌跡和受力情況，將標槍所受到的空氣阻力分解為水平方向和豎直方向的兩個分力，即標槍在水平和豎直方向的兩個運動方程為：

m■=-fcosθm■=-fsinθ-mgf=6πηrV■

同時，我們已知兩組四個初始條件：

（1）t=0時，x=0，■=V■cosθ

（2）t=0時，x=0，■=V■sinθ

通過常微分方程的求解，我們可以得到空氣阻力作用下標槍的運動方程[3]（考慮空氣阻力時標槍作斜拋運動位置參數(shù)方程）為：

x=■（1-e■）y=（■+■）（1-e■）-■t

聯(lián)立上式，消去時間參數(shù)t即可得出標槍在受到空氣阻力時的運動軌跡方程：

y=tanθ+■x+■ln（1-■x）

2.2.2 考慮空氣阻力和風速同時作用

考慮空氣阻力和風速同時作用時的斜拋運動方程。需要通過對標槍的受力進行分析，列出微分方程。設風速為Va。對物體受力分析后可列出二階常微分方程[4]：

-kV■=ma■-kV■=ma■

其中，V■=■，a■=■V■=■，a■=■

聯(lián)立解得如下，標槍在受到空氣阻力和風速同時作用時的運動軌跡方程：

x=■mcosθ-■me■cosθ

y=（■+mg+V■ksinθ/k■）me■+（-V■-■）t+■m

2.4 各要素對標槍投擲距離影響模型建立

在擲標槍運動中，根據(jù)標槍飛行的實際情況，標槍的飛行遠度應取決于三個方面的因素。按各因素的重要程度排列其順序，它們分別是標槍飛行的初始條件、標槍的參數(shù)和天氣因素。

因此，要想判斷運動員出手速度、出手角、初始攻角、初始俯仰角速度、風向及風速等要素對標槍投擲距離影響的相對重要性，需要對影響因素進行靈敏度分析。模型建立如下：

σi=100%×■，（i=1，2，3，4）

其中，Δx■表示第i個因素變化而使得投擲距離變化，x表示原始投擲距離，σi表示第i個因素對投擲距離產(chǎn)生變化的變化率。

3 模型求解

3.1 投擲距離最大

要求當投擲出手速度為30m/s時，對附表中24名運動員數(shù)據(jù)的分析選取出最佳出手角度區(qū)間為[35°，40°]，最佳的攻角為[-10°，5°]，在區(qū)間內(nèi)以0.3°為步長，運用迭代的思想編寫程序。流程圖如下所示：

圖2 最大投擲距離求解流程圖

運行程序之后得到如下數(shù)據(jù)（部分）：

表1 以0.3為步長迭代數(shù)據(jù)

最終得出手角42.7°，攻角為-3.3°時，投擲距離最大，最大投擲距離為：86.49m。

3.2 標槍的投擲距離的模型求解

所以，當運動員投擲出手速度為31.70m/s，風向分別為順風和逆風，風速分別為3m/s、6m/s、9m/s時，我們采取同3.1的解決方案。最佳出手角度區(qū)間為[35°，40°]，最佳的攻角為[-7°，3°]，最佳初始俯仰角區(qū)間為[-5°，5°]，在區(qū)間內(nèi)以0.3°為步長，運用迭代的思想編寫程序，運行程序得到在每個出手角、攻角、俯仰角下的投擲距離。并分情況討論順風和逆風環(huán)境，得到如表2。

3.3 各要素對標槍投擲距離影響模型求解

3.3.1 出手角的靈敏度分析

由于本文上述模型可以求解出若干組以0.3為步長進行遍歷的數(shù)據(jù)集，所以再次利用模型求解出20組特定數(shù)據(jù)，再利用控制變量法求解出因變量“投擲距離x”的變化量或變化率即可完成對因素靈敏度的分析。將數(shù)據(jù)帶入模型中，求解出一組結(jié)果，如表3。

表3 出手角對投擲距離的影響的初始數(shù)據(jù)

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，固定出手速度、風速、攻角、俯仰角的值不變，以5%的變化量改變出手角的值，帶入模型求解出不同的投擲距離，進而求得變化率。計算結(jié)果如表4（部分）。

表4 出手角對投擲距離影響及變化率

由表可知，變化率與出手角的成正比，投擲距離與俯仰角則成反比。出手角使得投擲距離變化的變化率為：

σ1=100%×■=■×100%=0.0077

3.3.2 出手速度的靈敏度分析

同上可得：

表5 出手速度對投擲距離影響及變化率

由表可知，變化率與出手速度的成反比，投擲距離與出手速度則成反比。出手速度使得投擲距離變化的變化率為：

σ2=100%×■=■×100%=0.0762

3.3.3 初始俯仰角的靈敏度分析

同上可得：

表6 初始俯仰角對投擲距離影響及變化率

由表可知，初始俯仰角與變化率成正比，俯仰角與投擲距離則成反比。初始俯仰角使得投擲距離變化的變化率為：

σ3=100%×■

=■×100%=-0.00029

3.3.4 風速的靈敏度分析

同上可得：

表7 風速對投擲距離影響及變化率

由表可知，風速與變化率成反比，俯仰角與投擲距離則成正比。風速使得投擲距離變化的變化率為：

σ4=100%×■=■×100%=0.0051

3.3.5 攻角的靈敏度分析

同上可得：

表8 攻角對投擲距離影響及變化率

由表可知，攻角與變化率成反比，攻角與投擲距離則成反比。攻角使得投擲距離變化的變化率為：

σ5=100%×■=■×100%=0.00025

結(jié)果分析：

表9 輸出結(jié)果

因此，各因素對標槍投擲距離影響的重要性從大到小依次為：出手速度、出手角、風速、初始俯仰角、攻角。

4 結(jié)語

本文中的模型不僅可以用于標槍投擲問題，還可以推廣到其他運動中。此外，還可以根據(jù)此來引導運動員的一些運動習慣，從而在訓練和比賽中隊運動員和教練有一定的理論指導意義。

【參考文獻】

[1]琚鑫，岳凌月，王邦平.斜拋運動中射程問題的一般性討論與數(shù)值計算[J].物理通報，2013（6）：118-120.

[2]張健.考慮空氣阻力和風速影響的斜拋運動的數(shù)值分析[J].科技風，2017（14）.

[3]郭雪鵬.考慮空氣阻力的斜拋運動研究[J].物理教學，2017，39（04）：14-16.

[4]唐偉躍，陳鐵生，陳香才， et al.斜拋運動方程的分析[J]. 河南教育學院學報（自然科學版），2005，14（2）：27-28.