數(shù)形結(jié)合思想滲透于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的研究

邱俊 四川省德陽市第三中學(xué)

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，高中數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)之一是“使學(xué)生獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會其中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想和方法，以及它們在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用”。關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)已成為當(dāng)代數(shù)學(xué)教育的一大特色，在新課程改革中，中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容在要求和處理上都力圖體現(xiàn)出對數(shù)學(xué)思想方法的注重。然而，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中雖不乏思想方法內(nèi)容，但一些學(xué)生在運用時一旦面臨新的情境就會不知所措，數(shù)學(xué)思想沒能被內(nèi)化。中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)存在什么問題呢？是否在高三總復(fù)習(xí)時匆忙地復(fù)習(xí)幾個專題就可以了呢？筆者認(rèn)為其實應(yīng)該分布在各個模塊、各個章節(jié)有計劃、有規(guī)律地滲透這些數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法很多，下面我結(jié)合自己的教學(xué)實踐，以數(shù)形結(jié)合思想為例，談?wù)勅绾翁岣呤箤W(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力。

筆者認(rèn)為在平時的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該時常滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想。只有平時積累，到高三復(fù)習(xí)時才不會覺得唐突。以下用案例說明如何讓學(xué)生既掌握數(shù)學(xué)方法，又能從數(shù)學(xué)思想的高度增強數(shù)學(xué)方法的意識和能力。在進行人教A版必修1教學(xué)時，最能體現(xiàn)的是數(shù)形結(jié)合思想，表現(xiàn)在三方面。

一、解決集合問題

在集合運算中常常借助于數(shù)軸、VENN圖來處理集合的交、并、補等運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了。在講集合的運算這一節(jié)時，先讓學(xué)生試著從字面上理解“交”“并”“補”的含義，然后讓他們利用維恩（VENN）圖，從直觀上感受“交”“并”“補”的意義，最后以集合語言加以闡述，讓學(xué)生從各個不同的角度體會集合的“交”“并”“補”運算，再次滲透數(shù)形結(jié)合思想。

【教學(xué)片斷1及分析】某班共有30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，求喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)。

分析：先將文字語言轉(zhuǎn)化為集合語言，設(shè)u為全班學(xué)生組成的集合，a，b分別表示喜愛籃球運動的學(xué)生組成的集合，喜愛乒乓球運動的學(xué)生組成的集合，再利用VENN圖可直觀得出答案。

設(shè)計意圖：解答有關(guān)集合的實際應(yīng)用題時，首先將文字語言轉(zhuǎn)化為集合語言，然后借助VENN圖分析，結(jié)合集合的交、并、補運算處理，體現(xiàn)VENN圖的簡明、直觀。

二、解決函數(shù)問題

借助于圖像研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法，函數(shù)圖像的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法。

設(shè)計意圖：根據(jù)問題1給出的圖像，選擇觀察的方向，分析其中的數(shù)量關(guān)系，訓(xùn)練學(xué)生的識圖能力，能直觀感受從圖像的“上升”與“下降”，理解函數(shù)的單調(diào)性。最后運用數(shù)學(xué)符號語言將文字語言的描述提升到單調(diào)性的定義。問題2通過學(xué)生動手實踐，讓學(xué)生親歷了“數(shù)―形”，“形―數(shù)”的思考過程，獲得基本體驗，從兩個方面理解數(shù)形結(jié)合方法的含義，理解數(shù)與形轉(zhuǎn)換的意義，進行數(shù)形結(jié)合的思想立意。在教學(xué)中對直觀圖形的利用，就可以讓學(xué)生直觀形象地理解抽象的概念。通過數(shù)與形的有機結(jié)合，把形象思維與抽象思維有機地結(jié)合，盡可能地先形象后抽象，不但能促進這兩種思維能力同步發(fā)展，還能為學(xué)生初步形成辯證思維能力創(chuàng)造條件，能夠有的放矢地幫助學(xué)生從多角度、多層次出發(fā)地思考問題，養(yǎng)成多向思維的好習(xí)慣。引導(dǎo)學(xué)生變靜態(tài)思維方式為動態(tài)思維方式，也就是以運動、變化、聯(lián)系的觀點考慮問題，更好地把握事情的本質(zhì)。

三、解決方程與不等式的問題

處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數(shù)圖像的交點問題;處理不等式時，從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。

設(shè)計意圖：由“數(shù)”想到“形”，對學(xué)生本身就是一個“坎”，之所以學(xué)生“懂而不會”，是因為缺乏基本體驗。因此，教師切不可過早地“推銷”自己的解法，要給學(xué)生足夠的探索、體驗的時間。讓學(xué)生講出思維的“觸發(fā)點”，如何邁出第一步，在比較的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)―形―數(shù)”的思維過程，獲得思想的解放，增長有“數(shù)”思“形”的見識，能夠自主地調(diào)整思維方向。調(diào)整思維方向，使學(xué)生認(rèn)識有關(guān)方程的求解問題可以轉(zhuǎn)化為考查函數(shù)的交點問題，于看不見“形”的地方發(fā)現(xiàn)圖形，邁出關(guān)鍵的一步，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合思想在解題中的妙處。

設(shè)計意圖：巧妙地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題，往往會使抽象問題直觀化，復(fù)雜問題簡單化，達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的。從“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)性和“形”的直觀性兩方面思考問題，拓寬解題思路，可收到事半功倍的效果。

“數(shù)形結(jié)合”就是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，使抽象思維和形象思維相結(jié)合，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種常用的數(shù)學(xué)方法。數(shù)形結(jié)合包括“以形助數(shù)”、“以數(shù)輔形”和“數(shù)形互助”三個方面。巧妙地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題，往往會使抽象問題直觀化，復(fù)雜問題簡單化，達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的。從“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)性和“形”的直觀性兩方面思考問題，拓寬解題思路，可收到事半功倍的效果。正如我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生所說：“數(shù)缺形時少直觀，形離數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休。”

教師要認(rèn)真研究教材，從數(shù)學(xué)發(fā)展的全局著眼，從具體的教學(xué)過程著手，逐步滲透數(shù)形結(jié)合思想，能做到“眼”中有形，“心”中有數(shù)，就能“成功人生”。讓學(xué)生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的良好習(xí)慣，使它成為分析問題、解決問題的工具，這是所有數(shù)學(xué)教育工作者都應(yīng)該追求的目標(biāo)。