王磊 陳建文

摘 ? 要：“帕普斯—古爾丁”定理早在古希臘時期就被幾何學家發(fā)現了，該原理的思辨性容易被中學數學水平的學生理解，其證明方法可以用微積分所得，當把該原理應用于處理求剛體重心有關的物理問題時可以代替微積分方法，有效地簡化物理問題的處理，尤其是在高中物理競賽和大學物理課程中使用更為多見。

關鍵詞：“帕普斯-古爾丁”定理;剛體重心;競賽

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ?文章編號：1003-6148（2019）11-0058-3

1 ? ?“帕普斯—古爾丁”定理的介紹

古希臘后期的幾何學家帕普斯（Pappus，約公元300—350年前后），在其所著的《數學匯編》中記載了關于旋轉體體積的一個定理，大意為：“封閉的平面圖形圍繞同一平面內且不與之相交的軸回轉，所產生的體積等于這圖形面積乘以圖形重心所描畫出的圓周的長”。他還進一步斷言：“可以將封閉平面圖形改成一段平面曲線，它回轉所產生的曲面面積等于曲線的長乘以其重心所畫過的圓周的長?！迸疗账怪粩⑹龆鴽]有證明。文藝復興后期，瑞士數學家古爾丁（圖1）重新獨立發(fā)現了這一定理，記錄在他的著作《關于重心》中。實際上，他也沒有證明，只是作了“形而上學”的推理。因此，后人常稱之為“帕普斯—古爾丁”定理[1]。意大利數學家卡瓦列里（圖2）指出這一缺陷后，用自己創(chuàng)立的微積分奠基理論“不可分量原理”證明了該定理的成立。

2 ? ?“帕普斯—古爾丁”定理的微積分證明[1]

任意的平面封閉幾何形狀（圖3），其面積為S，該幾何圖形的重心為C，在該幾何圖形平面內任取一與該幾何圖形無相割的直線x為轉軸，重心C與x軸的垂直距離為yC，使該幾何圖形繞x軸旋轉α角（α≤2π）形成一個立體幾何體。根據“帕普斯—古爾丁”定理，該幾何體的體積為：

以直線x為x軸建立三維直角坐標系。將該圖形置于三維坐標系中的xy平面內研究（圖4），把該圖形分成上下兩部分，上下兩邊界的曲線分別看成y關于x的函數y1=f1（x），y2=f2（x）。

、y2=f2（x）所圍成的圖形為一無窮窄矩形，其面積為ΔS=[f1（xi）-f2（xi）]Δx，該矩形的重心為其幾何中心，坐標為（xi+ ， ）。

根據重心位置疊加原理 ?= 有：

該幾何圖形的重心C的縱坐標

寫成積分方程有：

將（2）式帶入（1）式得“帕普斯—古爾丁”定理下該立體幾何體的體積為：

用微積分方法直接求該幾何圖形繞x軸旋轉α角后的立體幾何體體積有：

3 ? ?“帕普斯—古爾丁”定理的物理實際應用

例題1 如圖5半徑為R的 光滑圓柱固定在地面上，柱面上放置一根長為 、線密度為λ的光滑均勻鐵鏈AB，在A端施加一水平向左的拉力F，求能使AB恰好完全在柱面上靜止的拉力F大??？

解析 由對稱性可知鐵鏈重心C一定在∠AOB的角分線上，根據“帕普斯—古爾丁”定理使 圓周AB繞OB軸旋轉360°得到一個半球面有：

可得OC= ，即重心C在∠AOB的角平分線上距O點 處，鐵鏈靜止后其形狀不再改變，此時可以把鐵鏈當成剛體來對其進行受力分析。重力G與拉力F的反向延長線交于點D，把鐵鏈分成無窮多小段，第i段受到柱面的支持力為Δ i。因為支持力與接觸面垂直，每一個Δ i的反向延長線必經過O點，所有小段所受支持力的合力 = Δ i，所以鐵鏈所受柱面的合支持力N必然經過O點。再根據剛體受三力平衡的共點原理，合支持力N必然經過D點，即鐵鏈所受合支持力N的方向為OD方向。

例題2 ?如圖6所示，質量分布均勻的半圓柱體，其平面向上放在粗糙水平面上，半圓柱體與水平面間的摩擦系數為μ，如圖6在圓柱體邊緣A點施加一水平向右的力F，使圓柱體勻速向右運動，求半圓柱偏過的角度θ。

解析 由對稱性可知，半圓柱體的重心一定在AB的中垂線OD上。假設重心為C點，OC=a，根據“帕普斯—古爾丁”定理將整個半圓面繞AB軸旋轉360°可得一圓球體[3]。

例題3 如圖7所示，各處截面均為等腰梯形的質量分布均勻物塊，上底DE長l，下底AB長2l，高為 l，倒放置在一斜面OM上，其截面與紙面平行，斜面OM可繞垂直于紙面且過O點的軸轉動，緩緩抬高斜面M點，當斜面與平面成θ角時，物塊恰好翻轉，求θ的大小。

解析 由等腰梯形截面為軸對稱圖形可知物塊的重心C一定在對稱軸QK上，QK為AB的垂直平分線。設CQ長為α，繞AB軸旋轉等腰梯形ABDE360°可得一立體幾何圖形，根據“帕普斯—古爾丁”定理有[3]：

4 ? ?總 ? 結

“帕普斯—古爾丁”原理在古希臘時期就被哲學家用思辨的方法發(fā)現了，該原理比較容易被中學生所理解。把該原理應用于處理均勻剛體重心問題時，有效地簡化了計算過程，并且避開了微積分的計算手段。為學生處理物理問題提供了一個新的方法。

參考文獻：

[1]郜舒竹，徐春華.對旋轉體體積的再認識[J].數學通報，2005，44（1）：54-56.

[2]郜舒竹，劉瑩.用“帕普斯—古爾丁定理”解釋“喇叭悖論”[J].數學的實踐與認識，2007，37（8）：175-179.

[3]陳玉奇.巧用巴普斯定理求物體的質心[J].物理教學探討，2012，30（11）：62-63.

（欄目編輯 ? ?羅琬華）