佘緯，安智，田莎莎，張相來

(1 中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢430074；2 中南民族大學(xué) 計算機科學(xué)學(xué)院，武漢430074)

徑流是陸地上水量最直觀的反映，為了能夠更好地利用和保護水資源，我們不僅要了解徑流的長期變化規(guī)律，還要做好徑流的預(yù)測工作，來指導(dǎo)人們的生產(chǎn)和生活[1,2].由于地理位置偏僻或者自然災(zāi)害，有時會出現(xiàn)水文站水文數(shù)據(jù)缺失的現(xiàn)象，這就需要我們能夠根據(jù)鄰近站點的水文數(shù)據(jù)來預(yù)測出缺失水文站的水文數(shù)據(jù).由于水文環(huán)境和水文現(xiàn)象的復(fù)雜性，單變量的水文分析已經(jīng)不能滿足工程設(shè)計和人們生產(chǎn)生活的需要，在進行水文分析時，往往會涉及到多個參數(shù)，而Copula函數(shù)的優(yōu)點正是可以描述變量間的相關(guān)性，而且可以通過連接每個變量的邊緣分布，得到這些變量的聯(lián)合分布函數(shù).因此，Copula函數(shù)得到了水文學(xué)家的青睞，越來越多的用于水文學(xué)的相關(guān)分析和預(yù)測問題中.近年來很多學(xué)者將Copula函數(shù)應(yīng)用于多變量水文頻率分析中[3,4].2007年，《Journal of Hydrologic Engineering》雜志對Copula函數(shù)在水文學(xué)中的應(yīng)用進行了?？榻B[5-7].SONG利用三變量Plackett copula函數(shù)模擬了干旱持續(xù)時間、嚴重程度和到達時間的聯(lián)合概率分布，結(jié)果表明Plackett copula能夠產(chǎn)生相關(guān)干旱變量的雙變量和三變量概率分布[8].CHEN采用多變量Copula方法對干旱期進行量化，以中國漢江上游流域為例，研究了各干旱狀態(tài)下的依賴結(jié)構(gòu)，計算并分析了各干旱狀態(tài)下的干旱概率和恢復(fù)周期[9].REDDY研究了兩種元啟發(fā)式算法在Copula模型參數(shù)估計和干旱嚴重持續(xù)頻率曲線推導(dǎo)中的應(yīng)用[10].MASUD通過Copula函數(shù)建立二維分布，對加拿大Saskatchewan流域的干旱風(fēng)險進行了分析[11].YUE利用混合Gumbel模型建立了相關(guān)洪峰和洪量的聯(lián)合概率分布，以及相關(guān)洪峰和洪峰持續(xù)時間的聯(lián)合概率分布[12].REQUENA利用二元Copula模型得到洪峰與洪量的二元聯(lián)合分布，模擬了大壩溢流的回歸周期，為大壩設(shè)計風(fēng)險提供了參考[13].JEONG研究了氣候變化對加拿大東北部21個流域春季(3 -6月)洪峰、洪量和洪峰持續(xù)時間的影響，對各洪水特征進行常規(guī)的單變量頻率分析，對相互關(guān)聯(lián)的洪水特征對(峰量、峰時、量時)進行基于Copula的雙變量頻率分析[14].JEONG將Copula模型與PMC模型相結(jié)合，提出了一種可行的間歇月流時間序列模擬方法[15].

單一的Copula函數(shù)只能描述變量間某一方面的相關(guān)性，為了全面的描述變量之間的相關(guān)性，本文構(gòu)建了混合Copula函數(shù)來預(yù)測鄰近水文站點的年徑流量.構(gòu)建混合Copula函數(shù)的關(guān)鍵是參數(shù)的尋優(yōu)問題，為此深入研究了通用性強、模型簡單，搜索速度快的布谷鳥搜索算法.布谷鳥搜索算法是YANG等通過模擬布谷鳥的產(chǎn)卵習(xí)性而提出的一種與萊維飛行結(jié)合的智能搜索算法[16].該算法在算法運行前期搜索速度較快，但是由于其完全依賴于隨機游走機制，所以算法的局部搜索精度不高，容易陷入早熟收斂，收斂速度較慢.為了改進布谷鳥搜索算法的性能，很多學(xué)者對該算法進行了研究.為了進行混沌系統(tǒng)的估計和連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問題，LI等人利用正交學(xué)習(xí)策略提高了布谷鳥搜索算法的挖掘能力[17].OUAARAB等人提出了一種改進的離散CS算法來求解著名的旅行商問題[18].本文提出了自適應(yīng)搜索平衡布谷鳥搜索算法(Adaptive Search Balanced Cuckoo Search，ASBCS)來進行混合Copula函數(shù)的參數(shù)尋優(yōu)，并使用該混合Copula函數(shù)，以漢口水文站的年徑流量為因變量，對宜昌水文站的年徑流量進行了預(yù)測.

1 Copula函數(shù)

本文要研究的是兩變量的水文頻率分析和預(yù)測問題，主要使用的是二元Copula函數(shù)，所以這里只敘述二元Copula函數(shù)的Sklar定理.

二元Copula函數(shù)Sklar定理：令H(X,Y)為具有邊緣分布F(X)和G(X)的二元聯(lián)合分布函數(shù)，則存在一個Copula函數(shù)C(u,v)，滿足

H(X,Y)=C[F(X),G(Y)].

其中u,v均服從[0,1]上的均勻分布；H(X,Y)是具有邊緣分布F(X)和G(X)的二元聯(lián)合分布函數(shù)；C(u,v)對每一個變量而言，都是單調(diào)非降的，若一個變量保持不變，則C(u,v)將隨另一個變量的增大(減小、不變)而增大(減小、不變).

在實際應(yīng)用中，常見的二維Copula函數(shù)有三種：二維Clayton Copula函數(shù)、二維Gumbel Copula函數(shù)和二維Frank Copula函數(shù).它們的表達式分別如式(1)、(2)和(3)所示，式中的θ是與Copula函數(shù)的Kendall秩相關(guān)系數(shù)和尾部相關(guān)性相關(guān)的一個重要參數(shù).

(1)

(2)

(3)

在圖1的(a)、(b)和(c)三個子圖中，分別展示了三個函數(shù)的概率密度圖，從圖1中可以看出Clayton Copula函數(shù)的尾部特征不對稱，其密度函數(shù)很像一個“L”，上尾低下尾高， 所以它善于敏銳地捕捉尾部不對稱的數(shù)據(jù)在下尾處的變化，得到下尾處的相關(guān)性特征.Gumbel Copula函數(shù)的尾部特征也不對稱，其密度函數(shù)很像一個“丁”，下尾低上尾高， 所以它善于敏銳地捕捉尾部不對稱的數(shù)據(jù)在上尾處的變化，得到上尾處的相關(guān)性特征.Frank Copula函數(shù)的尾部特征是對稱的，所以無法捕捉到數(shù)據(jù)尾部不對稱的相關(guān)關(guān)系，反而對于對稱的尾部關(guān)系很敏感.

(a) Clayton (b) Gumbel (c) Frank Copula圖1 三個函數(shù)的概率密度圖Fig.1 Probability density graph of three functions

通過上述分析可知，三種函數(shù)分別對對稱的、上尾高和下尾高的數(shù)據(jù)之間尾部相關(guān)關(guān)系比較敏感，所以它們分別有不同的應(yīng)用場景.然而，現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)都是復(fù)雜的，單一的Copula函數(shù)往往無法全面的描述數(shù)據(jù)之間的相關(guān)關(guān)系，基于此，本文將根據(jù)三個函數(shù)的特性，設(shè)計混合Copula函數(shù)，來應(yīng)對現(xiàn)實世界中復(fù)雜多樣的數(shù)據(jù).

2 標準布谷鳥搜索算法

布谷鳥搜索算法必須滿足如下3個假設(shè)：①布谷鳥每次產(chǎn)一枚卵，并隨機將其放入一個鳥巢；②最好的巢才能被保留到下一代；③布谷鳥可以搜索的巢的數(shù)量是固定的， 宿主鳥巢主人發(fā)現(xiàn)外來卵的發(fā)現(xiàn)概率是P， 鳥蛋如果被發(fā)現(xiàn)，宿主將移除該蛋或直接遺棄該鳥巢.基于上述假設(shè)，布谷鳥尋找鳥巢位置的更新公式為：

xt+1,i=xt,i+α?levy(β),i=1,2,…，n.

(4)

其中xt,i表示經(jīng)過t代更新之后第i個鳥巢的位置；?表示點乘；levy(β)表示Levy飛行隨機游走的路線，可以用一個簡單的冪律公式表示為levy(β)～μ=t-1-β；α表示步長因子，設(shè)α0是一個常數(shù)，xbest是全局最優(yōu)位置，步長因子可以用式(5)來表示：

α=α0?(xt,i-xbest),

(5)

位置更新之后，對每一個xt+1,i，隨機產(chǎn)生一個0到1之間的數(shù)r，與P進行比較，如果P大于r，令xi=xt+1,i，將xt+1,i丟棄，然后根據(jù)式(6)的隨機游走策略求得一個新的位置對它進行替換：

xt+1,i=xi+q(xt+1,k-xt+1,j),

(6)

其中，q是0到1之間的隨機數(shù)，xt+1,k和xt+1,j是位置更新之后的任意兩個位置.

標準布谷鳥搜索算法的偽代碼如下所示.

Algorithm 1 Cuckoo search algorithm via Levy flightsInput: Objective function f(x)Output: the optimal solution Randomly initialize population of n host nests xiwhile (t

3 ASBCS算法

3.1 標準CS算法性能分析

標準的CS算法是一種模型簡單，算法前期搜索速度較快的群智能算法，它具有如下的幾個優(yōu)點：

(1)CS算法中的位置更新是基于Levy飛行策略的.在Levy飛行策略中，短距離的探索和偶爾較長距離的開發(fā)是相間的.這種位置更新策略能有效的擴大搜索范圍，易于跳出局部最優(yōu)點，增加種群的多樣性；

(2)相比于其他的智能算法(例如遺傳算法、粒子群算法)，CS算法參數(shù)少，除了種群規(guī)模，只有1個參數(shù)P，且算法的收斂速度對P不敏感，因此其操作簡單，通用性更強.

同時，經(jīng)過深入研究，標準的CS算法也具有如下一些缺點：

(1)Levy飛行策略執(zhí)行全局搜索，隨機游走策略執(zhí)行局部搜索，發(fā)現(xiàn)概率P用于調(diào)節(jié)二者之間的平衡，但是在算法執(zhí)行的后期，由于個體差異的縮小，算法將比較偏重于局部搜索，從而很容易令算法陷入局部最優(yōu)；

(2)發(fā)現(xiàn)概率P和步長α都不能根據(jù)算法收斂的程度而自適應(yīng)變化，因此標準算法的收斂速度慢，且個體的多樣性差.

1.2 ASBCS算法

基于上述分析，本文提出了ASBCS算法，就如下幾個方面對布谷鳥搜索算法進行了改進.

(1)對步長因子進行了改進，令步長因子隨著算法的迭代次數(shù)自適應(yīng)的變化.

標準布谷鳥搜索算法的步長公式如式(5)所示， 其中α0是一個常數(shù)，步長因子只能隨著位置的更新而發(fā)生不規(guī)律的變化，不能隨著算法迭代次數(shù)的增加而自適應(yīng)調(diào)整，因此，本文在步長公式里增加了迭代次數(shù)因子，具體如式(7)所示，其中α0max和α0min是根據(jù)實際情況給出的步長的最大值和最小值，T是總的迭代次數(shù)，t是本次的迭代次數(shù).

(7)

(2)在算法后期，對全局搜索和局部搜索進行了平衡.

在標準布谷鳥搜索算法的迭代后期，因為個體之間的差距變小，造成搜索偏向于局部搜索，容易令算法陷入局部最優(yōu)，為了改善標準布谷鳥搜索算法的這一缺點，對公式(7)進行了改進，改進之后的步長公式如式(8)所示.

(8)

3.3 ASBCS算法的性能分析

相對于CS算法，ASBCS算法在兩個方面進行了改進，提高了算法的性能，主要表現(xiàn)在如下幾個方面.

首先，步長因子的調(diào)整，令算法中解的跳躍，不止依賴于當前解和全局最優(yōu)解，還與迭代次數(shù)成反比，隨著迭代次數(shù)的增加，令算法更加趨向于局部搜索，對局部的解區(qū)間進行深度挖掘，提高了算法的收斂速度.

其次，在提高收斂速度的同時，為了提高解的多樣性，避免算法陷入局部最優(yōu)，在算法迭代的后期采用了全局搜索和局部搜索的平衡策略，以一定的概率P1來平衡兩種搜索方式，一方面加快了收斂速度，另一方面又令算法不斷的跳出局部最優(yōu)，增加解的多樣性，令算法在全局和局部搜索之間靈活的轉(zhuǎn)換，從而達到兩種搜索的平衡.

3.4 ASBCS算法與CS算法的性能比較

為了比較標準CS算法和本文所提出的ASBCS算法的性能，分別采用兩種算法對一個經(jīng)典函數(shù)進行尋優(yōu)，該函數(shù)如式(9)所示，它在(0，0)處取最小值.

(9)

用兩種算法對該函數(shù)進行尋優(yōu)的實驗結(jié)果如圖2所示.從圖中可以看出，ASBCS算法比CS算法具有更快的收斂速度和更好的精確度.

圖2 標準CS算法和ASBCS算法性能比較Fig.2 Comparison of performance between standard CS algorithm and ASBCS algorithm

4 基于ASBCS算法的混合Copula函數(shù)

通過深入分析二維Clayton Copula函數(shù)、二維Gumbel Copula函數(shù)和二維Frank Copula函數(shù)的概率密度圖，發(fā)現(xiàn)這三種函數(shù)分別適合的是下尾相關(guān)、上尾相關(guān)和尾部對象的兩變量相關(guān)關(guān)系，利用它們各自的優(yōu)勢，可以將它們?nèi)诤显谝黄?，設(shè)計成混合Copula函數(shù)，從而令Copula函數(shù)適合描述各種復(fù)雜的兩變量關(guān)系.混合之后Copula函數(shù)可以描述為式(10)：

C=ω1CFrank(u,v,α)+ω2CGumbel(u,v,β)+

ω3CClayton(u,v,γ),

(10)

將式(1)、(2)和(3)式代入，可以得到具體的混合Copula函數(shù)表達式如式(11)所示.

(11)

式中α、β、γ、ω1、ω2、ω3由改進的布谷鳥搜索算法尋優(yōu)得到.

尋優(yōu)時改進的布谷鳥搜索算法的適應(yīng)度函數(shù)為式(12)所示：

(12)

5 實驗數(shù)據(jù)與分析

本文以漢口站的年徑流量作為自變量，宜昌站的年徑流數(shù)據(jù)作為因變量，以它們1952-2000年的數(shù)據(jù)作為歷史數(shù)據(jù)進行訓(xùn)練，以漢口站2001-2010年的數(shù)據(jù)作為自變量，來預(yù)測宜昌站2001-2010年的年徑流量.分別采用Clayton Copula函數(shù)、Gumbel Copula函數(shù)、Frank Copula函數(shù)以及本文所提出的混合Copula函數(shù)進行預(yù)測，實測值與預(yù)測值的比較如圖3、圖4、圖5和圖6所示.

圖3 Clayton Copula函數(shù)求取的宜昌站年徑流預(yù)測值與實測值對比Fig.3 Comparison between the predicted annual runoff calculated by Clayton Copula function and the measured annual runoffin Yichang station

圖4 Gumbel Copula函數(shù)求取的宜昌站年徑流預(yù)測值與實測值對比Fig.4 Comparison between the predicted annual runoff calculated by Gumbel Copula function and the measured annual runoffin Yichang station

從圖3、圖4和圖5中可以看出單一的Copula函數(shù)在某些年份預(yù)測的精度非常高，實測值與預(yù)測值基本重合，但是在另一些年份預(yù)測精度又很低，極大一部分原因是由于氣候、人為引流或者建造工程等因素造成的，但是也有一部分原因是由于Copula函數(shù)的性能造成.

圖5 Frank Copula函數(shù)求取的宜昌站年徑流預(yù)測值與實測值對比Fig.5 Comparison between the predicted annual runoff calculated by Frank Copula function and the measured annual runoffin Yichang station

比較圖6和圖3、圖4、圖5可以發(fā)現(xiàn)，相比Clayton、Gumbel和Frank三個單一的Copula函數(shù)，基于ASBCS算法的混合Copula函數(shù)具有更高的預(yù)測精度.

為了更好地比較四個Copula函數(shù)，將四個Copula函數(shù)預(yù)測宜昌站2001-2010年的年徑流量的相對誤差全部列于表1中，從表1可以看出，混合Copula函數(shù)可以彌補三個單一Copula函數(shù)的缺陷，比如在2001年Clayton的預(yù)測精度遠遠低于Gumbel和Frank函數(shù)，但是在2002年Gumbel和Frank函數(shù)的相對誤差又遠遠高于Clayton函數(shù)，而混合Copula函數(shù)因為將三個函數(shù)結(jié)合起來，取其優(yōu)點，所以很好的融合了三種函數(shù)，在2001年和2002都取得了更好的預(yù)測效果.比較四個預(yù)測方法的平均相對誤差，發(fā)現(xiàn)基于ASBCS算法的混合Copula函數(shù)具有更好的預(yù)測精度.

圖6 基于ASBCS算法的混合Copula函數(shù)求取的宜昌站年徑流預(yù)測值與實測值對比Fig.6 Comparison between the predicted annual runoff calculated by hybrid Copula function based on ASBCS algorithm and themeasured annual runoff in Yichang station

表1 四個函數(shù)預(yù)測宜昌站2001-2010年的年徑流量的相對誤差比較Tab.1 The relative error comparison of the annual runoff in Yichang station from 2001 to 2010 predicted by four functions

6 結(jié)語

本文提出了基于自適應(yīng)搜索平衡的布谷鳥搜索算法，對混合Copula函數(shù)進行參數(shù)尋優(yōu)，以漢口水文站和宜昌水文站的歷史數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，以10年間的漢口水文站的年徑流量為自變量，對宜昌水文站10年間的年徑流量進行了預(yù)測.本文所構(gòu)建的混合Copula函數(shù)是在深入研究了三種二元Copula函數(shù)，詳細分析了三種函數(shù)的參數(shù)設(shè)置以及適合應(yīng)對的變量關(guān)系之后所構(gòu)建的.實驗結(jié)果證明了ASBCS算法收斂速度快，尋優(yōu)精度高，用于混合Copula函數(shù)尋優(yōu)之后，對宜昌水文站10年間的年徑流量的預(yù)測精度明顯高于三個單一的Copula函數(shù).本文所提出ASBCS算法對其他應(yīng)用中的參數(shù)尋優(yōu)具有重要的參考意義，該鄰近水文站的年徑流量預(yù)測方法可以推廣至任何兩個地域上較鄰近水文站的年徑流預(yù)測.在今后的研究中，將進一步混合Copula函數(shù)，研究更優(yōu)的群智能算法來進行混合Copula函數(shù)的參數(shù)尋優(yōu).