付東曉，張國(guó)興，張 蕊，李 芳，都振華，麻宏亮，平 川

基于蒙特卡羅的復(fù)雜火工系統(tǒng)可靠性預(yù)計(jì)精度研究

付東曉，張國(guó)興，張 蕊，李 芳，都振華，麻宏亮，平 川

（陜西應(yīng)用物理化學(xué)研究所 應(yīng)用物理化學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安，710061）

針對(duì)蒙特卡羅方法進(jìn)行復(fù)雜火工系統(tǒng)可靠性預(yù)計(jì)過(guò)程中存在誤差的問(wèn)題，分別從串、并聯(lián)系統(tǒng)，元件組成數(shù)量以及蒙特卡羅方法參數(shù)3個(gè)方面開(kāi)展研究。結(jié)果表明：蒙特卡羅方法的可靠度計(jì)算誤差可采用串聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行評(píng)價(jià)，盡量減少系統(tǒng)中的隨機(jī)抽樣元件個(gè)數(shù)，提高抽樣數(shù)量可提高可靠度的計(jì)算精度，重復(fù)計(jì)算次數(shù)可使計(jì)算結(jié)果趨于穩(wěn)定，并且單個(gè)元件抽樣統(tǒng)計(jì)值控制可顯著降低計(jì)算誤差。

火工系統(tǒng)；可靠性預(yù)計(jì)；蒙特卡羅；計(jì)算精度

火工系統(tǒng)是指由數(shù)個(gè)火工元件或數(shù)個(gè)火工裝置組成，同時(shí)完成兩個(gè)以上（含兩個(gè)）功能的組合體[1]。火工系統(tǒng)在設(shè)計(jì)過(guò)程中需要進(jìn)行可靠性預(yù)計(jì)，根據(jù)組成系統(tǒng)的各單元可靠性或以往經(jīng)驗(yàn)來(lái)推測(cè)系統(tǒng)的可靠性[2]。對(duì)于簡(jiǎn)單邏輯的火工系統(tǒng)，可通過(guò)其各單元的可靠性邏輯關(guān)系，建立精確的串并聯(lián)數(shù)學(xué)模型，計(jì)算得到可靠性預(yù)計(jì)值。對(duì)于功能復(fù)雜火工系統(tǒng)，由于火工元件數(shù)量多、可靠性邏輯關(guān)系復(fù)雜，無(wú)法采用串并聯(lián)數(shù)學(xué)模型法進(jìn)行可靠性預(yù)計(jì)，可采用蒙特卡羅方法，但蒙特卡羅方法是數(shù)值計(jì)算方法，存在一定的計(jì)算誤差。為提高計(jì)算精度，本研究分別從串并聯(lián)系統(tǒng)、元件組成數(shù)量以及蒙特卡羅方法參數(shù)選擇進(jìn)行研究，為提升基于蒙特卡羅方法復(fù)雜火工系統(tǒng)可靠性預(yù)計(jì)精度提供了基礎(chǔ)數(shù)據(jù)支撐。

1 蒙特卡羅法火工系統(tǒng)可靠性預(yù)計(jì)原理

火工系統(tǒng)是由各種元件組成，而每種元件有其固有的可靠性。當(dāng)元件可靠性已知時(shí)，可以用具有元件可靠性特征參量的隨機(jī)數(shù)代表產(chǎn)品的功能?；鸸は到y(tǒng)元件的工作狀態(tài)只有2種，即作用成功或失敗，可以用1（成功）和0（失?。┍硎?。利用模擬抽樣代替真實(shí)抽樣，系統(tǒng)中每個(gè)元件抽取個(gè)1，0隨機(jī)數(shù)(>1 000 000)，這些隨機(jī)數(shù)服從二項(xiàng)式分布（即其中1出現(xiàn)的概率為該元件可靠性的值，1,0排序隨機(jī)），這樣就可以組成套系統(tǒng)。根據(jù)系統(tǒng)功能及元件的邏輯關(guān)系，得到這套系統(tǒng)最終實(shí)現(xiàn)功能的數(shù)量，該值在這套產(chǎn)品中所占的比率就是該系統(tǒng)的可靠性預(yù)計(jì)值。

2 串、并聯(lián)系統(tǒng)解析解與蒙特卡羅法數(shù)值解關(guān)系

蒙特卡羅方法在計(jì)算系統(tǒng)可靠度時(shí)，需要將系統(tǒng)進(jìn)行部分串并聯(lián)簡(jiǎn)化，用以提高計(jì)算精度，本節(jié)分析串聯(lián)系統(tǒng)以及并聯(lián)系統(tǒng)中應(yīng)用的計(jì)算誤差。

2.1 串聯(lián)系統(tǒng)蒙特卡羅法與數(shù)值解關(guān)系

圖1為由4個(gè)元件組成的串聯(lián)系統(tǒng)，分別采用解析解法和蒙特卡羅方法進(jìn)行計(jì)算，對(duì)比蒙特卡羅方法的可靠度計(jì)算誤差。

圖1 4個(gè)元件組成的串聯(lián)系統(tǒng)

該系統(tǒng)的可靠度計(jì)算：

=R×R×R×R=0.302 358 6 （1）

采用蒙特卡羅方法將4個(gè)元件的隨機(jī)抽樣分別按照其邏輯關(guān)系（圖2）進(jìn)行組合計(jì)算，邏輯代數(shù)表達(dá)式見(jiàn)式（2）。

圖2 串聯(lián)系統(tǒng)的邏輯關(guān)系

=∩∩∩（2）

采用蒙特卡羅方法進(jìn)行計(jì)算，其中=10 000 000，R=0.75，R=0.82，R=0.68，R=0.723。重復(fù)進(jìn)行100次，對(duì)其計(jì)算精度進(jìn)行驗(yàn)證，如圖3~4所示。

從圖3~4可以得到，蒙特卡羅方法計(jì)算結(jié)果在解析解附近呈現(xiàn)均勻分布。其計(jì)算誤差在-0.1%~0.1%之間，分布均勻。

圖3 采用蒙特卡羅方法計(jì)算串聯(lián)系統(tǒng)可靠度

圖4 采用蒙特卡羅方法計(jì)算串聯(lián)系統(tǒng)誤差

2.2 并聯(lián)系統(tǒng)蒙特卡羅法與數(shù)值解關(guān)系

圖5為由4個(gè)元件組成的并聯(lián)系統(tǒng)，分別采用解析解法和蒙特卡羅方法進(jìn)行計(jì)算，分析蒙特卡羅方法的可靠度計(jì)算誤差。該系統(tǒng)的可靠度計(jì)算見(jiàn)式（3）：

=1-(1-R)×(1- R)×(1- R)×(1- R) （3）

將各元件的可靠度值代入式（3）中，得到：=0.996 011 2。

采用蒙特卡羅方法將4個(gè)元件的隨機(jī)抽樣分別按照其邏輯關(guān)系（圖6）進(jìn)行組合計(jì)算，邏輯代數(shù)表達(dá)式見(jiàn)式（4）。

圖5 4個(gè)元件組成的并聯(lián)系統(tǒng)

圖6 并聯(lián)系統(tǒng)的邏輯關(guān)系

=∪∪∪（4）

采用蒙特卡羅方法進(jìn)行計(jì)算，其中=10 000 000，R=0.75，R=0.82， R=0.68， R=0.723。重復(fù)進(jìn)行100次，對(duì)其計(jì)算精度進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果如圖7~8所示。

圖7 采用蒙特卡羅方法計(jì)算的并聯(lián)系統(tǒng)可靠度

圖8 采用蒙特卡羅方法計(jì)算并聯(lián)系統(tǒng)的誤差

從圖7中可以得到，并聯(lián)系統(tǒng)的可靠度在解析解附近呈現(xiàn)均勻分布，與串聯(lián)系統(tǒng)一致。圖8中的計(jì)算誤差相比串聯(lián)有很大的降低，在-0.006%~0.006%之間，分布均勻。由以上分析可以看出蒙特卡羅方法在不同系統(tǒng)中的計(jì)算誤差是不同的，串聯(lián)系統(tǒng)的計(jì)算誤差最大，因此，對(duì)于任意系統(tǒng)，采用蒙特卡羅方法計(jì)算可靠度的計(jì)算誤差可由該系統(tǒng)各元件串聯(lián)組成的串聯(lián)系統(tǒng)的誤差表示。

3 系統(tǒng)元件組成數(shù)量對(duì)蒙特卡羅方法計(jì)算誤差的影響

本研究選用串聯(lián)系統(tǒng)，對(duì)不同數(shù)量元件組成的系統(tǒng)可靠度進(jìn)行計(jì)算誤差分析。采用元件數(shù)量分別為10，20，30，40，50，60，70，80，90，100的串聯(lián)系統(tǒng)，進(jìn)行蒙特卡羅方法的可靠度計(jì)算，元件的可靠度都設(shè)定為0.999，蒙特卡羅方法抽樣數(shù)量=10 000 000，每個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)重復(fù)100次，對(duì)計(jì)算誤差求平均值，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1，并如圖9所示。

表1 串聯(lián)系統(tǒng)蒙特卡羅方法計(jì)算誤差

圖9 不同元件數(shù)量組成的串聯(lián)系統(tǒng)蒙特卡羅方法計(jì)算誤差

從圖9可以看出隨著串聯(lián)系統(tǒng)中元件數(shù)量的增加，計(jì)算誤差呈現(xiàn)線性增長(zhǎng)，因此控制系統(tǒng)中的元件數(shù)量是提高蒙特卡羅方法計(jì)算誤差的有效方法。

4 蒙特卡羅方法計(jì)算精度優(yōu)化

4.1 抽樣數(shù)量對(duì)蒙特卡羅方法計(jì)算誤差影響分析

采用元件數(shù)量分別為10，20，30，40，50，60，70，80，90，100的串聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行不同抽樣數(shù)量下的蒙特卡羅方法可靠度計(jì)算，每個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)重復(fù)100次，對(duì)計(jì)算誤差求平均值，結(jié)果見(jiàn)表2，取部分計(jì)算結(jié)果做圖，如圖10所示。

表2 不同抽樣數(shù)量蒙特卡羅方法計(jì)算結(jié)果

Tab.2 Monte Carlo calculation results of different sampling numbers

從表2計(jì)算結(jié)果及圖10可以看出，抽樣數(shù)量越大，蒙特卡羅方法計(jì)算可靠度的計(jì)算誤差越小，受到計(jì)算機(jī)的內(nèi)存限制，本系統(tǒng)可靠性預(yù)計(jì)時(shí)，選取=10 000 000的抽樣樣本。

4.2 蒙特卡羅方法重復(fù)計(jì)算次數(shù)與計(jì)算誤差關(guān)系

由于多次重復(fù)進(jìn)行蒙特卡羅方法的計(jì)算所得到的可靠度是均勻分布在解析解附近，對(duì)其求平均值后可以讓蒙特卡羅方法計(jì)算的可靠度更接近于解析解。本節(jié)針對(duì)蒙特卡羅方法重復(fù)次數(shù)對(duì)計(jì)算誤差的影響問(wèn)題進(jìn)行分析，得到適用于本項(xiàng)目計(jì)算的重復(fù)次數(shù)。選取不同抽樣數(shù)量，分別重復(fù)次計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖11所示。

圖11 蒙特卡羅方法不同計(jì)算次數(shù)的計(jì)算誤差曲線

從圖11可以看出，蒙特卡羅方法計(jì)算次數(shù)（求平均值）的增加并不能降低其計(jì)算誤差，只能讓其計(jì)算誤差更趨于穩(wěn)定，趨向于真實(shí)誤差。

4.3 單個(gè)元件抽樣統(tǒng)計(jì)值控制分析

在隨機(jī)數(shù)抽樣時(shí)，抽樣的隨機(jī)數(shù)與真實(shí)規(guī)定的概率存在一定誤差，如元件的可靠度為0.785，隨機(jī)抽取10 000 000個(gè)樣本，重復(fù)10次的結(jié)果如表3所示。

表3 隨機(jī)抽樣概率值誤差舉例

Tab.3 Examples of random sampling probability value errors

表3中隨機(jī)抽樣概率值為隨機(jī)抽取10 000 000個(gè)樣本中1所占的比率，其值非常接近真實(shí)概率值0.785，但存在一定的誤差，最大誤差可大0.045 6%，將這樣的隨機(jī)數(shù)帶入蒙特卡羅方法中進(jìn)行計(jì)算，在多個(gè)元件組成的系統(tǒng)中，計(jì)算誤差進(jìn)行累積，結(jié)果的計(jì)算誤差相對(duì)較大，因此需要降低隨機(jī)抽樣概率值與真實(shí)值的計(jì)算誤差。本節(jié)采用隨機(jī)數(shù)絕對(duì)誤差限制的方法，降低隨機(jī)抽樣概率值的誤差，從而提高系統(tǒng)可靠度的計(jì)算精度，計(jì)算結(jié)果如圖12及表4所示。從表4及圖12可以看出對(duì)隨機(jī)數(shù)進(jìn)行絕對(duì)誤差控制可以大幅降低計(jì)算誤差，采用絕對(duì)誤差控制在10-6后，系統(tǒng)組成單元數(shù)在100個(gè)以內(nèi)的絕對(duì)計(jì)算誤差降低至0.001 89%以內(nèi)。

圖12 各絕對(duì)誤差控制情況下計(jì)算誤差曲線圖（n=10 000 000）

表4 各絕對(duì)誤差控制情況下計(jì)算誤差結(jié)果

Tab.4 Calculation error results for each absolute error control

5 結(jié)論

（1）研究表明，采用蒙特卡羅方法在串聯(lián)系統(tǒng)中的計(jì)算誤差最大，因此可將系統(tǒng)中的元件進(jìn)行串聯(lián)，分別計(jì)算解析解和仿真值，得到的計(jì)算誤差為該系統(tǒng)的最大誤差。（2）串聯(lián)系統(tǒng)元件數(shù)量與蒙特卡羅方法計(jì)算誤差呈現(xiàn)線性關(guān)系，應(yīng)盡量減少系統(tǒng)中的隨機(jī)抽樣元件個(gè)數(shù)。（3）提高抽樣數(shù)量可提高可靠度的計(jì)算精度，但受到計(jì)算機(jī)內(nèi)存及計(jì)算時(shí)間的限制，建議取抽樣數(shù)量為=10 000 000。（4）蒙特卡羅方法重復(fù)計(jì)算次數(shù)可使計(jì)算結(jié)果趨于穩(wěn)定，建議計(jì)算次數(shù)選擇=1 000。（5）單個(gè)元件抽樣統(tǒng)計(jì)值控制對(duì)降低蒙特卡羅方法計(jì)算誤差有非常顯著的作用，建議隨機(jī)數(shù)抽樣絕對(duì)誤差限制在10-6。

[1] 王凱民.火工品工程[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社, 2014.

[2] 李進(jìn)賢.火箭發(fā)動(dòng)機(jī)可靠性[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社, 2000.

[3] 徐鳳一,張蕊,賀愛(ài)峰,陳建華,井波,曹椿強(qiáng).激光火工系統(tǒng)用脈沖激光器可靠性研究[C]//第十六屆中國(guó)科協(xié)年會(huì)論文集,2014.

[4] 嚴(yán)楠,蔡瑞嬌,田玉斌.感度試驗(yàn)Monte-Carlo法的計(jì)算機(jī)模擬與分析[J].火工品,1995(4):1-6.

Research on Reliability Prediction Accuracy of Complex Initiators System Based on Monte Carlo

FU Dong-xiao，ZHANG Guo-xing，ZHANG Rui，LI Fang，DU Zhen-hua，MA Hong-liang，PING Chuan

(Science and Technology on Applied Physical Chemistry Laboratory, Shaanxi Applied Physics and Chemistry Research Institute, Xi’an, 710061)

In order to solve the problem of error in the reliability prediction process of complex initiators system for Monte Carlo method, the reliability prediction calculation is studied from three aspects: series and parallel system, component quantity and Monte Carlo method parameters. The results show that Monte Carlo method reliability calculation error can be evaluated by series system, and the number of random sampling components in the system should be minimized, as well as increasing the number of samples. Meanwhile, the number of repetitions of Monte Carlo method can make the calculation result stable, and the single-element sampling statistical value control has a very significant effect on reducing the calculation error.

Initiator system；Reliability prediction；Monte Carlo；Calculation accuracy

TJ450.2

A

10.3969/j.issn.1003-1480.2019.05.008

1003-1480（2019）05-0029-04

2019-07-19

付東曉（1981-），男，高級(jí)工程師，從事火工品安全性可靠性技術(shù)研究。