圓柱型功能梯度雙材料界面周期裂紋問(wèn)題研究

趙志耀，張雪霞，趙文彬

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

圓柱型層合柱是一類典型的復(fù)合材料,由于它的性能比較優(yōu)越因此在工程中有廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)且簡(jiǎn)單的圓柱型層合柱是由均勻的兩種不同材料粘接而成，當(dāng)界面四周存在應(yīng)力集中時(shí)，常常是因?yàn)樵谕廨d荷的影響下。當(dāng)界面出現(xiàn)開(kāi)裂時(shí)，表明應(yīng)力水平很高。在這方面，學(xué)術(shù)界早已構(gòu)成定論[1-2]，此類界面表現(xiàn)出應(yīng)力集中并且開(kāi)裂的主要起因是材料性能參數(shù)在界面處沒(méi)有連續(xù)。近年來(lái)在工程設(shè)計(jì)中，創(chuàng)造出了功能梯度圓柱型層合住，其不同層的材料性能參數(shù)在界面處不斷過(guò)渡，因此具備更高的抗界面的開(kāi)裂本領(lǐng)。郭道強(qiáng)，麻雙雙[3]研究的圓柱型各向異性材料關(guān)于界面比較不理想的螺旋位錯(cuò)和環(huán)內(nèi)有一些夾雜物的相互作用問(wèn)題。對(duì)于圓形夾雜物和無(wú)限矩陣區(qū)域關(guān)于復(fù)勢(shì)函數(shù)的問(wèn)題，是通過(guò)利用復(fù)變函數(shù)的方法來(lái)得到它的級(jí)數(shù)精確解。并且根據(jù) Peach-Koehler 公式把位錯(cuò)力也叫像力的重要物理量精確表達(dá)出來(lái)。通過(guò)研究復(fù)勢(shì)函數(shù)的級(jí)數(shù)精確解和位錯(cuò)力，分析了在圓柱型各向異性材料并且界面不理想的情況下，對(duì)于位錯(cuò)力規(guī)律的作用。研究出來(lái)的結(jié)果是在各向異性材料中存在夾雜物時(shí)，以各向同性為基體材料有排斥位錯(cuò)力的影響而且不理想界面對(duì)位錯(cuò)的吸引效果也不是那么的明顯。李先芳[4]研究了雙材料界面處受剪切壓縮載荷作用的外圓裂紋。在光滑裂紋表面施加徑向剪切載荷的情況下，解決了外圓裂紋軸對(duì)稱問(wèn)題。在接觸面上存在切向位移位移，無(wú)正常位移間隙。毛麗娟[5]功能梯度材料結(jié)構(gòu)沿厚度方向的非均勻材料特性,使得夾緊和簡(jiǎn)支條件的功能梯度梁有著相當(dāng)不同的行為特征。該文給出了熱載荷作用下,功能梯度梁非線性靜態(tài)響應(yīng)的精確解。李先芳研究了雙材料界面處受剪切壓縮載荷作用的外圓裂紋。在光滑裂紋的表面，對(duì)其施加徑向剪切載荷，解答了外接圓的裂紋軸對(duì)稱問(wèn)題。在接觸面上存在切向位移且無(wú)正常位移間隙。首先將混合邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)偶積分方程，并且利用漢克爾變換技術(shù)得到了在界面處應(yīng)力的封閉解。結(jié)果表明，剪切壓縮時(shí)界面裂紋前沿附近沒(méi)有振蕩奇異現(xiàn)象。徑向剪應(yīng)力和正應(yīng)力分別在Ⅰ型裂縫前緣和后緣表現(xiàn)出一般的平方根奇異性。得到了粘接件中軸線向粘接中心施加的壓應(yīng)力的Ⅰ型和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的表達(dá)式。Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子與Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子成正比，它們與Dundurs參數(shù)是息息相關(guān)的。給出了外圓裂紋在壓縮力作用下的雙材料的數(shù)值結(jié)果，說(shuō)明了雙材料性能對(duì)應(yīng)力分布和應(yīng)力強(qiáng)度分布的影響。李先芳分析了雙材料在剪切載荷作用下，對(duì)環(huán)形界面裂紋表面的應(yīng)力強(qiáng)度因子以及尖端場(chǎng)問(wèn)題進(jìn)行了研究。因?yàn)榱鸭y的軸對(duì)稱，以及在混合邊界條件作用下，可以解出一組沒(méi)有振動(dòng)奇點(diǎn)的封閉解。Yong-Dong Li,Kang Yong Lee[6-7]分析了層狀圓柱形壓電傳感器的弧形界面在沿軸方向的裂紋。對(duì)奇異積分方程數(shù)值結(jié)果的參數(shù)研究為軸向剪切試驗(yàn)圓柱型壓電傳感器的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了三條準(zhǔn)則,分別為半徑比的最優(yōu)值為1.1～1.5；硬的壓電層加上軟的中心圓柱形基板可在界面上產(chǎn)生良好的強(qiáng)度匹配；未電鍍而非電鍍的外表面有利于降低界面裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子。時(shí)朋朋[8-9]分析了在軸向剪切載荷作用下，扇形雙層板的弧形界面裂紋問(wèn)題。在考慮了16種常見(jiàn)邊界條件的基礎(chǔ)上，首先用到的傅里葉變換法，在解決混合邊值的問(wèn)題中，通過(guò)奇異積分方程的奇異性得到了解決。而對(duì)于應(yīng)力強(qiáng)度因子，是進(jìn)行了數(shù)值解法，并且對(duì)該方法的計(jì)算精度進(jìn)行了收斂驗(yàn)證。應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算結(jié)果表明，幾何參數(shù)和物理參數(shù)對(duì)界面斷裂行為有明顯的耦合作用，剛度比對(duì)界面斷裂行為的影響取決于邊界的選擇。

本文分析了在徑向載荷作用下，圓柱型功能梯度雙材料周期界面裂紋尖端場(chǎng)應(yīng)力和位移的問(wèn)題。針對(duì)內(nèi)層為功能梯度材料并且外層也為功能梯度材料的圓柱型弧形界面周期裂紋問(wèn)題，首先建立了內(nèi)層和外層均為功能梯度材料的力學(xué)模型，然后在解決控制方程時(shí)，通過(guò)結(jié)合邊界條件，并且利用分離變量法和待定系數(shù)法，最終得到了圓柱型功能梯度雙材料周期界面裂紋尖端附近的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

1 基本問(wèn)題

假設(shè)，圓柱型雙材料的內(nèi)層和外層均為同心的非均勻?qū)嵭膱A柱，內(nèi)層的半徑為r1，外層的半徑為r2，在內(nèi)層材料和外層材料的粘接處都有m段弧形裂紋，每段裂紋所對(duì)應(yīng)的圓心角均為2α，如圖1所示(圖1為m=5的情形)。圓柱型橫截面是以圓心O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，令x軸通過(guò)界面裂紋的對(duì)稱中心，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系，那么通過(guò)x軸的弧形裂紋所對(duì)應(yīng)的極角取值范圍為[-α,α]，并且整個(gè)模型是以橫坐標(biāo)x軸為對(duì)稱軸的。圓柱型復(fù)合雙材料用上標(biāo)或者下標(biāo)1表示內(nèi)層材料的幾何量和物理量，用上標(biāo)或者下標(biāo)2來(lái)表示外層材料的幾何量和物理量。

圖1 含弧形界面周期裂紋的圓柱型復(fù)合材料

假設(shè)，圓柱型復(fù)合雙材料內(nèi)層為功能梯度材料，外層也為功能梯度材料，在平面應(yīng)變問(wèn)題下，內(nèi)層和外層的位移與應(yīng)力的關(guān)系為[10]：

(1)

(2)

式中：βk為非均勻的功能梯度材料參數(shù)，且無(wú)量綱。

在軸向剪切力作用下，其平衡方程分別為：

(3)

(4)

將式(1)代入式(3)、式(4)的平衡方程，并且結(jié)合式(2)的剪切模量，圓柱型復(fù)合材料的內(nèi)層控制方程為：

內(nèi)層為：

(5)

圓柱型復(fù)合材料的外層控制方程為：

外層為：

(6)

假設(shè)，圓柱型復(fù)合材料在裂紋的情況下并且在軸向有剪切力的作用下，明顯所設(shè)模型是關(guān)于x軸對(duì)稱性的，所以研究0≤θ≤π/m部分即可，并且圓柱型復(fù)合材料在含裂紋的情況下的邊界條件和連續(xù)性條件可表示為：

w1→有限值，r→0

(7)

w2(r2,θ)=0,0<θ<π/m

(8)

w1(r1,θ)=w2(r1,θ),α<θ<π/m

(9)

(10)

τrz(k)(r1,θ)=-τ0,0<θ<α(k=1,2)

(11)

式中：-τ0為作用在內(nèi)層和外層裂紋面上的軸向切應(yīng)力。于是通過(guò)求解偏微分方程組式(5)、式(6)的邊值問(wèn)題來(lái)討論圓柱型功能梯度雙材料界面裂紋尖端場(chǎng)問(wèn)題。

根據(jù)分離變量的方法來(lái)求解方程式(5)、式(6)，這樣把位移函數(shù)wk(r,θ)寫成式(12)的分離變量表達(dá)式：

wk(r,θ)=Rk(r)Φk(θ)(k=1,2)

(12)

把式(12)分別代入到方程式(5)、式(6),得到：

r2Rk′′(r)Φk(θ)+Rk(r)Φk″(θ)+

(βk+1)rRk′(r)Φk(θ)=0

(13)

方程兩邊同除以Rk(r)，整理可得：

即：

(14)

n2m2Rk(r)=0

(15)

只有當(dāng)nm為整數(shù)時(shí)式(14)的解恒存在，最終式(14)有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解分別是cos(nmθ)和sin(nmθ).由于此問(wèn)題以θ=0的軸向截面對(duì)稱，只保留cos(nmθ).于是位移函數(shù)wk(r,θ)可以用無(wú)窮級(jí)數(shù)的形式表達(dá)[12]：

(16)

(17)

其中：

根據(jù)條件(7)-(9)結(jié)合式(16)，式(17)可以得到：

Bn(n)=0

(18)

(19)

An(n)=Q1(n)Cn(n)

(20)

其中：

Q1(n)=-μ2/μ1

(21)

為了導(dǎo)出奇異積分方程，引入了位錯(cuò)密度函數(shù)：

(22)

根據(jù)方程(9)、(16)、(17)可以得到：

g(θ)=0,α<θ<π/m

(23)

(24)

由于對(duì)稱性，位錯(cuò)密度函數(shù)θ是一個(gè)奇函數(shù)，等價(jià)地表示為：

g(0)=0

(25)

將式(16)、式(17)代入式(22)，對(duì)其進(jìn)行傅里葉余弦變換，可以得到如下關(guān)系：

(26)

其中Q2(n)是無(wú)量綱函數(shù)，且：

(27)

分別將式(1)、式(2)代入邊界條件式(11)，考慮等式(16)、(17)、(26)，可以導(dǎo)出一個(gè)積分方程：

(28)

這里Q3(n)是已知函數(shù)：

(29)

當(dāng)n→

(30)

(31)

其中：

ζ=cos(s),ν=cos(θ),a=cos(α),f(ζ)=g(s)

(32)

R(ν,ζ)=

(33)

定義：

a0=(1-a)/2，c0=(1+a)/2

(34)

(35)

將奇異積分方程分離奇異性，將式(31)可寫成柯西奇異積分方程表示如下：

(36)

式中：

根據(jù)奇異積分方程理論，式(36)的解具有如下形式:

(37)

-h,(l=1,2,…,m)

(38)

ψ(0)=0

式中h為求積節(jié)點(diǎn)數(shù)，需根據(jù)數(shù)值計(jì)算的收斂性來(lái)確定,

β0=βh=1/2,β1=β2=…=βn-1=1

(39)

那么，在裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)式可表示為：

(40)

裂紋尖端的剪應(yīng)力θ→α+為：

(41)

根據(jù)式(36)可將式(41)改寫為：

(42)

式(42)可分成兩項(xiàng):

(43)

對(duì)于滿足赫爾德的函數(shù)連續(xù)性條件，式(43)的第一項(xiàng)是非奇異的。那么，裂紋尖端的奇異應(yīng)力θ→α+可以表示為:

(44)

將式(44)代入(40)得：

(45)

(46)