對一道高考試題的多視角“消元”

四川省成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校 (610100) 杜海洋

縱觀近幾年全國各省市的高考題或模擬題，幾乎都有一道涉及求最值或值域的選擇題或填空題，多為容易題或中檔題.這些題型往往結(jié)構(gòu)小巧玲瓏，題干簡潔、精煉、優(yōu)美.對考生來講如何快速、靈活、準(zhǔn)確地破解這類小題體現(xiàn)了考生平時掌握解題的基本功.2019年高考天津卷第13題是以一道求代數(shù)式的最值呈現(xiàn)，中規(guī)中矩，是對學(xué)生掌握求最值問題的一道“體檢”題.

方法一 基本不等式法直接消元

解：因?yàn)閤>0，y>0，x+2y=5，則

點(diǎn)拔：由已知條件，先將式子中的分子展開后化簡，再由式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)直接利用均值不等式求最值，積為定值或和為定值體現(xiàn)直接將“元”化常數(shù)，當(dāng)然此法尤其注意等號成立的條件.

方法二 整體消元建立函數(shù)用導(dǎo)數(shù)法

點(diǎn)拔：作為高考題，重點(diǎn)是考查學(xué)生運(yùn)用均值不等式取最值時條件是否成立.處理等號不成立問題，導(dǎo)數(shù)法是解決這類問題的主要手段，也是我們平常說的對勾函數(shù)的運(yùn)用.

方法三 三角換元法

點(diǎn)拔：求最值時涉及到有界性問題及消元思想，三角代換往往排上用場.尤其是題中出現(xiàn)式子變形化為和為1時，用三角函數(shù)思想進(jìn)行代換消元.

方法四 改變式子結(jié)構(gòu)再用基本不等式消元

點(diǎn)拔：已知條件結(jié)構(gòu)形式與所求式子相互轉(zhuǎn)化是探究問題的常見手段之一，即未知向已知轉(zhuǎn)化，此法與法一殊途同歸，但體現(xiàn)了出題者對試題的寬入口完美體現(xiàn).

方法五 構(gòu)造等差數(shù)列消元

點(diǎn)拔：在條件出現(xiàn)等式形式，不管涉及和與差，可以聯(lián)想到等差數(shù)列，從而進(jìn)行消元思想進(jìn)行處理.

方法六 整體代換建立一元二次方程利用判別式

點(diǎn)拔：不等向等式轉(zhuǎn)化這是解決數(shù)學(xué)問題常用方法，尤其涉及求代數(shù)式的值或值域，將代數(shù)式看成一個整體進(jìn)行消元，如式子出現(xiàn)項與項由明顯的二次關(guān)系時，往往從二次函數(shù)或一元二次方程角度去破解.

方法七 由等式直接代換消元

點(diǎn)拔：含有多參數(shù)式子，利用已知條件消參數(shù)應(yīng)該是解答數(shù)學(xué)試題的最基本思路之一，即消參法.有時可將式子中的一個式子看成一個元素進(jìn)行消參，比如方法二、方法六.

3.解題反思作為在平時教學(xué)中如果我們解答往年的高考真題，如果停留在參考答案這里，學(xué)生常常會疑問平時學(xué)的求最值方法去哪兒了？此題導(dǎo)數(shù)法行不?消元法、代換法、判別式法等等行不？通過對此題的多解的分析與呈現(xiàn)，目的是擴(kuò)展學(xué)生們的思路，找到問題的突破點(diǎn)，思維的目標(biāo)劃歸為——消元策略，再將解答之間的方法進(jìn)行比較，從而找準(zhǔn)此題型的優(yōu)解.如何從不同角度分析問題，廣泛聯(lián)系所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，從而提高解決此類問題的能力，才能在高考解題中運(yùn)用自如.

4.反饋練習(xí)

(3)已知x>0，y>0，x+2y+2xy=3，則x+2y的最小值為．