排水通道分布式布設(shè)下雙層地基平面應(yīng)變固結(jié)分析

陳 征，張 峰，陳益峰，胡少偉，梅國雄

(1.武漢大學(xué)水資源與水電工程科學(xué)國家重點實驗室，湖北，武漢 430072；2.武漢大學(xué)水工巖石力學(xué)教育部重點實驗室，湖北，武漢 430072；3.中建海峽建設(shè)發(fā)展有限公司科技與設(shè)計管理部， 福建，福州 350015；4.南京水利科學(xué)研究院材料結(jié)構(gòu)研究所，江蘇，南京 210024；5.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，廣西，南寧 530004)

工程中，排水固結(jié)法作為處理軟土地基的有效方法之一，在我國沿海地區(qū)被廣泛使用[1]。而水平排水體作為固結(jié)排水通道，其布設(shè)方式對軟土地基土固結(jié)效率具有重要的影響[2]。因此，研究如何合理布設(shè)軟土地基排水通道具有十分重要的工程應(yīng)用價值。

目前，針對地基表面排水通道的研究主要分為排水通道的數(shù)學(xué)表征及優(yōu)化兩方面。其中，排水通道在固結(jié)理論中反映的是地基土的邊界條件，其數(shù)學(xué)表征主要分為三類：Terzaghi等[3]提出的完全透水邊界、Gray[4]提出的豎向半透水邊界、Gibson和Shefford[5]提出的水平向透水邊界。不同學(xué)者針對上述排水通道的不同數(shù)學(xué)表征方式開展了大量研究[6-13]。排水通道的優(yōu)化研究則主要體現(xiàn)在不同水平排水材料(如砂墊層、碎石墊層、復(fù)合土工布等)排水效果檢驗[14-16]和水平排水體厚度、寬度及滲透性優(yōu)化等方面[17-19]。

總體來說，上述研究工作皆基于地基表面排水通道全面布設(shè)的前提下開展的。然而由Terzaghi固結(jié)理論推演出的典型地基無量綱出水速率-時間因數(shù)曲線關(guān)系[20](如圖1所示)可知，地基土排水速率在固結(jié)初期急劇下降(時間因數(shù)10-4增至10-1時，無量綱排水速率由56.42降至1.91)。固結(jié)中后期，地基排水速率相對較低，最終趨于不排水。因此，過量的排水通道被極大地浪費。工程中最為關(guān)心的通常不是固結(jié)前期，而是后期(如固結(jié)度達(dá)85%左右)。在達(dá)到設(shè)計固結(jié)度所額外增長的時間在工程中能被接受的前提下，為盡可能地節(jié)約資源，范鶴濱和梅國雄[21]提出了排水通道等間距條形分布式布設(shè)的新方法，變排水通道全面布設(shè)為分布式布設(shè)，使得排水通道總面積大幅降低，并通過數(shù)值模擬驗證了分布式布設(shè)排水通道對工程中所關(guān)心的固結(jié)后期的固結(jié)度影響很小。隨后，Yao等[22]基于Biot固結(jié)理論對成層地基下排水通道分布式布設(shè)問題進(jìn)行了數(shù)值分析，得到了影響分布式排水通道布設(shè)方式適用性的各種影響因素。上述研究皆基于數(shù)值模擬，難以將分布式排水通道應(yīng)用于工程設(shè)計。為此，筆者在前人研究的基礎(chǔ)上，給出了排水通道條形分布式布設(shè)下單層地基平面應(yīng)變固結(jié)半解析解，并繪出了設(shè)計圖，為指導(dǎo)分布式排水通道高效且經(jīng)濟(jì)的布設(shè)提供了理論依據(jù)[20]。

圖1 Terzaghi一維固結(jié)地基土無量綱排水速率及平均固結(jié)度隨時間變化曲線[20]Fig.1 Variations of dimensionless drainage velocity and average degree of consolidation with time factor under one dimensional Terzaghi’s consolidation[20]

本文在已有研究工作的基礎(chǔ)上，對條形分布式排水通道下雙層地基平面應(yīng)變固結(jié)問題展開深入研究，并對不同水平排水通道幾何參數(shù)及地基土物理參數(shù)進(jìn)行固結(jié)敏感性分析以探究雙層地基條件下影響分布式排水邊界適用性的主要參數(shù)，為工程設(shè)計提供理論參考。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 問題描述

如圖2(a)所示，雙層飽和粘土上下層厚度分別為H1和H2，且H1+H2=H；頂面透水，底面不透水；kh1、kv1、mv1分別為上層土的水平滲透系數(shù)、豎向滲透系數(shù)和體積壓縮系數(shù)；kh2、kv2、mv2分別為下層土的水平滲透系數(shù)、豎向滲透系數(shù)和體積壓縮系數(shù)；寬度為2L的條形水平排水通道以間距2D在地基表面等間距布設(shè)。參考Barron[23]研究砂井地基固結(jié)理論的方法，本文根據(jù)條形排水通道等寬、等間距布設(shè)的對稱特性，選取圖2(a)中特征單元為研究對象，具體參數(shù)及邊界如圖2(b)所示。

圖2 固結(jié)模型簡圖Fig.2 Sketch of the consolidation model

1.2 控制方程

在滿足平面應(yīng)變假設(shè)的基礎(chǔ)上，雙層地基二維自由應(yīng)變固結(jié)控制方程為：

式中：γw為水的重度；u1和u2分別為上、下土層超靜孔壓；t為固結(jié)時間。

1.3 求解條件

如圖2(b)所示，地基表面分為兩部分區(qū)域：水平導(dǎo)水層布設(shè)區(qū)與未布設(shè)區(qū)。其中，未布設(shè)砂墊層區(qū)域地基邊界條件介于完全排水與隔水之間，而未布設(shè)砂墊層區(qū)域排水性越好，排水通道分布式布設(shè)對地基固結(jié)影響越小。因此，為保守起見，選取對排水通道分布式布設(shè)最不利工況進(jìn)行研究，即假定排水通道未布設(shè)區(qū)為隔水邊界條件，則地基表面邊界條件為：

和

地基底部為隔水邊界，滿足：

層間孔壓及滲流連續(xù)條件為：

模型側(cè)向為對稱邊界條件，即：

地基表面瞬時施加恒定荷載u0，初始條件為：

1.4 無量綱化

為便于方程求解及敏感性分析，定義如下無量綱參數(shù)及變量：

應(yīng)用上述無量綱參數(shù)及變量，模型簡圖如圖2(c)所示，模型控制方程及求解條件轉(zhuǎn)換為：

控制方程：

豎向邊界及滲流連續(xù)條件：

側(cè)向邊界條件：

初始條件：

由控制方程及求解條件可知，控制排水通道分布式布設(shè)雙層地基平面應(yīng)變固結(jié)的主要參數(shù)包括時間變量Tv1；幾何參數(shù)λ、η、δ；地基土物理參數(shù)κ1、κ2、ζ、μ。

2 求解過程

2.1 邊界轉(zhuǎn)換

常規(guī)邊界條件下，固結(jié)模型的求解在空間上常采用積分變換法[24-26]。本文模型由于水平排水通道的分布式布設(shè)，地基表面邊界為混合邊界條件(第一類邊界條件和第二類邊界條件同時存在于同一邊界上)，而混合邊界條件下的固結(jié)問題難以直接采用積分變換法求解。為此，本文根據(jù)Chen等[20]提出的邊界轉(zhuǎn)換法，通過中間函數(shù)將地基表面混合邊界條件轉(zhuǎn)換為同類邊界條件。為便于中間函數(shù)的求解，將z=0處邊界式(10)及式(11)統(tǒng)一轉(zhuǎn)換為第二類邊界條件，即：

式中，q(X,Tv1)為中間函數(shù)。

2.2 超靜孔壓及平均固結(jié)度解答

首先，根據(jù)初始條件對固結(jié)控制方程及邊界條件進(jìn)行Laplace變換；然后，根據(jù)側(cè)向邊界條件對Laplace域內(nèi)方程及豎向邊界條件進(jìn)行有限Fourier余弦變換及逆變換，從而得到無量綱超靜孔壓在Laplace域內(nèi)的解答；最后，通過局部離散法求得中間函數(shù)q在Laplace域內(nèi)節(jié)點值，并代入原解答，具體求解過程參見附錄A。結(jié)果羅列如下：

式中：

其余各參數(shù)參見附錄A。

雙層地基土基于孔壓計算的平均固結(jié)度在Laplace域內(nèi)為：

式中：

在式(21)的矩陣計算中，Dij內(nèi)級數(shù)求和的收斂速度直接影響的求解速度。本文采用Shanks法加速級數(shù)的收斂[27]。將求得的代入式(17)、式(20)再采用數(shù)值Laplace逆變換法即可得到無量綱超靜孔隙水壓力及平均固結(jié)度[28]。

3 解答特例及數(shù)值驗證

3.1 解答特例

3.1.1λ=100%

當(dāng)λ= 1時，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，有：

故函數(shù)gmi(X)滿足：

使得

將式(24)代入式(21)，并通過高斯消元法可求得：

從式(25)可以看出地基表面各位置均相等，故當(dāng)λ= 100%時，全面布設(shè)排水通道下二維固結(jié)模型等價于雙層地基一維固結(jié)模型[7]。

3.1.2κ1η2→ ∞

當(dāng)κ1η2→ ∞時，根據(jù)式(A11)矩陣運算可求得：

故有

將式(27)代入式(21)可得：

式(28)代入式(18)與λ= 1時式(25)代入式(18)所求得的相同，故通過式(20)所求的平均固結(jié)度亦相同，即κ1η2→ ∞時，分布式排水邊界下二維固結(jié)模型可轉(zhuǎn)換為全面布設(shè)排水通道下二維固結(jié)模型，亦即是雙層地基一維固結(jié)模型[7]。

3.2 數(shù)值驗證

為深入驗證本文解答的正確性，采用數(shù)值有限元法與本文半解析解進(jìn)行對比驗證。為簡化數(shù)值計算，本文所建立的模型是與式(9)～式(15)相對應(yīng)的無量綱化數(shù)學(xué)模型，模型參數(shù)如表1所示。時間間隔的選取隨時間因數(shù)的增大而逐漸增大，時間在每個相鄰冪次段皆被等分為90段(例如，時間因數(shù)在100～101之間的時間間隔為10-1)。計算模型的網(wǎng)格均勻劃分，網(wǎng)格大小為0.5×0.5(如圖3所示)。圖3中標(biāo)注了A、B、C、D和E五個點用以進(jìn)行數(shù)值解與本文半解析解的對比。

表1 數(shù)值模型計算參數(shù)Table 1 Parameters of the numerical model

圖3 模型的網(wǎng)格及邊界條件Fig.3 Mesh and boundary conditions of the model

圖4給出了表1工況下數(shù)值解與本文半解析解所計算的超靜孔壓對比曲線。從圖4明顯可以看出本文解與數(shù)值解幾乎完全重合，從而驗證了本文解答的正確性，也證實了本文解答所采用的局部離散法及Laplace數(shù)值逆變換法的有效性與準(zhǔn)確性。

圖4 本文半解析解與數(shù)值解所計算的超靜孔壓對比曲線Fig.4 Comparison of excess pore water pressure calculated from the proposed semi-analytical solution and numerical solution

4 固結(jié)敏感性分析

本文分別從排水通道物理參數(shù)和地基土物理及力學(xué)參數(shù)兩個角度來研究排水通道分布式布設(shè)對地基固結(jié)特性的影響。進(jìn)行敏感性分析的參數(shù)包括水平排水通道參數(shù)：λ、η；地基土參數(shù)：上層地基土κ1和下層地基土κ2、ζ、μ。為便于分析，提出了固結(jié)時間增長率Et(U)來表征排水通道的分布式布設(shè)相比于全面布設(shè)達(dá)到特定固結(jié)度U所用時間的增長率。Et(U)可表示為：

式中，td(U)和tf(U)分別表示水平排水通道分布式布設(shè)和全面布設(shè)達(dá)到固結(jié)度U所用時間。

4.1 水平排水通道幾何參數(shù)

參數(shù)λ=L/(L+D)表征條形水平排水通道布設(shè)面積與地基土表面積之比，即布設(shè)率。當(dāng)λ=100%時，水平排水通道分布式布設(shè)退化為全面布設(shè)。圖5反映了不同布設(shè)率對固結(jié)度的影響，從該圖可以看出，當(dāng)λ=60%時，固結(jié)度曲線已幾乎與全面布設(shè)下的固結(jié)度曲線重疊。相對于水平排水通道全面布設(shè)，分布式布設(shè)情況下地基平均固結(jié)度與全面布設(shè)間的差值（ΔU(Tv1) =UT(Tv1) ?U(Tv1)，其中UT(Tv1)為全面布設(shè)砂墊層地基平均固結(jié)度）由初始時刻0逐漸增大至極值，隨后逐漸減小至0。

表2給出了固結(jié)后期不同布設(shè)率下時間增長率隨平均固結(jié)度的變化關(guān)系。值得一提的是，當(dāng)固結(jié)度越高，采用分布式布設(shè)水平排水通道與全面布設(shè)相比對固結(jié)效率的影響越小。例如在布設(shè)率為60%的情況下，地基土平均固結(jié)度達(dá)到85%所需固結(jié)時間相比于全面布設(shè)增加了4.54%，而達(dá)到90%所需的固結(jié)時間則僅增加了4.37%。

圖5 不同布設(shè)率λ下地基平均固結(jié)度演化規(guī)律Fig.5 Evolution of average degree of consolidation for different pave rate λ

表2 不同布設(shè)率λ下時間增長率隨平均固結(jié)度的變化Table 2 Increasing rate of consolidation time for a certain average degree of consolidation with different λ

結(jié)合圖5及表2分析表明，相比排水通道全面布設(shè)，分布式布設(shè)雖然不能完全滿足固結(jié)初期的地基排水需求，但能很好地滿足固結(jié)中后期的排水要求，同時對于工程中較為關(guān)注的地基固結(jié)后期的固結(jié)效率影響較小。

參數(shù)η=H/(L+D)為特征單元的厚-寬比，表征條形水平排水通道布設(shè)條數(shù)。圖6給出了定布設(shè)率λ下厚-寬比η對地基固結(jié)的影響。隨著厚-寬比的增大，水平排水通道布設(shè)條數(shù)逐漸增多，水平滲流路徑逐漸減小，從而加快了水平向滲流速度使得平均固結(jié)度亦隨之增大。當(dāng)η趨于∞時，水平滲流路徑逐漸減小直至趨于0，徑向滲流趨于瞬時完成，土體僅產(chǎn)生一維豎向滲流，使得地基土平均固結(jié)度曲線逐漸靠近水平排水通道全面布設(shè)情況下的平均固結(jié)度曲線，這也與3.1.2節(jié)中η →∞結(jié)果一致。表3為不同厚-寬比η下不同平均固結(jié)度對應(yīng)的時間增長率。由表3可見，厚-寬比越大，固結(jié)時間增長率越低。如地基土平均固結(jié)度達(dá)到90%時，厚-寬比η= 4對應(yīng)的固結(jié)時間增長率為8.99%，而厚-寬比η= 8對應(yīng)的固結(jié)時間增長率僅為4.37%，可見厚-寬比對固結(jié)效率影響較為顯著。

圖6 不同厚-寬比η下地基平均固結(jié)度隨時間變化曲線Fig.6 Evolution of average degree of consolidation for different thickness-width ratios η

表3 不同厚-寬比η下時間增長率隨平均固結(jié)度的變化Table 3 Increasing rate of consolidation time for a certain average degree of consolidation with different thickness-width ratios η

綜合表2及表3可以發(fā)現(xiàn)，增加厚-寬比(排水通道的布設(shè)條數(shù))雖然可以顯著地降低時間增長率，但并不利于施工的開展。為降低過量排水通道造成的極大浪費，又對工程所關(guān)心的地基固結(jié)度影響較小，僅僅通過增加排水通道條數(shù)顯然是不可取的，需要聯(lián)合布設(shè)率進(jìn)行整體優(yōu)化設(shè)計。

4.2 地基土物理參數(shù)

4.2.1 上層土

為研究上層土滲透各向異性系數(shù)κ1對固結(jié)效率的影響，圖7給出了四種不同κ1值下地基土平均固結(jié)度隨時間的演化規(guī)律?？梢园l(fā)現(xiàn)，排水通道分布式布設(shè)情況下，隨著κ1值的增大，平均固結(jié)度曲線逐漸向全面布設(shè)情況下的平均固結(jié)度曲線靠近。這是由于隨著κ1值的增大，上層土水平向滲透系數(shù)隨之增大，使得土體水平向滲流速度加快，從而增加了土體固結(jié)速度。當(dāng)κ1→ ∞時，土體固結(jié)過程中水平向滲流趨于瞬時完成，土體二維固結(jié)等價于一維豎向固結(jié)，這與4.1.2節(jié)中特例的結(jié)論相符。

結(jié)合表4及圖7可以看出：當(dāng)κ1＞ 100時，分布式排水通道的布設(shè)對固結(jié)效率的不利影響幾乎可以忽略；當(dāng)10-1＜κ1＜100時，分布式排水通道的布設(shè)對固結(jié)已經(jīng)產(chǎn)生了較為明顯的影響，但依然可以通過增加布設(shè)率λ及厚-寬比η來降低固結(jié)時間增長率；當(dāng)κ1＜10-1時，分布式排水對固結(jié)的影響較大，即使通過增加布設(shè)率λ及厚-寬比η，也難以應(yīng)用于實際工程。

圖7 不同滲透各向異性系數(shù)κ1對地基平均固結(jié)度的影響Fig.7 Influence of anisotropy coefficients κ1 on the average degree of consolidation

表4 不同參數(shù)κ1下時間增長率隨平均固結(jié)度的變化Table 4 Increasing rate of consolidation time for a certain average degree of consolidation with different κ1

4.2.2 下層土

下層土滲透各向異性系數(shù)κ2值的變化體現(xiàn)在雙層地基下層土水平向滲透系數(shù)的變化。圖8反映了排水通道分布式布設(shè)和全面布設(shè)兩種情況下κ2值對固結(jié)過程的影響。從圖8可以發(fā)現(xiàn)，4組不同κ2值下分布式排水平均固結(jié)度曲線與全面排水平均固結(jié)度曲線幾乎完全重合，即κ2值的變化對地基整體固結(jié)影響相對較小，表5中的數(shù)據(jù)也證實了這一點。這是因為排水通道在上層土表面，土體固結(jié)自上而下，下層土水平向滲透系數(shù)的變化對土體整體固結(jié)并不敏感。

參數(shù)ζ的變化表征了地基下層土滲透性的變化。圖9及表6給出了分布式排水條件下參數(shù)ζ對地基土固結(jié)效率的影響。分析圖9及表6發(fā)現(xiàn)：雙層土地基固結(jié)中，當(dāng)上層土滲透性較下層土強時(即ζ＜100)，排水通道分布式布設(shè)對地基土固結(jié)的不利影響較?。环粗?，不利影響則相對較大。

圖8 不同滲透各向異性系數(shù)κ2對地基平均固結(jié)度的影響Fig.8 Influence of anisotropy coefficients κ2 on the average degree of consolidation

表5 不同參數(shù)κ2下時間增長率隨平均固結(jié)度的變化Table 5 Increasing rate of consolidation time for a certain average degree of consolidation with different κ2

圖9 不同參數(shù)ζ下地基平均固結(jié)度隨時間變化曲線Fig.9 Evolution of average degree of consolidation for different ζ

參數(shù)μ的變化反映了下層土體積壓縮系數(shù)的變化。圖10及表7給出了分布式排水條件下參數(shù)μ對地基土固結(jié)效率的影響。分布式排水通道對固結(jié)不利影響隨著參數(shù)μ的增大而逐漸減小。由固結(jié)方程式(9)可知，參數(shù)ζ越大或μ越小，下層土固結(jié)系數(shù)越大，間接相當(dāng)于雙層地基上層土體的固結(jié)系數(shù)越小，而固結(jié)從靠近排水通道的上層土體開始，使得分布式排水通道對固結(jié)效率造成的不利影響亦隨之增大。

表6 不同參數(shù)ζ下時間增長率隨平均固結(jié)度的變化Table 6 Increasing rate of consolidation time for a certain average degree of consolidation with different ζ

圖10 不同參數(shù)μ下地度隨時變化曲Fig.10 Evolution of average degree of consolidation for different μ

表7 不同參數(shù)μ下時間增長率隨平均固結(jié)度的變化Table 7 Increasing rate of consolidation time for a certain average degree of consolidation with different μ

通過總結(jié)雙層地基上、下層土體物理參數(shù)對分布式排水通道下地基土固結(jié)效率的影響，可以發(fā)現(xiàn)：總體來說，下層土體物理參數(shù)相較于上層土體對分布式排水通道下地基土固結(jié)效率地影響較小。在工程設(shè)計中，分布式排水通道的布設(shè)應(yīng)優(yōu)先考慮上層土體的物理力學(xué)性質(zhì)，通過合理的選擇分布式排水通道的幾何參數(shù)達(dá)到與全面布設(shè)排水通道幾乎相同的固結(jié)效率，從而在不延誤工期的情況下盡可能地提高資源利用率、降低資源損耗。

5 結(jié)論

本文基于平面應(yīng)變假設(shè)，建立了條形分布式布設(shè)排水通道下雙層地基平面應(yīng)變固結(jié)模型，并通過邊界轉(zhuǎn)換法求得了固結(jié)問題的半解析解。在通過數(shù)值法驗證了解答正確性的基礎(chǔ)上，開展了固結(jié)參數(shù)敏感性分析，具體結(jié)論羅列如下：

(1) 相比于排水通道全面布設(shè)，分布式布設(shè)率λ越高，分布式排水通道對固結(jié)的抑制作用越小，且固結(jié)時間增長率越低。固結(jié)后期，相比于全面布設(shè)排水通道，分布式布設(shè)對地基整體固結(jié)效率的降低幾乎可以忽略，尤其當(dāng)布設(shè)率λ較高時。

(2) 隨著厚-寬比η的增大，固結(jié)時間增長率顯著降低，但并不利于施工的開展。為減少排水通道的布設(shè)，又達(dá)到與全面布設(shè)排水通道幾乎相同的固結(jié)效率，需要聯(lián)合布設(shè)率λ及厚-寬比η進(jìn)行整體優(yōu)化設(shè)計。

(3) 上層土滲透各向異性系數(shù)κ1值越大，排水通道分布式布設(shè)對地基整體固結(jié)效率的影響越低，且越利于分布式排水通道的應(yīng)用。

(4) 地基下層土參數(shù)中，滲透各向異性系數(shù)κ2的變化對固結(jié)過程影響極其微?。欢鴿B透參數(shù)ζ越大或土體積壓縮參數(shù)μ越小，分布式排水通道對固結(jié)效率造成的不利影響則越大。

(5) 總體上，雙層地基下層土體物理參數(shù)相較于上層土體對分布式排水通道下地基土固結(jié)效率的影響較小。在工程設(shè)計中，應(yīng)優(yōu)先考慮上層土體的物理力學(xué)性質(zhì)來合理地選擇分布式排水通道的幾何參數(shù)。

附錄A：

根據(jù)模型初始條件式(15)先對控制方程及邊界條件進(jìn)行Laplace變換，可得：

由模型邊界條件(A5)，對控制方程(A1)及邊界條件(A2)～(A4)進(jìn)行有限Fourier余弦變換，得：

方程組(A6)為二階常微分方程，根據(jù)邊界條件及連續(xù)條件求得其解答為：

式中，n=1,2；待定系數(shù)A11、A12、A21、A22可由邊界條件(A7)～(A9)求出，待定系數(shù)滿足：

對解答(A1)進(jìn)行有限Fourier余弦逆變換，無量綱超靜孔隙水壓力可寫為：

圖A1 水平排水通道局部離散Fig.A1 Discretization of horizontal drainage body