張耀峰，邵祖亮，王 濤，伯 音

（1.武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，湖北武漢430072；2.中國(guó)石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院，山東青島266580）

徑向井壓裂是一種新興的油氣增產(chǎn)技術(shù)，其將徑向井技術(shù)與水力壓裂技術(shù)高效結(jié)合，在一定程度上可以使水力裂縫定向擴(kuò)展。目前，水力壓裂技術(shù)已廣泛應(yīng)用于煤層氣開發(fā)中，但由于儲(chǔ)藏條件復(fù)雜，無法達(dá)到預(yù)期效果[1]。為達(dá)到更好的壓裂效果，徑向井壓裂技術(shù)開始應(yīng)用于煤層氣開發(fā)[2-3]，且已經(jīng)在部分低滲透、淺埋藏油氣田中進(jìn)行了先導(dǎo)性試驗(yàn)[4-6]，但徑向井引導(dǎo)水力裂縫擴(kuò)展的機(jī)理仍不是十分明確?，F(xiàn)階段，國(guó)內(nèi)部分學(xué)者初步探索了徑向井引導(dǎo)水力裂縫擴(kuò)展的機(jī)理。田雨等[7]基于多分支徑向井壓裂裂縫起裂壓力分析和塑性區(qū)理論，推導(dǎo)出了多分支徑向井在地應(yīng)力條件下引導(dǎo)裂縫定向擴(kuò)展的準(zhǔn)則。李小龍等[8]基于擴(kuò)展有限元（XFEM，Extended Finite Element Method）研究了徑向井壓裂裂縫起裂與擴(kuò)展的規(guī)律，明確了多個(gè)徑向井沿垂向分布或水平分布時(shí)水力裂縫的形態(tài)。劉海龍等[9]建立了一個(gè)新模型，這個(gè)模型同時(shí)考慮套管和水泥環(huán)的井周應(yīng)力分布新，并利用新模型研究了不同條件下起裂壓力的變化。曲占慶等[10]在多分支徑向井壓裂裂縫形態(tài)研究的基礎(chǔ)上，揭示了徑向井排列方式對(duì)水力壓裂裂縫擴(kuò)展的影響。劉曉強(qiáng)等[11]利用ABAQUS 建立了徑向井輔助水力壓裂模型，分析了水平地應(yīng)力差、壓裂液排量、楊氏模量、壓裂液黏度和泊松比等因素對(duì)水力壓裂裂縫擴(kuò)展的影響。郭天魁等[12-13]研究了垂向井距對(duì)徑向井引導(dǎo)水力裂縫擴(kuò)展的作用，為徑向井的鉆取提供了理論支持。

目前有限元法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于工程模擬中，然而在模擬水力壓裂的過程中，裂縫面需要沿著單元面和單元節(jié)點(diǎn)，這導(dǎo)致裂縫尖端附近的網(wǎng)格需重新劃分，降低了計(jì)算速度。因此，有學(xué)者在有限元方法中引入了統(tǒng)一分割概念，衍生出了廣義有限元（GFEM, Generalized Finite Element Method）[14]，XFEM（Extended Finite Element Method）[15]，F(xiàn)EMM（Finite Element-Meshfree Method）[16]等數(shù)值方法，其中FEMM是一種結(jié)合了有限元法和無網(wǎng)格法的方法。

2007 年RAJENDRAN 等[16]首次提出了FEMM。FEMM 結(jié)合了有限元法和無網(wǎng)格法兩種數(shù)值方法的優(yōu)勢(shì)[17]，主要包括：①能夠得到清晰的三維裂縫擴(kuò)展形態(tài)；②相對(duì)有限元法，模擬過程中無需重新劃分網(wǎng)格，算法穩(wěn)定快速；③單元的尺寸不影響非平面裂縫的擴(kuò)展精度；④相對(duì)于商業(yè)軟件ABAQUS 中的XFEM，F(xiàn)EMM 在模擬裂縫擴(kuò)展過程中無需改變總體矩陣和自由度。

目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者利用FEMM 進(jìn)行的研究相對(duì)較少，因此首先介紹了FEMM 的基本理論，然后基于FEMM 和現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)開展了不同角度的徑向井壓裂模擬，研究了水力裂縫在徑向井作用下的擴(kuò)展規(guī)律。

1 FEMM的基本原理

一個(gè)具有4 個(gè)節(jié)點(diǎn)P={P1，P2，P3，P4}的巖石四面體單元Ω被水力裂縫面S切割，如圖1所示。裂縫面切割四面體單元的剖面圖如圖2所示，圖中存在3種不同類型的單元和2 種不同類型的節(jié)點(diǎn)。3 種單元包括：裂縫單元、橋接單元和有限元單元。被裂縫面穿過的四面體單元稱為裂縫單元，橋接單元為緊鄰裂縫單元的四面體單元，其余四面體單元為有限元單元。節(jié)點(diǎn)有2種類型，包括單位分解節(jié)點(diǎn)和有限元節(jié)點(diǎn)。構(gòu)成裂縫單元的節(jié)點(diǎn)稱為單位分解節(jié)點(diǎn)，其余的節(jié)點(diǎn)為有限元節(jié)點(diǎn)[18]。

在模型計(jì)算過程中，對(duì)于任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)x={x，y，z}，在單元域Ω內(nèi)的全局近似函數(shù)uh(x)定義為：

圖1 裂縫面切割四面體單元Fig.1 A tetrahedral element intersected with a fracture surface

圖2 單元與節(jié)點(diǎn)Fig.2 Elements and nodes

其中ωi(x)為與節(jié)點(diǎn)i相關(guān)的權(quán)函數(shù)，有ω1(x)+ω2(x)+ω3(x)+ω4(x)=1，ui(x)是與節(jié)點(diǎn)i相關(guān)的局部近似函數(shù)。與有限元節(jié)點(diǎn)相關(guān)的局部近似函數(shù)等于1，與單位分解節(jié)點(diǎn)相關(guān)的局部近似函數(shù)采用最小二乘法計(jì)算得到[19]。

對(duì)于裂縫單元，為表達(dá)裂縫面穿過部分的單元剖面的非連續(xù)位移場(chǎng)，首先定義Ψ是一個(gè)與單元域相關(guān)的節(jié)點(diǎn)集合?；诳梢暬瘻?zhǔn)則[14]，定義可見區(qū)域?yàn)椋?/p>

其中xi為節(jié)點(diǎn)i的坐標(biāo)。為了構(gòu)造沿裂縫面的非連續(xù)性近似函數(shù)，采用Shepard 公式[20]作為與裂縫單元相關(guān)的權(quán)函數(shù)。因此，根據(jù)可見性區(qū)域，在節(jié)點(diǎn)i相對(duì)應(yīng)的子權(quán)函數(shù)φi'(x)定義為：

其中φi(x)由四面體單元上的傳統(tǒng)有限元形函數(shù)構(gòu)成的，φi(x)具體形式如下：

其中vol(P1P2P3P4)是四面體單元的體積，vol(P(x)PiPjPk)是由點(diǎn)P(x)及四面體單元中3個(gè)頂點(diǎn){Pi，Pj，Pk}組成的新的四面體單元的體積。

與節(jié)點(diǎn)i對(duì)應(yīng)的裂縫單元權(quán)函數(shù)為：

對(duì)于橋接單元，其權(quán)函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)有限元定義的形函數(shù)相同，可以通過下式計(jì)算得到：

對(duì)于有限元單元，其形函數(shù)與傳統(tǒng)有限元單元的形函數(shù)相同。

2 徑向井引導(dǎo)水力裂縫擴(kuò)展模擬

在多場(chǎng)耦合模擬平臺(tái)CoFrac上進(jìn)行徑向井壓裂數(shù)值模擬。CoFrac 多場(chǎng)耦合模擬平臺(tái)以FEMM 為基礎(chǔ)進(jìn)行創(chuàng)建，能夠模擬“應(yīng)力場(chǎng)—滲流場(chǎng)—溫度場(chǎng)”作用下的裂縫擴(kuò)展問題。

劉曉強(qiáng)等[11]已經(jīng)通過真三軸物理實(shí)驗(yàn)和擴(kuò)展有限元法數(shù)值模擬的結(jié)果對(duì)照驗(yàn)證了徑向井對(duì)裂縫的擴(kuò)展具有一定的引導(dǎo)作用。因此，利用FEMM 模擬地層中徑向井壓裂裂縫擴(kuò)展，驗(yàn)證徑向井可以引導(dǎo)水力裂縫擴(kuò)展，進(jìn)一步研究徑向井與最大水平主應(yīng)力的夾角對(duì)裂縫擴(kuò)展的影響。

2.1 模型建立

徑向井與最大水平主應(yīng)力的夾角定義為徑向井方位角，用θ表示。建立了7種不同方位角的水力壓裂模型，方位角分別是0°，15°，30°，45°，60°，75°，90°，以研究不同方位角的徑向井對(duì)水力裂縫擴(kuò)展的影響。圖3 是方位角為0°時(shí)的徑向井壓裂模型，σH，σh，σV分別是最大水平主應(yīng)力、最小水平主應(yīng)力、垂向應(yīng)力。

依據(jù)工程中井筒和徑向井的實(shí)際尺寸，選用直徑為0.139 7 m，高度為2 m的井筒，和直徑為0.05 m，長(zhǎng)20 m 的徑向井。模型中含有3 個(gè)間距為0.5 m 的徑向井眼，在同一垂直面上相互平行排列?；趶较蚓某叽缗c排布方式，儲(chǔ)層尺寸設(shè)定為長(zhǎng)40 m，寬40 m，高2 m。初始裂縫的長(zhǎng)度均為2 m，高度為3 m，縫寬為0 m。初始裂縫位于預(yù)計(jì)的起裂點(diǎn)，且穿過徑向井眼軸線同時(shí)與井筒軸線平行。壓裂液采用恒壓注入方式泵注，并且在每個(gè)分析步后，水力裂縫的擴(kuò)展長(zhǎng)度均為2 m。儲(chǔ)層力學(xué)參數(shù)采用某個(gè)低滲透油氣田地質(zhì)資料中的實(shí)際儲(chǔ)層參數(shù)。使用的儲(chǔ)層力學(xué)參數(shù)與徑向井尺寸如表1所示。

2.2 結(jié)果與討論

根據(jù)表1中的參數(shù)，在多場(chǎng)耦合模擬平臺(tái)CoFrac上進(jìn)行模擬。圖4為徑向井方位角為0°（徑向井方向與最大水平主應(yīng)力方向相同）時(shí)的水力裂縫擴(kuò)展模擬結(jié)果。圖中第n步表示數(shù)值模擬計(jì)算的第n個(gè)計(jì)算步，X和Y分別是橫縱坐標(biāo)軸，示意圖均以此表示。由圖可知，水力裂縫沿著徑向井方向擴(kuò)展。本案例驗(yàn)證了以FEMM法為基礎(chǔ)的CoFrac平臺(tái)能夠處理地層中的徑向井壓裂問題。

圖4 徑向井方位角為0°時(shí)水力裂縫起裂及擴(kuò)展Fig.4 Hydraulic fracture initiation and propagation with radial well azimuth of 0°

其他條件不變，徑向井方位角為15°，30°，45°，60°，75°，90°時(shí)的模型裂縫擴(kuò)展模擬結(jié)果如圖5 所示。由六組實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析可知，水力裂縫首先沿著徑向井方向擴(kuò)展，擴(kuò)展一定的距離后，在徑向井和地應(yīng)力的共同作用下，水力裂縫逐漸偏離徑向井方向，偏向最大水平主應(yīng)力方向。結(jié)果表明：徑向井對(duì)水力裂縫的擴(kuò)展有一定的引導(dǎo)作用，不同方位角的徑向井對(duì)裂縫的引導(dǎo)效果不同。

表1 裂縫擴(kuò)展模型基礎(chǔ)參數(shù)Table 1 Basic parameters of fracture propagation model

圖5 不同方位角下水力裂縫起裂及擴(kuò)展Fig.5 Hydraulic fractures initiation and propagation under different azimuths

為了進(jìn)一步量化不同方位角的徑向井對(duì)水力裂縫的引導(dǎo)作用，采用如下方法定義引導(dǎo)距離：從水力裂縫開始沿水平方向擴(kuò)展的點(diǎn)作徑向井軸線的垂線，將井筒圓心與垂足之間的距離定義為徑向井引導(dǎo)水力裂縫的距離，用h表示，如圖6 所示，其中h15，h30，h45，h60，h75，h90分別表示徑向井方位角為15°，30°，45°，60°，75°，90°時(shí)的引導(dǎo)距離。

不同條件下徑向井的引導(dǎo)距離變化趨勢(shì)見圖7。特別地，當(dāng)徑向井方位角為0°時(shí)，裂縫沿著徑向井方向擴(kuò)展，因此引導(dǎo)距離與徑向井長(zhǎng)度相同，h0=20 m。由圖7 可知，徑向井的方位角越大，引導(dǎo)距離越小。由此分析，徑向井的方位角越大，徑向井對(duì)水力裂縫擴(kuò)展的引導(dǎo)作用越小。

圖6 水力裂縫起裂及擴(kuò)展Fig.6 Hydraulic fractures propagation

圖7 不同徑向井方位角對(duì)引導(dǎo)距離的影響Fig.7 Effect of different radial well azimuths on guiding distance

3 結(jié)論

用FEMM 法，模擬了不同方位角下徑向井水力壓裂裂縫擴(kuò)展，得到了以下結(jié)論：

1）基于FEMM 的CoFrac 模擬平臺(tái)能夠模擬地層中徑向井壓裂裂縫擴(kuò)展。

2）利用FEMM 驗(yàn)證了徑向井可引導(dǎo)水力裂縫擴(kuò)展，即在徑向井的引導(dǎo)下，水力裂縫沿著徑向井方向擴(kuò)展，擴(kuò)展一段距離后，最終沿著最大水平主應(yīng)力方向進(jìn)行擴(kuò)展。

3）徑向井方位角對(duì)引導(dǎo)作用的影響為：徑向井的方位角越大，裂縫越早地沿著最大水平主應(yīng)力擴(kuò)展，徑向井對(duì)裂縫的引導(dǎo)作用越小，研究結(jié)果對(duì)徑向井壓裂技術(shù)的應(yīng)用具有一定的意義。