徐昕 金雪瑩? 胡曉鴻 黃新寧

1) (合肥工業(yè)大學,儀器科學與光電工程學院,合肥 230009)

2) (中國科學院西安光學精密機械研究所,瞬態(tài)光學與光子技術(shù)國家重點實驗室,西安 710119)

在考慮光學微腔中二階和三階非線性效應的情況下,引入了可同時描述腔內(nèi)基頻和倍頻光場的演化過程的Lugiato-Lefeve方程,分析了SiN微腔中二次諧波的產(chǎn)生,并討論了各參數(shù)對腔內(nèi)基頻和倍頻光場的影響.理論分析結(jié)果表明,失諧參量為0時,穩(wěn)定后的基頻光場為平頂脈沖的形式,而倍頻光場呈正弦分布;失諧參量增加,將導致腔內(nèi)基頻和倍頻光功率在演化過程中出現(xiàn)振蕩,且最終穩(wěn)定的光功率變?nèi)?穩(wěn)定后的光場分布為周期性變化;失諧參量的值過大,會使得微腔光場處于混沌狀態(tài).抽運光強較弱時,腔內(nèi)可形成穩(wěn)定的光場分布;抽運光強較強時,會導致腔內(nèi)色散以及非線性效應過強,最終穩(wěn)定的光場仍然呈周期性變化,且抽運光功率越強,光功率的演化曲線振蕩越強.此外,選取特定的微腔尺寸,微腔可工作于“圖靈環(huán)”狀態(tài).理論分析結(jié)果對研究光學微腔中二次諧波的產(chǎn)生有重要意義.

1 引 言

光頻梳技術(shù)已經(jīng)廣泛地應用于絕對距離測量[1]、光譜測量[2]、光學頻率測量[3]等領(lǐng)域.目前,光頻梳主要是基于鎖模激光器實現(xiàn)的,由于受到鎖模激光器腔長的限制,它們的重復頻率一般為幾十到幾百MHz[4,5].但是,隨著光頻梳應用領(lǐng)域的不斷拓展,需要重復頻率更高的光頻梳,例如:在高分辨率天文光譜儀的波長定標中,光頻梳的重復頻率要達到10—30 GHz[6].傳統(tǒng)的基于鎖模激光器的光頻梳已經(jīng)無法滿足需求,因此,一種新型的基于光學微腔的光頻梳在近些年成為了研究熱點[7?9].

基于微腔的光頻梳是利用級聯(lián)的四波混頻效應,在光學微腔中產(chǎn)生一系列等間距的頻率成分,從而將單一的抽運頻率擴展到一個非常超寬光譜范圍.微腔光頻梳具有體積小、結(jié)構(gòu)簡單、易實現(xiàn)光學集成等優(yōu)點.通過理論研究證實,微腔可工作于多種模式,例如:光孤子、圖靈環(huán)、暗孤子、混沌等模式[10],并且這些工作模式也在實驗中被觀察到[11?15].目前,在光學微腔的理論研究中,大多都是以Lugiato-Lefeve 方程 (Lugiato-Lefeve equation,LLE)為理論模型,通過求解LLE,得到穩(wěn)態(tài)時腔內(nèi)的光場分布[16].關(guān)于光學微腔中二次諧波的產(chǎn)生,已經(jīng)在實驗中被觀察到.Xue等[17]通過四波混頻的方法在正色散的光學微腔中同時觀察到了Kerr光頻梳和二次諧波的產(chǎn)生,此外還建立了光學微腔中二次諧波產(chǎn)生的理論模型,理論分析和實驗結(jié)果相一致.Lin等[18]也在片上集成的光學微腔中實現(xiàn)了高效率的二次諧波產(chǎn)生.

然而,目前對微腔光頻梳的理論研究采用的LLE,只包含了腔內(nèi)的損耗、色散、抽運項,并沒有考慮微腔中的非線性效應[19].但是由于光學微腔本身體積很小,腔內(nèi)光功率密度較高,因而腔內(nèi)的非線性效應是無法被忽略的.當考慮微腔內(nèi)的二階和三階非線性效應時,腔內(nèi)會由于非線性效應產(chǎn)生二次諧波[20].因此,本文將在二階、三階非線性效應的基礎上,分析光學微腔內(nèi)二次諧波的產(chǎn)生情況,并研究各個參數(shù)對腔內(nèi)基頻光和倍頻光光場產(chǎn)生的影響.

2 理論模型

本文討論以SiN為材料的光學微腔.SiN材料的光學微腔一般為以Si為基底的片上結(jié)構(gòu),結(jié)構(gòu)如圖1所示,抽運光通過微腔一側(cè)的波導結(jié)構(gòu)耦合進入微腔,光在微腔傳播過程中耦合進入另一側(cè)的波導結(jié)構(gòu)輸出.在這一過程中,由于二階、三階非線性效應,腔內(nèi)會產(chǎn)生二次諧波.為討論微腔中的二次諧波產(chǎn)生情況,引入包含二次諧波項的LLE來描述腔內(nèi)基頻和倍頻光場在時間和空間上的演化,分別用E1表示基頻光的光場,E2表示倍頻光的光場,基頻和倍頻光場隨時間和空間的變化關(guān)系滿足以下方程[17]:

其中,z為光沿微腔傳播的距離;τ是光傳播的時間,即快時間;α1和 α2分別為基頻光和倍頻光在腔內(nèi)傳播單位長度的損耗;參量 δ1=(ω0– ωp)tR/L為抽運光頻率ωp和微腔諧振頻率ω0之間的失諧參量,L 為微腔的周長,tR=L/c 為基頻光在腔內(nèi)循環(huán)一周的時間;和分別表示基頻光和倍頻光的二階色散,它們的表達式為

Δk和Δ k′分別為相位失配和群速度失配,它們通過以下公式定義:

γ1和 γ2分別為自相位調(diào)制的非線性系數(shù);γ12和γ21是交叉相位調(diào)制的非線性系數(shù);κ為二階耦合系數(shù);η1為抽運光和腔內(nèi)光場的耦合系數(shù);抽運光為連續(xù)光,強度用 Ein表示.此外,對于光學微腔還有一個重要參數(shù),即微腔的自由光譜范圍(free spectral range,FSR),FSR=1/tR,它也表示了微腔光頻梳中梳齒之間的頻率間隔.(1)式和(2)式中各色散、非線性、耦合等參數(shù)是由光學微腔的材料和結(jié)構(gòu)決定的.

通過求解(1)式和(2)式,可以得到微腔內(nèi)基頻和倍頻光場的分布情況.為了能夠清楚腔內(nèi)光場分布隨時間的演化過程,采用分布傅里葉法求解(1)式和(2)式[19].

圖1 SiN 微腔結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1.Structure of the SiN microresonator.

3 理論分析

3.1 光學微腔中二次諧波的產(chǎn)生

以SiN為材料的光學微腔為正色散.SiN材料的各項參數(shù)如下:

假設微腔直徑為 100 μm,對應的 FSR=231.3 GHz.微腔采用波長為1550 nm的連續(xù)光抽運.微腔內(nèi)的初始光場是由調(diào)制不穩(wěn)定性產(chǎn)生的,根據(jù)文獻[21]可以假設腔內(nèi)初始的基頻光場E10為高斯脈沖,如由于初始光場源自于腔內(nèi)的調(diào)制不穩(wěn)定性,因此初始光場的強度很弱,因此假設初始光場的振幅 E0=0.1 W1/2,脈沖寬度τ0=0.4 ps.

首先,忽略抽運頻率和微腔本征頻率之間的頻率失諧,即失諧參量 δ1=0,連續(xù)抽運光的強度Ein=1 W1/2.在非線性效應的作用下,腔內(nèi)有二次諧波產(chǎn)生,二次諧波隨著光在腔內(nèi)循環(huán)次數(shù)產(chǎn)生的光場分布如圖2(a)所示,可見初始產(chǎn)生的倍頻光場較弱,隨著循環(huán)次數(shù)的增加,腔內(nèi)的倍頻光場不斷變強.圖2(b)和(c)表示腔內(nèi)基頻光和倍頻光功率隨循環(huán)次數(shù)不斷增加,并最終穩(wěn)定于某一值,此時腔內(nèi)光場相對穩(wěn)定,穩(wěn)定后基頻光和倍頻光光場分布如圖2(d)和(e)所示,基頻光在腔內(nèi)形成了一個較寬的脈沖,且脈沖頂端較為平坦而倍頻光場則類似正弦信號,其功率和基頻光相比相對較弱.圖2(f)和(g)是對應的光譜,基頻光和倍頻光都在微腔內(nèi)形成了梳狀的光譜,但倍頻光譜寬要小于基頻光的譜寬.

以上是失諧參數(shù)δ1=0時腔內(nèi)光場的演化情況.下面討論失諧參數(shù) δ1不為 0 的情況.假設 δ1=0.1,抽運光強 Ein=1 W1/2.通過求解 (1)式和(2)式,得到微腔內(nèi)基頻光和倍頻光功率變化如圖3(a)和(b)所示.對比圖2(b)和(c)可以發(fā)現(xiàn),當微腔的抽運頻率和本征頻率發(fā)生失諧時,腔內(nèi)的基頻光和倍頻光功率在光循環(huán)過程中發(fā)生振蕩,且經(jīng)過多次振蕩后腔內(nèi)最終穩(wěn)定的光功率和圖2(b)和(c)中的光功率相比,強度明顯減弱,說明頻率失諧會對腔內(nèi)的光功率造成明顯的損耗.當腔內(nèi)光功率穩(wěn)定后,腔內(nèi)基頻光和倍頻光光場分布隨循環(huán)次數(shù)的演化如圖3(c)和(d)所示,其中任意時刻光場的分布如圖3(e)和(f)所示.可見,基頻光在腔內(nèi)最終形成了穩(wěn)定的暗孤子,而倍頻光在腔內(nèi)的光場仍然近似正弦信號,但正弦信號的相位隨著循環(huán)次數(shù)而變化.

圖2 SiN 光學微腔中二次諧波的產(chǎn)生 (δ1=0,Ein=1 W1/2) (a) 倍頻光場在腔內(nèi)的演化過程;(b) 基頻光功率隨光在腔內(nèi)循環(huán)次數(shù)的變化曲線;(c) 倍頻光功率隨光在腔內(nèi)循環(huán)次數(shù)的變化曲線;(d)基頻場的穩(wěn)定分布;(e)倍頻光場的穩(wěn)定分布;(f)基頻光的光譜;(g) 基頻光的光譜Fig.2.Second harmonic waves generates inside the SiN microresonator (δ1=0,Ein=1 W1/2):(a) Evolution of the second harmonic waves;(b) curves of the fundamental frequency waves power and (c) the second frequency waves power vary with the round trip number;(d) stationary distribution of the fundamental frequency waves light field and (e) the second frequency waves light field;(f) spectra of the fundamental frequency waves and (g) the second frequency waves.

圖3 發(fā)生頻率失諧后,微腔內(nèi)光場變化情況 (δ1=0.1,Ein=1 W1/2) (a) 基頻光功率和 (b)倍頻光功率隨光在腔內(nèi)循環(huán)次數(shù)的變化曲線;光場穩(wěn)定后,(c)基頻光場和(d)倍頻光場隨時間的演化;(e) 基頻光場和(f)倍頻廣場的穩(wěn)定分布Fig.3.Light field evolution in the microresonator with the frequency detuning (δ1=0.1 and Ein=1 W1/2):(a) Curves of the fundamental frequency waves power and (b) the second frequency waves power vary with the round trip number;evolution of (c) the fundamental frequency waves (d) the second frequency waves after the light fields are stable;stationary distribution of (e) the fundamental frequency waves light field and (f) the second frequency waves light field.

通過以上分析可知,微腔的頻率失諧參數(shù)δ1會引起腔內(nèi)基頻光和倍頻光功率的損耗,并導致腔內(nèi)光場分布發(fā)生變化.因此,接下來將分析失諧參數(shù)δ1對微腔內(nèi)二次諧波產(chǎn)生的影響.

3.2 失諧參量對微腔內(nèi)二次諧波的影響

假設抽運光場 Ein=1 W1/2不變,依次增加失諧參數(shù)δ1,得到微腔內(nèi)基頻光和倍頻光功率變化曲線如圖4 所示.圖4(a)和 (b)是 δ1取不同值時,基頻光在腔內(nèi)循環(huán)過程中的功率變化曲線,隨著失諧參數(shù)δ1的不斷增加,基頻光的功率在趨于穩(wěn)定的過程中振蕩越來越明顯,當δ1大于0.2后(圖4(b)),功率的振蕩變得非常劇烈.因此,抽運光頻率和微腔本征頻率之間的失諧會導致腔內(nèi)光場分布的不穩(wěn)定.圖4(c)和(d)是失諧參數(shù)δ1對腔內(nèi)倍頻光的影響.和基頻光的變化趨勢一致,倍頻光功率在腔內(nèi)經(jīng)歷先增大再減小的變化過程,隨著δ1的增加,曲線下降沿的抖動也越來越劇烈,腔內(nèi)最終穩(wěn)定存在的倍頻光功率總體呈下降趨勢.可以看到,δ1=1 時,微腔內(nèi)基頻光和倍頻光的功率變化曲線都出現(xiàn)了周期性的抖動,腔內(nèi)光場趨于穩(wěn)定后,光功率仍然保持周期性振蕩.圖5(a)和(b)給出了腔內(nèi)基頻和倍頻光場分布的演化,光場分布隨腔內(nèi)光場循環(huán)的次數(shù)進行周期性的變化.在光場變化周期中,每隔100次循環(huán)選取一個時間點,畫出這些時間點腔內(nèi)的光場分布的形狀,結(jié)果如圖5(c)和(d)所示.由圖5(c)可見,在某些時刻基頻光在腔內(nèi)可形成單脈沖形式的分布(圖5(c)②③),但也仍有脈沖分裂的情況存在(圖5(c)④⑤).圖5(d)為倍頻光在各個時刻的光場分布情況,可以看出,當失諧參量δ1=1時倍頻光在腔內(nèi)仍然近似正弦分布,正弦波的相位隨時間不斷變化.

圖4 失諧參量 δ1 取不同值時,微腔內(nèi)基頻光和倍頻光功率變化曲線 (a) 0.02 ≤ δ1 ≤ 0.08 時,基頻光功率變化曲線;(b) 0.2 ≤δ1 ≤ 0.8 時,基頻光功率變化曲線;(c) 0.02 ≤ δ1 ≤ 0.08 時,倍頻光功率變化曲線;(d) 0.2 ≤ δ1 ≤ 0.8 時,倍頻光功率變化曲線Fig.4.Influence of the frequency detuning δ1 on the power change curves:(a) Curves of the power variation for the fundamental frequency waves,0.02 ≤ δ1 ≤ 0.08;(b) curves of the power variation for the fundamental frequency waves,0.2 ≤ δ1 ≤ 0.8;(c) curves of the power variation for the second harmonic waves,0.02 ≤ δ1 ≤ 0.08;(d) curves of the power variation for the second harmonic waves,0.2 ≤ δ1 ≤ 0.8.

研究過程中,我們進一步增大了失諧參量δ1的取值,結(jié)果發(fā)現(xiàn)當 δ1的值過大時,腔內(nèi)的基頻光和倍頻光的光場均呈現(xiàn)無規(guī)則的變化,如圖6(a)和(b)所示.經(jīng)過光場在腔內(nèi)的長時間演化,微腔中的光場在時間和空間上都沒有形成穩(wěn)定分布,此時微腔內(nèi)處于混沌狀態(tài)[22].任取某一時刻,分別繪制基頻光和倍頻光的光場分布,如圖6(c)和(d)所示,圖6(e)和 (f)分別為其對應的光譜.可見,混沌模式的光場表現(xiàn)為光功率隨時間無規(guī)律地變化,其相對應的光譜也是無規(guī)則的,每一個梳齒對應的功率也是時刻發(fā)生變化的.產(chǎn)生混沌的原因為失諧參量δ1的值過大,導致腔內(nèi)光場的分布不穩(wěn)定,在色散以及高階非線性效應的作用下,腔內(nèi)開始隨機地出現(xiàn)毛刺以及功率較高的尖峰[23].因此,在利用光學微腔產(chǎn)生二次諧波光梳的過程中,要盡量避免失諧參量δ1過大,即抽運頻率要盡量接近微腔的本征諧振頻率,以免在腔內(nèi)產(chǎn)生混沌狀態(tài).

失諧參量δ1是抽運光頻率和微腔諧振頻率之間的失諧,δ1的值越大,表示抽運與微腔諧振之間的頻率失諧越嚴重.這種失諧會導致腔內(nèi)光場不同的模式之間發(fā)生相互耦合,因而使腔內(nèi)基頻和倍頻光場的不穩(wěn)定.特別是當δ1值過大時,腔內(nèi)光場的模式發(fā)生混亂,因而產(chǎn)生不規(guī)則的光場分布.根據(jù)以上分析,δ1的值越小,不僅可以有效避免混沌的現(xiàn)象產(chǎn)生,同時還可獲得較強的倍頻光功率以及腔內(nèi)穩(wěn)定的光場分布.

圖5 失諧參量 δ1=1 時,腔內(nèi)光場穩(wěn)定后基頻光和倍頻光的光場演化 (a) 基頻光場的演化;(b) 倍頻光場的演化;(c) 基頻光光場變化周期內(nèi),光在腔內(nèi)每循環(huán)100次,繪制其波形;(d) 倍頻光光場變化周期內(nèi),光在腔內(nèi)每循環(huán)100次,繪制其波形Fig.5.Stable evolution of the dual light fields when δ1=1:(a) Evolution of the fundamental frequency waves;(b) evolution of the second harmonic waves;(c) intensity profiles of the fundamental frequency waves at six different moments within a period,the waveforms are plotted every hundred times;(d) intensity profiles of the second harmonic waves at six different moments within a period,the waveforms are plotted every hundred times.

圖6 失諧參量 δ1 取值過大時,腔內(nèi)光場的混沌狀態(tài) (a) 基頻光光場的混沌狀態(tài);(b) 倍頻光光場的混沌狀態(tài);(c) 某一時刻基頻光場的分布;(d) 某一時刻倍頻光場的分布;(e) 與圖(c)中光場對應的基頻光光譜;(f) 與圖(d)中光場對應的倍頻光光譜Fig.6.Chaos inside the microresonator,when the value of detuning parameter is too large:(a) Chaos of the fundamental frequency waves;(b) chaos of the second harmonic waves;(c) intensity profile of the fundamental frequency waves in a moment;(d) intensity profile of the second harmonic waves in a moment;(e) spectrum of the fundamental frequency waves;(f) spectrum of the second harmonic waves.

3.3 抽運功率對微腔內(nèi)二次諧波的影響

微腔的抽運功率同樣也會對腔內(nèi)基頻光和倍頻光的功率以及光場分布產(chǎn)生影響.我們保持失諧參量 δ1=0.1 不變,在此基礎上,不斷增加抽運強度Ein,得到微腔內(nèi)基頻光和倍頻光功率變化曲線分別如圖7(a)和(b)所示.可明顯看出,隨著抽運功率的不斷增大,腔內(nèi)最終穩(wěn)定后光功率也會越大,且抽運功率的大小幾乎不會影響腔內(nèi)形成穩(wěn)定光場所消耗的時間.因此,為了獲得更高功率的倍頻光,可以增強抽運光的功率.

然而抽運功率的增大也會導致腔內(nèi)光場的不穩(wěn)定.將抽運光場強度 Ein增大到 100 W1/2,腔內(nèi)基頻光和倍頻光功率變化曲線如圖8(a)和(b)所示,可見,腔內(nèi)的光功率經(jīng)過大幅振蕩衰減后趨于穩(wěn)定,穩(wěn)定時期的光功率仍然保持周期性的小幅振蕩.當光功率穩(wěn)定振蕩后,基頻光和倍頻光的光場演化如圖8(c)和(d)所示,光場分布同樣呈周期性變化,并且可以認為在任意時刻,基頻光和倍頻光的光場在腔內(nèi)是均勻分布的.

在此基礎上進一步增大抽運光強度,抽運光場 Ein分別為 800,1000和1200 W1/2時,基頻光和倍頻光功率變化曲線如圖9所示.當 Ein=800 W1/2時,基頻光的功率在腔內(nèi)經(jīng)過功率振蕩后,最終大約穩(wěn)定于20 kW,而倍頻光功率在循環(huán)過程中增加,達到峰值后迅速衰減,然后趨向于穩(wěn)定,穩(wěn)定部分的光功率也同樣保持周期性振蕩.這是由于抽運光功率過高,導致腔內(nèi)二階非線性效應明顯,較多的基頻光轉(zhuǎn)化為倍頻光,因而腔內(nèi)累積的倍頻光功率越來越大,因此光在腔內(nèi)循環(huán)過程中,倍頻光的功率有明顯的增長.當倍頻光功率達到一定值時,由頻率失諧、色散、損耗引起的倍頻光功率降低,超過了由非線性效應產(chǎn)生的倍頻光強度,因而倍頻光在功率增大到一定程度后會出現(xiàn)功率迅速衰減的現(xiàn)象,所以在圖9(b)中倍頻光的功率會出現(xiàn)一個脈沖形式的變化曲線.由于倍頻光是由基頻光通過非線性效應產(chǎn)生的,因而在圖9(a)中對應了一個向下的脈沖形狀.最終腔內(nèi)形成的穩(wěn)定光場,基頻光和倍頻光功率都會在一定范圍內(nèi)等幅振蕩 (如圖9(b)中放大部分的曲線所示).當Ein=1000 W1/2和Ein=1200 W1/2時,腔內(nèi)功率變化曲線如圖9(c)—(f)所示.抽運功率增加,在圖9(d)和(f)中,倍頻光功率變化曲線中出現(xiàn)了兩個脈沖,并且抽運光功率越強,曲線中第二個脈沖的強度更大,因此對應的基頻光功率振蕩也更加明顯.從LLE的(1)式和(2)式可以看出,非線性效應的強弱和腔內(nèi)光功率的大小是相關(guān)的,腔內(nèi)光功率越大,由自相位調(diào)制和交叉相位調(diào)制引起的倍頻效率也越高.因此,當抽運功率較弱時,腔內(nèi)基頻和倍頻光強也處于相對較弱的水平,增益、損耗、色散、非線性之間相互作用可以達到相對平衡的狀態(tài),最終基頻和倍頻光場均會趨于穩(wěn)定.而當抽運功率較強時,腔內(nèi)增益和非線性均表現(xiàn)為較強的作用,此時腔內(nèi)光場難以達到穩(wěn)定狀態(tài).因此,光學微腔抽運功率過大,會導致腔內(nèi)光場處于不穩(wěn)定的狀態(tài).為保證腔內(nèi)光場和光功率的穩(wěn)定,需要避免抽運功率過強的情況.

圖7 抽運功率對腔內(nèi)光功率的影響 (a)腔內(nèi)基頻光功率的變化情況;(b)腔內(nèi)倍頻光功率的變化情況Fig.7.Influence of the pump power on the power change curves:(a) Power variation for the fundamental frequency waves;(b) power variation for the second harmonic waves.

圖8 Ein=100 W1/2 時,微腔內(nèi)光場的演化 (a) 基頻光功率的變化曲線;(b) 倍頻光功率的變化曲線;(c) 光場穩(wěn)定后,腔內(nèi)基頻光光場的周期性演化;(d) 光場穩(wěn)定后,腔內(nèi)倍頻光光場的周期性演化Fig.8.Evolution of the light field in the microresonator at Ein=100 W1/2:(a) Curve of power variation for the fundamental frequency waves;(b) curve of power variation for the second harmonic waves;(c) periodic evolution of the fundamental frequency waves;(d) periodic evolution of the second harmonic waves.

圖9 基頻光和倍頻光的功率變化曲線 Ein=800 W1/2 時 (a)基頻光和 (b) 倍頻光的功率變化;Ein=1000 W1/2時 (c)基頻光和(d) 倍頻光的功率變化;Ein=1200 W1/2時 (e) 基頻光和 (f)倍頻光的功率變化Fig.9.Curves of the power variation for the fundamental frequency waves and the second harmonic waves:Power variation for(a) the fundamental frequency waves and (b) the second harmonic waves at Ein=800 W1/2;power variation for (c) the fundamental frequency waves and (d) the second harmonic waves at Ein=1000 W1/2;power variation for (e) the fundamental frequency waves and (f) the second harmonic waves at Ein=1200 W1/2.

3.4 微腔大小對腔內(nèi)光場的影響

以上都是在微腔 FSR=231.3 GHz (對應的微腔半徑為100 μm)的條件下進行的討論.但是研究中發(fā)現(xiàn),微腔半徑的大小同樣會對腔內(nèi)光場產(chǎn)生影響.設微腔 FSR=300 GHz,δ1=0.1,Ein=100 W1/2,得到腔內(nèi)基頻光和倍頻光功率的隨時間變換,最終都收斂于某一值,如圖10(a),(b)所示,即在圍墻內(nèi)可以得到穩(wěn)定的基頻、倍頻的光場分布.當光功率穩(wěn)定后,光場演化情況如圖10(c),(d)所示,由于微腔半徑增大,在腔內(nèi)基頻光與倍頻光之間非線性作用的距離變長,在較強的非線性作用下,基頻光和倍頻光最終在腔內(nèi)演化出16個脈沖,在對應的光譜圖中 (圖10(e),(f)),每隔 16 FSR,就會有一個功率較大的梳齒,此時微腔工作于“圖靈環(huán)”模式 (turing patterns)[17].

研究過程中發(fā)現(xiàn),可工作于“圖靈環(huán)”模式的微腔FSR的取值范圍較小.將微腔的FSR減小為298 GHz,腔內(nèi)最終穩(wěn)定的基頻光場分布如圖11(a)所示,基頻光的光場在腔內(nèi)仍然為多脈沖的形式,但脈沖的強度受到了調(diào)制,這種調(diào)制在倍頻光的光場分布中更為明顯 (如圖11(b)所示),多脈沖的光場受到正弦信號的調(diào)制.由于光場中包含了多個頻率成分,因此其光譜圖中噪聲較多,在主梳齒附近會出現(xiàn)很多的毛刺.進一步減小微腔的FSR,當減小為 295 GHz 時,“圖靈環(huán)”工作模式消失,基頻光和倍頻光的光場均演化為正弦分布,且正弦信號的相位隨時間變化,光譜也轉(zhuǎn)化為很窄的梳狀光譜(如圖12所示).

圖10 微腔 FSR=300 GHz 時,微腔內(nèi)出現(xiàn)“圖靈環(huán)”(Ein=100 W1/2,δ1=0.1) (a)基頻光功率變化曲線;(b)倍頻光功率變化曲線;(c) 腔內(nèi)光場穩(wěn)定后,基頻光光場隨時間的演化;(d) 腔內(nèi)光場穩(wěn)定后,倍頻光光場隨時間的演化;(e) 腔內(nèi)光場穩(wěn)定后,基頻光的光譜;(f) 腔內(nèi)光場穩(wěn)定后,倍頻光的光譜Fig.10.Turning patterns in the microresonator,when FSR=300 GHz (Ein=100 W1/2,δ1=0.1):(a) Curves of the power variation for the fundamental frequency waves;(b) curves of the power variation for the second harmonic waves;(c) evolution of the fundamental frequency waves;(d) evolution of the second harmonic waves;(e)spectra of the fundamental harmonic waves;(f) spectra of the second harmonic waves.

圖11 微腔 FSR=298 GHz 時,穩(wěn)定后的光場分布及光譜 (a)基頻光的光場分布;(b) 倍頻光的光場分布;(c) 基頻光光譜;(d) 倍頻光光譜Fig.11.Stable intensity profile and spectra of the fundamental frequency waves for FSR=298 GHz:(a) Intensity profile of the fundamental frequency waves;(c) spectrum of the fundamental frequency waves;(b) intensity profile of second harmonic waves;(d) spectrum of second harmonic waves.

圖12 微腔 FSR=295 GHz 時,穩(wěn)定后的基頻光和倍頻光光場分布及光譜 (a) 基頻光光場隨時間的演化;(b) 倍頻光光場隨時間的演化;(c) 基頻光場的瞬時分布;(d) 倍頻光場的瞬時分布;(e) 基頻光場的光譜;(f) 倍頻光場的光譜Fig.12.Stable intensity profile and spectra of the fundamental frequency waves for FSR=295 GH:(a) Evolution of the fundamental frequency waves;(b) evolution of the second frequency waves;(c) intensity profile of the fundamental frequency waves;(d) spectrum of the fundamental frequency waves;(e) intensity profile of the second harmonic waves;(f) spectrum of the second harmonic waves.

4 結(jié) 論

在考慮了光學微腔中二階和三階非線性效應的基礎上,引入了包含二次諧波項的LLE,分析了SiN微腔中二次諧波的產(chǎn)生,并討論了各參數(shù)對腔內(nèi)基頻和倍頻光場的影響.

研究結(jié)果表明,當抽運頻率和微腔諧振頻率之間沒有發(fā)生頻率失諧,即失諧參量 δ1=0.1 時,腔內(nèi)的基頻光和倍頻光功率不斷增強,并最終達到穩(wěn)定,穩(wěn)定后的基頻光場為平頂脈沖的形式,而倍頻光場呈正弦分布.當抽運頻率和諧振頻率之間發(fā)生頻率失諧后,腔內(nèi)基頻和倍頻光功率在演化過程中出現(xiàn)振蕩,但最終穩(wěn)定于某一值.穩(wěn)定后的光場也發(fā)生變化,基頻光場變?yōu)榘倒伦拥男问?倍頻光場仍然為正弦分布.失諧參量δ1增加,將導致腔內(nèi)基頻和倍頻光功率在演化過程中振蕩變強,且最終穩(wěn)定的光功率變?nèi)?穩(wěn)定后的光場分布為周期性變化.δ1進一步增加會使得微腔光場處于混沌狀態(tài).因此,為保證微腔中二次諧波的產(chǎn)生以及腔內(nèi)光場的穩(wěn)定,實驗中應盡量減小抽運頻率與微腔振蕩頻率之間的頻率失諧.

當微腔抽運功率較小時,增大抽運功率可有效增強腔內(nèi)基頻和倍頻光場的強度;而當抽運光強較強時,會導致腔內(nèi)色散以及非線性效應過強,最終穩(wěn)定的光場仍然呈周期性變化,且抽運光功率越強,光功率的演化曲線振蕩越強.因此,為保證腔內(nèi)光場和光功率的穩(wěn)定,需要避免抽運功率過強的情況.

光學微腔的尺寸同樣會對腔內(nèi)光場分布產(chǎn)生影響.當選取微腔 FSR=300 GHz,失諧參量 δ1=0.1,抽運強度 Ein=100 W1/2,微腔工作于“圖靈環(huán)”狀態(tài),腔內(nèi)基頻和倍頻光場均演化出穩(wěn)定的16 個脈沖,相對應光譜每隔 16 FSR,就會有一個功率較大的梳齒.當FSR減小后,腔內(nèi)多脈沖形式的光場受到了正弦信號的調(diào)制,光譜中也出現(xiàn)較多的毛刺.因此,選擇合適的微腔尺寸,可以有效選擇微腔的工作模式,得到需要的光譜.該理論分析結(jié)果對于實驗中微腔參數(shù)和抽運參數(shù)的選取有重要意義.此外,本文中采用的微腔光場演化模型是二維模型,忽略了光場在垂直方向上(y方向)的分布.為了更精確地分析腔光場的分布和演化情況,需要考慮光場在垂直方向分布情況時,因而要引入三維的光場演化模型,此時抽運光場是關(guān)于y的表達式,腔內(nèi)基頻和倍頻光場也和y有關(guān).關(guān)于微腔內(nèi)基頻和倍頻光場三維模型的建立和分析,將在后續(xù)的工作中進一步展開.