魯 敏, 胡紅波

(1. 北京遙測(cè)技術(shù)研究所, 北京 100086; 2. 中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院, 北京 100029)

1 引 言

加速度計(jì)通常用于瞬態(tài)機(jī)械量的測(cè)量,其性能好壞決定測(cè)量結(jié)果是否準(zhǔn)確可靠。目前壓電加速度計(jì)的校準(zhǔn),主要采用的是振動(dòng)與沖擊激勵(lì)的校準(zhǔn)方式[1～3]。對(duì)于振動(dòng)校準(zhǔn),得到的結(jié)果是單一頻率下加速度計(jì)的復(fù)靈敏度,實(shí)際測(cè)量中的振動(dòng)量很少是單頻純正弦的運(yùn)動(dòng);對(duì)于沖擊校準(zhǔn),采用的是一個(gè)確定時(shí)域形狀的沖擊激勵(lì),實(shí)際測(cè)試過(guò)程中的機(jī)械沖擊量很難與校準(zhǔn)所采用的沖擊波形完全一致。如當(dāng)被測(cè)的機(jī)械振動(dòng)量是幾個(gè)頻率合成的一個(gè)復(fù)合機(jī)械振動(dòng)時(shí),無(wú)法根據(jù)加速度計(jì)校準(zhǔn)結(jié)果準(zhǔn)確設(shè)置相應(yīng)的參數(shù),所以常規(guī)的校準(zhǔn)方法得到的結(jié)果不能完全滿足高精度的動(dòng)態(tài)測(cè)量的要求。

目前對(duì)加速度計(jì)的校準(zhǔn)方法,都屬于對(duì)加速度計(jì)經(jīng)驗(yàn)傳遞函數(shù)(ETFE),即非參數(shù)的傳遞函數(shù)的估計(jì),并且依據(jù)GUM不確定度評(píng)估框架對(duì)測(cè)量過(guò)程進(jìn)行評(píng)估,該方法不能實(shí)現(xiàn)加速度計(jì)對(duì)任意激勵(lì)信號(hào)輸出的預(yù)測(cè)[4]。GUM準(zhǔn)則主要是規(guī)定了對(duì)穩(wěn)態(tài)量、常量等分析評(píng)估的過(guò)程,且其中對(duì)測(cè)量系統(tǒng)的評(píng)估,也沒(méi)有采用微分或者差分方程、時(shí)延或者時(shí)間相關(guān)和失真等指標(biāo)。在實(shí)際的動(dòng)態(tài)測(cè)量過(guò)程中,由于測(cè)量系統(tǒng)不理想的動(dòng)態(tài)特性產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)誤差有時(shí)會(huì)大于由于測(cè)量不確定度而引入誤差[5]。為滿足動(dòng)態(tài)量測(cè)量對(duì)加速度計(jì)的要求,必須完整地確定加速度計(jì)的輸入輸出關(guān)系。這些內(nèi)容實(shí)際是測(cè)量系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)相關(guān)的內(nèi)容[6,7]。文獻(xiàn)[8～10]實(shí)現(xiàn)了加速度計(jì)在不同激勵(lì)條件下動(dòng)態(tài)特性校準(zhǔn)相關(guān)的內(nèi)容。

考慮到目前激光絕對(duì)法振動(dòng)校準(zhǔn)加速度計(jì)具有高的測(cè)量不確定度指標(biāo),本文對(duì)加速度計(jì)采用一個(gè)線性二階微分方程表征其動(dòng)態(tài)特性,利用絕對(duì)法振動(dòng)校準(zhǔn)的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)對(duì)模型參數(shù)采用加權(quán)最小二乘算法直接進(jìn)行了擬合,并利用蒙特卡羅法計(jì)算得到了參數(shù)的不確定度,這樣直接對(duì)模型擬合避免了對(duì)數(shù)學(xué)模型的離散化要求,最后對(duì)得到的參數(shù)模型進(jìn)行了χ2檢驗(yàn)。另外,為了驗(yàn)證模型對(duì)瞬態(tài)信號(hào)輸出的預(yù)測(cè),比較模型在沖擊激勵(lì)下的預(yù)測(cè)輸出與實(shí)際加速度計(jì)的輸出,進(jìn)一步驗(yàn)證了模型的可靠性。

2 加速度計(jì)的數(shù)學(xué)模型與模型參數(shù)辨識(shí)方法

2.1 加速度計(jì)的數(shù)學(xué)模型

為了利用試驗(yàn)所得的數(shù)據(jù)對(duì)物理過(guò)程進(jìn)行分析,首先就是要建立對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。工程實(shí)踐中通常采用式(1)所示的LTI系統(tǒng)來(lái)描述其物理過(guò)程輸入輸出對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

(1)

式中:x(t)為輸入量,即被測(cè)量;y(t)為輸出量;n,m為模型的階次,且一般情況下n≥m;對(duì)于本文研究的對(duì)象加速度計(jì)而言,ai(i=0,1,2,…,n)與bj(j=0,1,2,…,m)是由加速度計(jì)的測(cè)試原理、結(jié)構(gòu)等確定的描述。

根據(jù)壓電加速度計(jì)結(jié)構(gòu)原理和實(shí)際校準(zhǔn)加速度計(jì)校準(zhǔn)的頻率響應(yīng)結(jié)果[11,12],工程上一般采用二階微分方程的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述加速度計(jì)動(dòng)態(tài)特性,式(1)中模型的階次i=2,j=0,即得如式(2)所示加速度計(jì)數(shù)學(xué)模型。

(2)

(3)

將s=jω代入式(3),可得加速度計(jì)的頻率響應(yīng):

G(jω)=G(ω)exp[jφ(ω)]

式中:G(ω)為加速度計(jì)的幅頻響應(yīng);φ(ω)為加速度計(jì)相頻響應(yīng)。選擇合適的頻率點(diǎn)ω1,ω2,…,ωN,利用振動(dòng)校準(zhǔn)可得到加速度計(jì)在對(duì)應(yīng)頻率點(diǎn)的幅頻及相頻響應(yīng)數(shù)據(jù)。需要說(shuō)明的是,加速度計(jì)校準(zhǔn)的結(jié)果必須剔除掉配套適調(diào)器頻率響應(yīng)的數(shù)據(jù)。

另外,對(duì)于同一研究對(duì)象可能有不同的數(shù)學(xué)模型,三階或者更高的數(shù)學(xué)模型也能用來(lái)表示加速度計(jì)的動(dòng)態(tài)特性[13],但二階系統(tǒng)模型可靠、魯棒性強(qiáng)、參數(shù)少且物理意義明確,工程實(shí)踐中應(yīng)用較多。

2.2 模型參數(shù)辨識(shí)的方法

為了對(duì)式(3)所示的加速度計(jì)傳遞函數(shù)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí),就要確定加速度計(jì)在一定頻率范圍內(nèi)的幅頻及相頻響應(yīng),這樣就能直接利用所得到的數(shù)據(jù)對(duì)式(3)進(jìn)行擬合,從而確定參數(shù)的值。為了能夠?qū)?shù)進(jìn)行線性的擬合,對(duì)式(3)所示的頻率響應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)換,即取傳遞函數(shù)的倒數(shù)作為曲線擬合的模型:

H(jω)=G-1(jω)=G-1(ω)exp[-jφ(ω)]=

μ1+μ22jω-μ3ω2=fT(ω)μ

(4)

(5)

絕對(duì)法振動(dòng)校準(zhǔn)加速度計(jì)的方法目前已經(jīng)非常成熟,相關(guān)的校準(zhǔn)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的測(cè)量不確定度通過(guò)國(guó)際比對(duì)等方式也得到了確認(rèn)[14]。假定在選定的頻率點(diǎn)ωT=[ω1,ω2,…,ωL]處,經(jīng)過(guò)激光絕對(duì)法振動(dòng)校準(zhǔn)得到加速度計(jì)相應(yīng)的幅頻響應(yīng)結(jié)果為G(ω)=[G1,G2,…,GL],對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u(ω)=[u1,u2,…,u3];相頻響應(yīng)結(jié)果為φ(ω)=[φ1,φ2,…,φL],對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為ν(ω)=[ν1,ν2,…,ν3]。則構(gòu)造數(shù)據(jù)向量:

(6)

數(shù)據(jù)向量y是一個(gè)長(zhǎng)度為2L的列向量。對(duì)于數(shù)據(jù)向量y的協(xié)方差矩陣Vy,這里采用蒙特卡羅法來(lái)確定。一般來(lái)說(shuō),在沒(méi)有其他明確校準(zhǔn)結(jié)果分布的條件下,都認(rèn)為校準(zhǔn)結(jié)果為正態(tài)分布,此時(shí)正態(tài)分布的均值參數(shù)即為校準(zhǔn)結(jié)果,標(biāo)準(zhǔn)方差即為標(biāo)準(zhǔn)不確定度,并且假定幅頻校準(zhǔn)結(jié)果與相頻校準(zhǔn)結(jié)果相互獨(dú)立,按式(7)即可生成相應(yīng)的隨機(jī)數(shù)。

(7)

式中:i=1,2,…,L,k=1,2,…,N為生成的數(shù)據(jù);ξ,ζ分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。一般可以取N=106,由此即可確定數(shù)據(jù)向量y的協(xié)方差矩陣Vy。

根據(jù)所選擇的頻率點(diǎn),構(gòu)造輸入數(shù)據(jù)矩陣:

(8)

輸入數(shù)據(jù)矩陣為一個(gè)2L×3的矩陣。依據(jù)加權(quán)最小二乘算法的計(jì)算公式,即可得到所求的參數(shù)的最佳估計(jì)值為:

(9)

(10)

為了驗(yàn)證模型的擬合度進(jìn)行檢驗(yàn),本文采用χ2檢驗(yàn)來(lái)按式(11)來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證。

(11)

式中:ν=2L-3為χ2分布的自由度;p為確定的置信概率,一般取p=0.05。

3 加速度計(jì)特性參數(shù)校準(zhǔn)結(jié)果

在絕對(duì)法振動(dòng)臺(tái)校準(zhǔn)系統(tǒng)上,采用外差式激光干涉儀,對(duì)選定的加速度計(jì)利用正弦逼近法對(duì)其進(jìn)行校準(zhǔn),校準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 絕對(duì)法振動(dòng)校準(zhǔn)簡(jiǎn)圖Fig.1 Block diagram of primary vibration calibration

在頻率范圍160 Hz～18 kHz范圍內(nèi),加速度計(jì)幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)以及相應(yīng)的不確定度(k=2)如表1所示。

表1 加速度計(jì)頻率響應(yīng)校準(zhǔn)結(jié)果Tab.1 Calibration results of accelerometer’s frquency response

利用絕對(duì)法振動(dòng),對(duì)加速度計(jì)在設(shè)定的頻率范圍進(jìn)行5次校準(zhǔn),然后按照前述的參數(shù)辨識(shí)方法,利用5次校準(zhǔn)的結(jié)果,辨識(shí)計(jì)算得到加速度計(jì)數(shù)學(xué)模型的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)如表2所示。振動(dòng)校準(zhǔn)加速度計(jì)所得的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)與模型計(jì)算得到頻率響應(yīng)比較如圖2所示。

表2 校準(zhǔn)動(dòng)態(tài)特性參數(shù)的結(jié)果Tab.2 Results of parameters for dynamic characteristics

圖2 實(shí)際校準(zhǔn)與模型計(jì)算結(jié)果的比較Fig.2 Comparison between calibration results and obtained model

4 模型對(duì)瞬態(tài)激勵(lì)信號(hào)的輸出預(yù)測(cè)

為了預(yù)測(cè)模型在瞬態(tài)信號(hào)激勵(lì)條件下的輸出,同時(shí)也驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性,比較加速度計(jì)和模型在同一機(jī)械沖擊激勵(lì)條件下的輸出。對(duì)于選型的加速度計(jì),在設(shè)定的沖擊條件下進(jìn)行絕對(duì)法沖擊校準(zhǔn),沖擊波形如圖3所示。同時(shí)得到激光干涉儀測(cè)量的沖擊加速度物理量信號(hào),作為加速度計(jì)數(shù)學(xué)模型的激勵(lì)信號(hào)。

圖3 校準(zhǔn)加速度計(jì)所使用沖擊加速度波形Fig.3 Applied shock pulse for acceleration’s calibration

為了計(jì)算模型對(duì)瞬態(tài)激勵(lì)條件下的輸出,對(duì)式(1)所示的連續(xù)系統(tǒng)模型采用雙線性變換法進(jìn)行離散化[15],離散化的頻率為實(shí)際沖擊加速度校準(zhǔn)過(guò)程中的采樣率fs,則采樣間隔Ts=1/fs。為了保證差分方程在加速度計(jì)工作頻帶范圍內(nèi)能夠足夠好的近似微分方程,必須確保采樣率大于加速度計(jì)工作帶寬10倍以上。將式(3)中拉普拉斯算子s按式(12)替換為z變換因子。

(12)

可得離散形式的傳遞函數(shù)為:

(13)

為了對(duì)式(13)所示的離散傳遞函數(shù)仿真,將其轉(zhuǎn)化為差分方差的形式如式(14)所示。

y(k)+c1y(k-1)+c2y(k-2)=

b1a(k-1)+b2a(k-2)

(14)

式(14)系數(shù)可由辨識(shí)得到的連續(xù)模型參數(shù)轉(zhuǎn)換得到。在沖擊加速度峰值50g～500g范圍內(nèi)對(duì)加速度計(jì)進(jìn)行5次沖擊校準(zhǔn),并計(jì)算相應(yīng)的沖擊靈敏度。同時(shí)將激光干涉儀測(cè)量得到的沖擊加速度物理量信號(hào)用于式(14)所示的差分方差模型的輸入,計(jì)算其輸出并計(jì)算得到模型的沖擊靈敏度。兩者結(jié)果如下圖4所示。

圖4 沖擊加速度校準(zhǔn)結(jié)果與模型計(jì)算結(jié)果比較Fig.4 Comparison between calibration results and obtained model

從圖4所示的加速度計(jì)實(shí)際沖擊校準(zhǔn)的結(jié)果與模型計(jì)算的結(jié)果可以看出,在所選擇的沖擊加速度峰值試驗(yàn)條件下,兩者的差別基本都小于1%,進(jìn)一步證實(shí)了在所選擇的頻段范圍內(nèi),二階模型能夠準(zhǔn)確的表征加速度計(jì)動(dòng)態(tài)特性,模型能夠準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)瞬態(tài)激勵(lì)條件下加速度計(jì)的輸出。對(duì)于模型計(jì)算結(jié)果的不確定度,同上采用蒙特卡羅法計(jì)算。首先依據(jù)連續(xù)模型的參數(shù)及相應(yīng)的不確定度,生成相應(yīng)的參數(shù)隨機(jī)變量,并對(duì)其離散化,得到一組差分方差的模型并計(jì)算其輸出,最后根據(jù)輸出計(jì)算模型的沖擊靈敏度。重復(fù)上述過(guò)程多次后,即可得到模型沖擊靈敏度的不確定度。

5 小 結(jié)

本文采用線性二階模型描述加速度計(jì)動(dòng)態(tài)特性,模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且參數(shù)物理意義明確。為了確定模型的參數(shù),采用具有最高測(cè)量不確定度水平的絕對(duì)法振動(dòng)對(duì)加速度計(jì)在一定的頻段范圍內(nèi)進(jìn)行了校準(zhǔn),結(jié)合校準(zhǔn)所得加速度計(jì)頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)和不確定度,利用最小二乘算法計(jì)算得到了模型的參數(shù),同時(shí)采用Monte Carlo法計(jì)算得到了模型參數(shù)的不確定度。為了驗(yàn)證所得模型的可靠性,采用瞬態(tài)沖擊加速度激勵(lì)的方式對(duì)加速度計(jì)進(jìn)行沖擊校準(zhǔn),并與模型計(jì)算得到的結(jié)果進(jìn)行了比較,一致的結(jié)果證明了模型的可靠性。本文所述的方法有下面幾點(diǎn)需要注意:1) 壓電加速度計(jì)阻尼系數(shù)一般較低,為了保證阻尼系數(shù)辨識(shí)結(jié)果的準(zhǔn)確性,在選擇加速度計(jì)校準(zhǔn)頻率范圍時(shí),校準(zhǔn)頻率上限需保證加速度計(jì)靈敏度至少有10%的變化量。2) 由于加速度計(jì)是和適調(diào)器是配套進(jìn)行校準(zhǔn)的,適調(diào)器的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)在辨識(shí)參數(shù)前必須準(zhǔn)確剔除,否則會(huì)對(duì)加速度計(jì)阻尼系數(shù)有較大影響。3)χ2檢驗(yàn)只是用來(lái)驗(yàn)證模型與數(shù)據(jù)擬合的信息,選擇實(shí)際加速度計(jì)的輸出與模型預(yù)測(cè)輸出的比較是一個(gè)較好的方式。