梁　偉

摘要： 本文基于ARMA模型構(gòu)建卡爾曼濾波算法的線性狀態(tài)空間模型，然后利用ARMA模型的卡爾曼濾波算法來預(yù)測上證50指數(shù)，并且將預(yù)測結(jié)果與基于ARMA模型的預(yù)測結(jié)果進行了比較，結(jié)果表明，結(jié)合了ARMA模型的卡爾曼濾波算法的預(yù)測準確度為52.1%，明顯優(yōu)于單純的ARMA模型。

關(guān)鍵詞： ARMA模型 卡爾曼濾波算法 預(yù)測

一、引言

金融時間序列分析一直是學(xué)術(shù)界的研究熱點，同時各類數(shù)學(xué)模型及機器算法也在不斷地發(fā)展和優(yōu)化，ARMA模型及卡爾曼濾波算法都是非常有效的金融時間序列分析方法，本文將二者相結(jié)合使用以提高指數(shù)預(yù)測的準確度，具有一定的學(xué)術(shù)意義及現(xiàn)實可操作性。

在國外，卡爾曼（Kalman）和布塞（Bucy）在1960年發(fā)表了一篇名為《線性濾波和預(yù)測理論的新成果》的論文，提出了一種新的線性濾波和預(yù)測理論，被稱之為卡爾曼濾波。在國內(nèi)，彭繼兵和唐春艷（2005）基于變維分形理論的卡爾曼濾波算法對股票價格進行了預(yù)測，結(jié)果發(fā)現(xiàn)基于變維分形理論的卡爾曼濾波動算法對股價的預(yù)測是有效的。劉向陽（2019）對幾種典型非線性濾波算法及其性能進行了分析，文章通過仿真實驗對四類濾波器性能進行了對比分析，研究結(jié)果表明，EKF 計算量小，PF 精度高，UKF和CKF具有較高的精度和較強的實時性。

二、卡爾曼濾波算法

（一）算法概念

卡爾曼濾波算法是一個最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法，該算法由狀態(tài)方程和觀測方程組成的線性隨機系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型來描述。該算法利用狀態(tài)方程的傳遞性，按線性無偏最小均方誤差估計準則，利用新觀測數(shù)據(jù)，對系統(tǒng)狀態(tài)變量作最佳估計。具體來講，狀態(tài)方程負責向前推算當前狀態(tài)變量和誤差協(xié)方差的估計值，為下一個時間狀態(tài)構(gòu)造先驗估計。測量方程負責反饋，即將先驗估計和測量變量結(jié)合以構(gòu)造后驗估計?？柭鼮V波算法的這些特性非常適合用于金融時間序列短期預(yù)測，下面即為卡爾曼濾波算法進行金融時間序列短期預(yù)測對應(yīng)的運行流程，如下：

系統(tǒng)狀態(tài)：X（k）=AX（k-1）+BU（K）+W（K）（1）

系統(tǒng)預(yù)測值：Z（k）=HX（k）+V（k）（2）

上面公式1、2即為卡爾曼濾波算法的線性狀態(tài)空間模型，其中X（k）是k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)，U（K）是k時刻對系統(tǒng)的控制量，它可以為0。A和B是參數(shù)，對于多模型系統(tǒng)，它們是矩陣。Z（k）是k時刻的測量值。H是測量系統(tǒng)的參數(shù)，對于多測量系統(tǒng)，H為矩陣。W（k）和V（k）分別是系統(tǒng)狀態(tài)和測量值的噪聲。

假設(shè)現(xiàn)在的系統(tǒng)時刻是k，過程模型利用上一時刻的系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)測現(xiàn)在的系統(tǒng)狀態(tài)：

X（k|k-1）=AX（K-1|K-1）+BU（k）（3）

在上式中，X（k|k-1）是k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)測結(jié)果，X（K-1|K-1）是（k-1）時刻系統(tǒng)狀態(tài)的最佳估計值。系統(tǒng)狀態(tài)已經(jīng)更新，接下來更新X（k|k-1）對應(yīng)的協(xié)方差，我們用P表示協(xié)方差，如下：

P（k|k-1）=AP（k-1|k-1）AT+Q（4）

在上式中，P（k|k-1）是X（k|k-1）對應(yīng)的協(xié)方差，P（k-1|k-1）是X（k-1|k-1）對應(yīng)的協(xié)方差，AT為A的轉(zhuǎn)置矩陣，Q是系統(tǒng)過程的協(xié)方差。

現(xiàn)在我們利用系統(tǒng)狀態(tài)的預(yù)測值及觀測值估計系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)值X（k|k），如下：

X（k|k）=X（k|k-1）+Kg（k）[Z（k）-HX（k|K-1）]

（5）

在上式中，Kg（k）為卡爾曼增益：Kg（k）=P（k|k-1）HT/[HP（K|K-1）HT+R]（6）

現(xiàn)在我們已經(jīng)得到了k時刻系統(tǒng)狀態(tài)的最有估計值X（k|k），但是為了讓系統(tǒng)繼續(xù)運行下去，我們還需要更新k時刻系統(tǒng)狀態(tài)X（k|k）對應(yīng)的協(xié)方差，如下：

P（k|k）=[1-Kg（k）H]P（k|k-1）（7）

以上便是進行短期價格預(yù)測的卡爾曼濾波算法的自回歸運算過程。

（二）算法應(yīng)用

卡爾曼濾波算法是目前應(yīng)用最為廣泛的濾波方法，在導(dǎo)航、控制及金融數(shù)據(jù)分析等領(lǐng)域都取得了較好的應(yīng)用效果?？柭鼮V波算法對系統(tǒng)狀態(tài)的估計可以是對當前系統(tǒng)狀態(tài)的估計（濾波），也可以是對于將來系統(tǒng)狀態(tài)的估計（預(yù)測），也可以是對過去系統(tǒng)狀態(tài)的估計（插值或平滑）?？柭鼮V波算法對金融時間序列短期預(yù)測屬于對未來系統(tǒng)狀態(tài)的估計，通常通過MATLAB、Python及R語言來實現(xiàn)。以MATLAB為例，在利用卡爾曼濾波算法進行高頻交易的時候，投資者將高頻價格信息輸入卡爾曼濾波函數(shù)，就可以預(yù)測短期價格指數(shù)。

三、ARMA模型

（一）模型概念

自回歸移動平均模型（ARMA模型）由因變量對它的滯后值以及隨機誤差項的現(xiàn)值和滯后值回歸得到，該模型具體可分為移動平均（MA）模型、自回歸（AR）模型及自回歸移動平均模型。

1.MA（q）過程的表示形式：

（8）

在上式中，c為常數(shù)項，{}為白噪音過程。對于任意的t，MA（q）都是平穩(wěn)的。

2.AR（p）過程的表示形式：

（9）

在上式中，c為常數(shù)項，{}為白噪音過程。當特征方程的根全部落在單位圓之外時AR（p）過程是平穩(wěn)的。

3.ARMA過程的表現(xiàn)形式：

（10）

在上式中，{}為白噪音過程。ARMA過程的穩(wěn)定性取決于它的自回歸過程。

引入滯后算子L，上式可以寫成：（11）

其中，;。

（二）模型應(yīng)用

1.ARMA模型的識別。利用自相關(guān)函數(shù)（ACF）及偏自相關(guān)系數(shù)（PACF）識別ARMA模型，具體步驟為：第一步，通過ADF檢驗判斷時間序列的平穩(wěn)性;第二步，利用ACF、PACF及它們的圖形來確定ARMA（p，q）模型的參數(shù)p、q。

2.ARMA模型的診斷與檢驗。具體步驟為：第一步，通過t檢驗檢驗?zāi)Ｐ蛥?shù)的顯著性;第二步，通過Q統(tǒng)計量檢驗殘差序列的隨機性。

四、基于ARMA模型的線性狀態(tài)空間模型的建立

基于ARMA模型建立卡爾曼濾波算法的線性狀態(tài)空間模型，即將ARMA模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型，本文利用Harvey方法進行模型轉(zhuǎn)化。

考慮上面均值為0的ARMA（p，q）過程yt：

令m=max（p，q+1）且將上式改寫為：（12）

在上式中，，，并且（因為m>q）。

現(xiàn)在我們將上面提到的卡爾曼濾波算法所對應(yīng)的狀態(tài)空間模型（公式1、2）轉(zhuǎn)變?yōu)閺V義高斯線性狀態(tài)空間模型，如下：

狀態(tài)方程：（13）

觀測方程：（14）

在上式中，是m維狀態(tài)向量，是k維觀測向量，dt和ct分別是m維和k維的確定性變量，Tt和Zt分別是m×m和k×m的系數(shù)矩陣，Rt是m×n矩陣，且{}和{et}分別是n維和k維高斯白噪聲序列。

Harvey給出了具有m維狀態(tài)向量st的狀態(tài)空間的一種形式，該狀態(tài)向量的第一個元素是yt，即s1t=yt，st的其它元素通過遞歸得到，由ARMA（m，m-1）模型可以求出：

（15）

其中，且如前述定義，考慮可以得到：（16）

重復(fù)上述過程，可得：（17）

進一步可得：（18）

將上述方程綜合起來，可以得到如下狀態(tài)空間模型：

（19）

（20）

以上即為基于ARMA模型建立卡爾曼濾波算法對應(yīng)狀態(tài)空間模型的具體過程。

五、上證50指數(shù)預(yù)測

（一）數(shù)據(jù)選取

選取上證50指數(shù)日收盤價數(shù)據(jù)，時間區(qū)間為2018年1月2日到2019年8月30日，一共406個數(shù)據(jù)，然后計算日收盤價的對數(shù)收益率序列（日收益率），計算公式為：yt=ln（Pt/Pt-1），公式中Pt表示上證50指數(shù)第t日收盤價，Pt-1表示第t-1日收盤價，一共得到405個對數(shù)收益率數(shù)據(jù)。

（二）基于結(jié)合了ARMA模型的卡爾曼濾波算法的指數(shù)預(yù)測

本文通過Python3.0平臺進行基于卡爾曼濾波算法的上證50指數(shù)預(yù)測，首先獲取指數(shù)日收盤價、對數(shù)收益率（日收益率序列），然后建立收益率序列的ARMA模型。aic-order與hqic-order均給出AR過程階數(shù)為3，MA過程階數(shù)為1，符合前面假設(shè)：p >= q+1，故令order = （3，1）。通過ljung-box檢驗，判斷ARMA（3，1）模型殘差序列是否存在滯后相關(guān)，檢驗結(jié)果表明滯后40階以內(nèi)的p-value均大于0.05，故可以判斷殘差中沒有顯著的序列相關(guān)性，接下來進行模型的轉(zhuǎn)化。

通過Harvey方法實現(xiàn)ARMA模型向拉爾曼濾波算法狀態(tài)空間模型的轉(zhuǎn)化部，可得：

yt=-0.8231yt-1+0.0127yt-2+0.1122yt-3++0.8563（21）

（22）

接下來運行基于ARMA模型的卡爾曼濾波算法，上證50指數(shù)預(yù)測結(jié)果與真實值如下圖：

圖1 上證50指數(shù)卡爾曼濾波算法短期預(yù)測圖

進一步計算卡爾曼濾波算法預(yù)測的準確度為0.5210。

（三）基于ARMA模型的指數(shù)預(yù)測

單純基于ARMA模型的上證50指數(shù)預(yù)測結(jié)果如下圖：

圖2 上證50指數(shù)ARMA模型預(yù)測圖

基于ARMA模型的上證50指數(shù)預(yù)測準確度為0.4687。

六、結(jié)論

由上面預(yù)測結(jié)果可知，相比于ARMA模型的預(yù)測結(jié)果，結(jié)合了ARMA模型的卡爾曼濾波算法在上證50指數(shù)的預(yù)測中，其預(yù)測的準確度高于單純的ARMA模型，準確度提高了5.2%。說明卡爾曼濾波算法經(jīng)過與ARMA模型的結(jié)合，對于噪聲過濾效果更好。不過，結(jié)合了ARMA模型的卡爾曼濾波算法相對其它機器算法及數(shù)學(xué)模型，預(yù)測的準確度還不夠高，仍然存在較大的優(yōu)化空間。

參考文獻：

[1]Kalman R E，Bucy R S.New Results in Linear and Prediction Theory.Trans ASME，J? Basic Eng，1961;83：95-107.

[2]彭繼兵，唐春艷.基于變維分形理論的卡爾曼濾波實時跟蹤預(yù)測模型在股票價格預(yù)測中的應(yīng)用[J].機算機工程與應(yīng)用，2005（13）：218-223.

[3] 劉向陽.幾種典型非線性濾波算法及性能分析[J].艦船電子工程，2019（7）：32-35.

作者系山西財經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院金融專業(yè)2018級碩士研究生