決策蘊(yùn)涵上的推理規(guī)則和推理過(guò)程研究*

賈 楠，張少霞，翟巖慧，2+，李德玉，2

1.山西大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院，太原 030006

2.山西大學(xué) 計(jì)算智能與中文信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，太原 030006

1 引言

形式概念分析是由德國(guó)Wille教授于1982年提出的一種從形式背景進(jìn)行數(shù)據(jù)分析、知識(shí)表示和規(guī)則提取的強(qiáng)有力工具[1]。形式背景和形式概念是形式概念分析的兩個(gè)基本概念，概念格是從形式背景上提取的形式概念的集合，本質(zhì)上是描述對(duì)象和屬性之間的關(guān)系，并通過(guò)Hasse圖來(lái)可視化概念之間的泛化和例化關(guān)系。目前，形式概念分析已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于信息檢索[2]、軟件工程[3]、機(jī)器學(xué)習(xí)[4]、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)[5]、基于認(rèn)知的概念學(xué)習(xí)[6-10]和知識(shí)約簡(jiǎn)[11-17]。

形式概念分析中對(duì)知識(shí)獲取的研究就是對(duì)蘊(yùn)涵的研究[18-21]。蘊(yùn)涵表示為形如A→B的公式，其含義是任意具有屬性集A的對(duì)象集同時(shí)也具有屬性集B。但是，從形式背景中得到的蘊(yùn)涵的數(shù)量往往很龐大[19]。

引入決策蘊(yùn)涵是減少蘊(yùn)涵數(shù)量的一種方法，決策蘊(yùn)涵是在決策情形下的蘊(yùn)涵，也是決策背景下的知識(shí)表示形式，反映了條件屬性和決策屬性之間的決策關(guān)系[21-22]。從邏輯角度對(duì)決策蘊(yùn)涵的研究分為語(yǔ)義和語(yǔ)構(gòu)兩方面[22]，其中語(yǔ)義部分的研究包括以下幾方面[22-25]：

決策蘊(yùn)涵的合理性：怎樣判斷決策蘊(yùn)涵是否合理？或者說(shuō)，決策蘊(yùn)涵在什么情況下是成立的？

決策蘊(yùn)涵集的封閉性：決策蘊(yùn)涵集是否包含所有合理的決策蘊(yùn)涵？

決策蘊(yùn)涵集的完備性：如何在不損失信息的前提下生成一個(gè)決策蘊(yùn)涵集？

決策蘊(yùn)涵集的冗余性：一個(gè)決策蘊(yùn)涵集是否是緊致的?即，是否存在某些決策蘊(yùn)涵可以從決策蘊(yùn)涵集中的其他決策蘊(yùn)涵推導(dǎo)出來(lái)？

在語(yǔ)構(gòu)方面，首先給定一個(gè)決策蘊(yùn)涵集和一些推理規(guī)則，然后研究如何應(yīng)用這些推理規(guī)則從給定的決策蘊(yùn)涵集中推導(dǎo)出新的決策蘊(yùn)涵。這個(gè)方面的研究需要回答下列問(wèn)題[21-22]：

推理規(guī)則的合理性：是否推理規(guī)則推導(dǎo)出的任何決策蘊(yùn)涵都是合理的？

推理規(guī)則集的完備性：是否可以由給定的推理規(guī)則集推導(dǎo)出所有合理的決策蘊(yùn)涵？

推理規(guī)則集的無(wú)冗余性：推理規(guī)則之間是否是緊致的？即，是否某些推理規(guī)則可以由其他推理規(guī)則導(dǎo)出？

近年來(lái)，針對(duì)語(yǔ)構(gòu)上的推理規(guī)則已經(jīng)開(kāi)展了一些研究工作。Qu等[21]考慮了一種特殊的推理規(guī)則——α-推理規(guī)則。該規(guī)則通過(guò)擴(kuò)大決策蘊(yùn)涵的前件和減少?zèng)Q策蘊(yùn)涵的后件來(lái)得到新的決策蘊(yùn)涵，但是該推理規(guī)則并不是完備的。Li等[26-30]研究了決策背景、不完備決策背景和實(shí)決策背景中的推理規(guī)則。Zhai等[22]提出了兩種推理規(guī)則——擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則，并證明了它們的完備性，即給定一個(gè)完備集，可以通過(guò)擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則從完備集中推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的封閉集。雖然文獻(xiàn)[22]從理論上證明了擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則的合理性和完備性，但并沒(méi)有具體研究如何使用推理規(guī)則推導(dǎo)出封閉集。本文提出了一種更簡(jiǎn)單的推理規(guī)則——后件合并推理規(guī)則。后件合并推理規(guī)則是特殊的合并推理規(guī)則，它只對(duì)前件相同的決策蘊(yùn)涵進(jìn)行合并，證明了后件合并推理規(guī)則是合理的，并且該推理規(guī)則與擴(kuò)增推理規(guī)則組成的推理規(guī)則集是完備的、無(wú)冗余的；進(jìn)一步，研究了擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則的性質(zhì)，最后給出了使用這兩條推理規(guī)則從完備集推導(dǎo)其對(duì)應(yīng)封閉集的有效方法。

2 基本概念和性質(zhì)

本章給出形式概念分析中的基本概念和性質(zhì)。

定義1[19]形式背景是一個(gè)三元組K=(G,M,I)，其中G是對(duì)象集，M是屬性集，I?G×M是對(duì)象和屬性之間的二元關(guān)系。對(duì)于g∈G m∈M(g,m)∈I表示“對(duì)象g具有屬性m”。

定義2[19]設(shè)K=(G,M,I)為形式背景，對(duì)于集合A?G，記：

相應(yīng)地，對(duì)于集合B?M，記：

定義3[19]設(shè)K=(G,M,I)為形式背景，對(duì)于集合A?G和B?M，若AI=B且BI=A則稱二元組(A,B)為形式概念，簡(jiǎn)稱概念。其中A為該概念的外延，B為該概念的內(nèi)涵。

性質(zhì)1[19]設(shè)K=(G,M,I)為形式背景，對(duì)于集合A,A1,A2?G和B,B1,B2?M有：

定義4[19]設(shè)K=(G,M,I)為形式背景，C1=(A1,B1)和C2=(A2,B2)是概念，定義偏序：

所有概念在該偏序下構(gòu)成格，稱為概念格。

3 決策蘊(yùn)涵

決策蘊(yùn)涵有兩種研究方式：一種是決策蘊(yùn)涵的邏輯研究；另一種是決策蘊(yùn)涵的數(shù)據(jù)研究。決策蘊(yùn)涵的邏輯研究包括語(yǔ)義和語(yǔ)構(gòu)研究；決策蘊(yùn)涵的數(shù)據(jù)研究主要指決策背景上的決策蘊(yùn)涵研究。首先介紹決策蘊(yùn)涵的邏輯研究。

3.1 決策蘊(yùn)涵邏輯

3.1.1 決策蘊(yùn)涵邏輯的語(yǔ)義

首先給出決策蘊(yùn)涵邏輯中決策蘊(yùn)涵的定義。

定義5[22]設(shè)C是條件屬性集，D是決策屬性集，其中C?D=?。若A?C且B?D，則稱A→B是一個(gè)決策蘊(yùn)涵。此時(shí)，A為該決策蘊(yùn)涵的前提，B為該決策蘊(yùn)涵的結(jié)論。

定義6[22]設(shè)C是條件屬性集，D是決策屬性集，L和L1是決策蘊(yùn)涵集。定義：

（1）對(duì)于屬性集T?C?D和決策蘊(yùn)涵A→B，若A?T?C或B?T?D，則稱T滿足A→B（或稱T是A→B的一個(gè)模型），記為T(mén)╞A→B。若T滿足L中的任意一個(gè)決策蘊(yùn)涵，則T是L的一個(gè)模型，記為T(mén)╞L。

（2）若對(duì)于任意的T?C?D T╞L蘊(yùn)含T╞A→B，則稱A→B可以從L語(yǔ)義導(dǎo)出，記為L(zhǎng)├A→B。若任意的A1→B1∈L1都可以從L語(yǔ)義導(dǎo)出，則稱L1可以從L中語(yǔ)義導(dǎo)出，記為L(zhǎng)├L1。

（3）若任意的A→B∈L都不能從L中其他的決策蘊(yùn)涵語(yǔ)義導(dǎo)出，即L{A→B}?/{A→B}，則稱L是無(wú)冗余的。

（4）若任意可以從L中語(yǔ)義導(dǎo)出的決策蘊(yùn)涵都包含在L中，則稱L是封閉的。

（5）對(duì)于封閉的決策蘊(yùn)涵集L，若L1?L且L├1L，則稱L1相對(duì)于L是完備的。

定義7[22]設(shè)C是條件屬性集，L是決策蘊(yùn)涵集，A?C在L上的閉包為：

可以證明[22]，AL是A相對(duì)于L得到的最大結(jié)論。

定理1[22]設(shè)L為決策蘊(yùn)涵集，A→B是一個(gè)決策蘊(yùn)涵，則L├A→B當(dāng)且僅當(dāng)B?AL。

3.1.2 決策蘊(yùn)涵邏輯的語(yǔ)構(gòu)

決策蘊(yùn)涵邏輯的語(yǔ)構(gòu)研究包括推理規(guī)則的合理性、完備性和無(wú)冗余性。文獻(xiàn)[22]提出兩條推理規(guī)則：

擴(kuò)增推理規(guī)則：

合并推理規(guī)則：

定理2[22]（合理性）擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則是合理的，即：

（1）A→B是一個(gè)決策蘊(yùn)涵，且有A1?A和B1?B，則A→B?A1→B1；

（2）A→B和A1→B1是決策蘊(yùn)涵，則{A→B,A1→B1}?A?A1→B?B1。

定理3[22]（完備性）擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則是完備的，即對(duì)任意封閉的決策蘊(yùn)涵集L及其完備集L1?L，A→B∈L當(dāng)且僅當(dāng)A→B可以使用擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則從L1推出。

定義8令L為決策蘊(yùn)涵集：

（1）使用推理規(guī)則φ在L上得到的所有決策蘊(yùn)涵的集合記為L(zhǎng)φ；

（2）使用推理規(guī)則集Φ在L上得到的所有決策蘊(yùn)涵的集合記為L(zhǎng)Φ。

推理規(guī)則集的無(wú)冗余性意味著推理規(guī)則之間不能互相導(dǎo)出，這說(shuō)明每個(gè)推理規(guī)則在進(jìn)行推理時(shí)都是不可替代的。

定義9[22]令Φ為推理規(guī)則集，φ為某一推理規(guī)則且φ?Φ。稱推理規(guī)則φ相對(duì)于Φ是無(wú)冗余的，若存在決策蘊(yùn)涵集L，使得Lφ?LΦ。稱推理規(guī)則集Φ是無(wú)冗余的，若對(duì)任意的φ∈Φ，φ相對(duì)于Φφ是無(wú)冗余的。

定理4[22]（無(wú)冗余性）擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則是無(wú)冗余的。

下面的例子說(shuō)明了定理4的正確性。

例1令L={{a1}→{d1},{a1a2}→{d2}}。使用擴(kuò)增推理規(guī)則從L可得{a1a2}→{d1}，顯然該決策蘊(yùn)涵不能由合并推理規(guī)則得到。同樣地，對(duì){a1}→{d1}和{a1a2}→{d2}使用合并推理規(guī)則得到{a1a2}→{d1d2}，顯然該決策蘊(yùn)涵也不能只通過(guò)擴(kuò)增推理規(guī)則得到。

這里，用{a1a2}表示{a1,a2}，后文類似。

3.2 決策背景中的決策蘊(yùn)涵

下面給出決策蘊(yùn)涵的數(shù)據(jù)研究，即決策背景上的決策蘊(yùn)涵，并將決策蘊(yùn)涵邏輯的研究運(yùn)用到?jīng)Q策背景中的決策蘊(yùn)涵上。

首先引入決策背景的概念。

定義10[21]決策背景為三元組K=(G,C?D,IC?ID)，其中G為對(duì)象集，C為條件屬性集，D為決策屬性集，且C?D≠?，IC?G×C為條件關(guān)聯(lián)關(guān)系，ID?G×D為決策關(guān)聯(lián)關(guān)系。對(duì)于g∈G m∈C?D(g,m)∈IC或(g,m)∈ID表示“對(duì)象g具有屬性m”。

決策背景K=(G,C?D,IC?ID)通常用一個(gè)二維表表示，在表中行列的交點(diǎn)處為1表示這個(gè)對(duì)象含有這個(gè)屬性。

例2表1給出決策背景K=(G,C?D,IC?ID)，其中，G={g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8}C={a1,a2,a3,a4,a5,a6}D={d1,d2}。

Table 1 Decision context表1 決策背景

定義11[21]設(shè)K=(G,C?D,IC?ID)為決策背景，對(duì)于集合A1?C A2?D和B?G記：

對(duì)于g∈G和A?C，將{g}C、{g}D和(AC)D簡(jiǎn)記為gC、gD和ACD。

顯然，性質(zhì)1也適用于定義11的算子。例如，對(duì)于A1?A2?C，若。

定義12[21]設(shè)K=(G,C?D,IC?ID)為決策背景，A?C且B?D。若AC?BD，則稱A→B是一個(gè)決策蘊(yùn)涵。其中A是該決策蘊(yùn)涵的前提，B是該決策蘊(yùn)涵的結(jié)論。

例3以表1所示的決策背景為例，令A(yù)={a2a3}，則AC={g5g7} 令B={d2} 則BD={g2g5g7} 顯然，AC?BD，則A→B是一個(gè)決策蘊(yùn)涵。

4 決策蘊(yùn)涵上的推理規(guī)則和推理過(guò)程

4.1 決策蘊(yùn)涵上的推理規(guī)則

3.1.2 小節(jié)引入了擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則。在此基礎(chǔ)上，提出一條新的推理規(guī)則——后件合并推理規(guī)則：

顯然，后件合并推理規(guī)則是一種特殊的合并推理規(guī)則，它只對(duì)前件相同的決策蘊(yùn)涵的后件進(jìn)行合并。因此，后件合并推理規(guī)則在形式上更簡(jiǎn)潔。

因?yàn)楹喜⑼评硪?guī)則是合理的，因此后件合并推理規(guī)則也是合理的。

定理5（合理性定理）后件合并推理規(guī)則是合理的，即：若A→B1和A→B2是決策蘊(yùn)涵，則{A→B1,A→B2}├A→B1?B2。

證明顯然。 □

下面證明擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則是無(wú)冗余的。

首先，根據(jù)定義8，定義：

定義13令L為決策蘊(yùn)涵集：

（1）使用擴(kuò)增推理規(guī)則在L上得到的所有決策蘊(yùn)涵的集合記為L(zhǎng)A；

（2）使用后件合并推理規(guī)則在L上得到的所有決策蘊(yùn)涵的集合記為；

（3）使用合并推理規(guī)則在L上得到的所有決策蘊(yùn)涵的集合記為L(zhǎng)C；

（4）先使用擴(kuò)增推理規(guī)則得到LA，再使用后件合并推理規(guī)則得到，簡(jiǎn)記為。

定理6（無(wú)冗余性定理）后件合并推理規(guī)則和擴(kuò)增推理規(guī)則是無(wú)冗余的。

證明根據(jù)定義9，只需證明：

（1）存在決策蘊(yùn)涵集L有；

（2）存在決策蘊(yùn)涵集L有LCα?LA。

下面證明（1）。令L1={A1→B1}，其中B1≠?，令A(yù)2?A1，B2?B1，則由擴(kuò)增推理規(guī)則可以得到?jīng)Q策蘊(yùn)涵A2→B2。顯然，決策蘊(yùn)涵A2→B2不能由后件合并推理規(guī)則推出。

下面證明（2）。令L2={A→B1,A→B2}，其中B1?B2且B2?B1，由后件合并推理規(guī)則可從L得到?jīng)Q策蘊(yùn)涵A→B1?B2。顯然，決策蘊(yùn)涵A→B1?B2不能由擴(kuò)增推理規(guī)則推出。

綜上所述，后件合并推理規(guī)則和擴(kuò)增推理規(guī)則是無(wú)冗余的。 □

例4令L={{a1}→{d1}{a1}→{d2}}。使用擴(kuò)增推理規(guī)則從{a1}→{d1}可得{a1a2}→{d1}，顯然該決策蘊(yùn)涵不能由后件合并推理規(guī)則推出。同樣地，對(duì){a1}→{d1}和{a1}→{d2}使用后件合并推理規(guī)則得到{a1}→{d1d2}，顯然該決策蘊(yùn)涵也不能只通過(guò)擴(kuò)增推理規(guī)則得出。

進(jìn)一步，可以得到：

性質(zhì)2合并推理規(guī)則相對(duì)于擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則是冗余的。

證明根據(jù)定義9，只需證明對(duì)任意的決策蘊(yùn)涵集L若A→B∈LC那么A→B也可以通過(guò)擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則得到。

因?yàn)锳→B∈LC所以A→B必然可以通過(guò)L中的若干條決策蘊(yùn)涵使用合并推理規(guī)則得到，即必存在P?L使得：

接下來(lái)證明通過(guò)擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則可以從P得到A→B。

因?yàn)?{A1|A1→B1∈P}=A，所以對(duì)任意的A1→B1∈P有A1?A，進(jìn)而可以對(duì)P中所有的決策蘊(yùn)涵使用擴(kuò)增推理規(guī)則得到集合：

又因?yàn)?{B1|A1→B1∈P}=B，使用后件合并推理規(guī)則，將P1中決策蘊(yùn)涵的前件和后件分別進(jìn)行合并即可得到A→B。 □

例5令L={{a1}→{d1},{a2a3}→{d2}}。使用合并推理規(guī)則可以從{a1}→{d1}和{a2a3}→{d2}得到{a1a2a3}→{d1d2}。事實(shí)上，也可以分別對(duì){a1}→{d1}和{a2a3}→{d2}使用擴(kuò)增推理規(guī)則得到{a1a2a3}→{d1}和{a1a2a3}→{d2}，然后再對(duì){a1a2a3}→{d1}和{a1a2a3}→{d2}使用后件合并推理規(guī)則得到{a1a2a3}→{d1d2}。

事實(shí)上，性質(zhì)2和例5也說(shuō)明，在推導(dǎo)過(guò)程中，后件合并推理規(guī)則可以替代合并推理規(guī)則，因此擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則也是完備的。

定理7（完備性定理）擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則是完備的，即對(duì)任意封閉的決策蘊(yùn)涵集L及其完備集L1?L A→B∈L當(dāng)且僅當(dāng)A→B可以使用擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則從L1推出。

證明（充分性）根據(jù)定理2和定理5，擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則是合理的，因此L1├A→B；而又因?yàn)長(zhǎng)是封閉的，因此A→B∈L。

（必要性）因?yàn)锳→B∈L根據(jù)定理3知道A→B可以使用擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則從L1推出，因此A→B也可以使用擴(kuò)增推理規(guī)則、合并推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則從L1推出；又根據(jù)性質(zhì)2，合并推理規(guī)則相對(duì)于擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則是冗余的，因此A→B可以只使用擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則從L1推出。 □

4.2 決策蘊(yùn)涵的推理過(guò)程研究

通過(guò)決策蘊(yùn)涵的語(yǔ)構(gòu)研究，可以使用推理規(guī)則集從決策蘊(yùn)涵集導(dǎo)出新的決策蘊(yùn)涵。4.1節(jié)中已證明了擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則相對(duì)于決策蘊(yùn)涵的語(yǔ)義是完備的，即從任意的決策蘊(yùn)涵集開(kāi)始，重復(fù)應(yīng)用這兩條推理規(guī)則，可以得到給定決策蘊(yùn)涵集的封閉集。在本節(jié)，將討論推理規(guī)則的性質(zhì)，并將其應(yīng)用在推理過(guò)程中，以便更有效地從決策蘊(yùn)涵集得到封閉集。

下面，首先定義推理過(guò)程中的一些算子。

定義14令L為一決策蘊(yùn)涵集，記：

（1）LA為對(duì)L中所有的決策蘊(yùn)涵均使用一次擴(kuò)增推理規(guī)則得到的所有決策蘊(yùn)涵的集合，即：

方便起見(jiàn)，規(guī)定：

（1）對(duì)L中的決策蘊(yùn)涵先進(jìn)行一次A運(yùn)算，再進(jìn)行一次Cα運(yùn)算記為，其余類似；

（2）從L開(kāi)始，連續(xù)進(jìn)行n次A運(yùn)算記為，其余類似。

例6以表1中的決策背景為例，L={{a2a4a5a6}→{d1}{a1a3a4a5}→{d1}{a1a3a4a5}→{d2}}是它的一個(gè)決策蘊(yùn)涵集。決策蘊(yùn)涵集LA和分別如下所示：

根據(jù)定理7，對(duì)于完備集L，可以交替進(jìn)行A運(yùn)算和Cα運(yùn)算，直至不再產(chǎn)生新的決策蘊(yùn)涵即可得到，但是這樣的推導(dǎo)方式效率并不高。

下面，首先研究擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則的性質(zhì)以及如何通過(guò)A運(yùn)算和Cα運(yùn)算得到LA和（LA和分別是使用擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則在L上得到的所有的決策蘊(yùn)涵的集合，見(jiàn)定義13）。

性質(zhì)3令L為一決策蘊(yùn)涵集，則：

（1）L?LA

（2）LA=LAA

（3）LA=LA

證明

（1）對(duì)于任意的A→B∈L，因?yàn)锳?A且B?B，因而A→B∈LA，因此有L?LA。

（2）根據(jù)（1），顯然有LA?LAA只需證明LAA?LA。令A(yù)→B∈LAALA，此時(shí)必存在A1→B1∈LA，并由此得到A→B，即有A?A1且B?B1。因?yàn)锳1→B1∈LA，所以必存在A2→B2∈L，并由此得到A1→B1，即有A1?A2且B1?B2。因此得到A?A2且B?B2，結(jié)合A2→B2∈L可知A→B∈LA。

（3）因?yàn)長(zhǎng)A是使用擴(kuò)增推理規(guī)則在L上得到的所有的決策蘊(yùn)涵的集合，所以必存在n使得LA=（一般都假設(shè)條件屬性集和決策屬性集為有限集，因此L也必為有限集，后文情況類似）。又因?yàn)長(zhǎng)A=LAA，所以LA=LA。 □

例7以例6中的決策蘊(yùn)涵集L為例，根據(jù)性質(zhì)3可知，LA即為例6中的LA。

性質(zhì)3和例7說(shuō)明，在推導(dǎo)過(guò)程中，只需要對(duì)L中的所有決策蘊(yùn)涵都進(jìn)行一次A運(yùn)算，即可得到通過(guò)擴(kuò)增推理規(guī)則生成的所有決策蘊(yùn)涵。

性質(zhì)4令L為一決策蘊(yùn)涵集，則：

證明

（1）對(duì)于任意的A→B∈L由因此。

共有兩種情況：

①m≤n。此時(shí)，由（1）和題設(shè)可得：

②m＞n因?yàn)樗裕?/p>

例8以例6中的決策蘊(yùn)涵集L={{a2a4a5a6}→{d1}{a1a3a4a5}→{d1}{a1a3a4a5}→{d2}}為例，對(duì)L多次進(jìn)行Cα運(yùn)算可得到集合LCα：

性質(zhì)5令為封閉的決策蘊(yùn)涵集且，則

證明顯然，因此只需證明。對(duì)任意的A→B∈，令P={A1→B1∈L|A1?A}，因?yàn)閷?duì)于任意的A1→B1∈P，都有A1?A和B1?B?B1，所以可使用擴(kuò)增推理規(guī)則得到A→B1?B，進(jìn)而可推理得到集合P1={A→B1?B|A1→B1∈P} 此時(shí)，根據(jù)LA的定義有P1?LA。

接下來(lái)證明B=?{B1?B|A1→B1∈P}。

根據(jù)定義7可知AL=?{B1|A1→B1∈P} 因?yàn)榍褹→B∈根據(jù)定理1可知B?AL即B??{B1|A1→B1∈P} 則B?{B1|A1→B1∈P}=B而根據(jù)集合的分配律有B?(?{B1|A1→B1∈P})=?{B?B1|A1→B1∈P} 因此有?{B?B1|A1→B1∈P}=B此時(shí)，使用后件合并推理規(guī)則可以將P1中所有的決策蘊(yùn)涵合并為A→B因而有A→B∈又因?yàn)镻1?LA所以A→B∈。

綜上所述，對(duì)任意的A→B∈有A→B∈，因此。 □

性質(zhì)5表明了生成封閉集不僅可以通過(guò)交替使用這兩條推理規(guī)則，也可以先使用擴(kuò)增推理規(guī)則得到LA再對(duì)LA使用后件合并推理規(guī)則得到封閉集。

定理8令為封閉的決策蘊(yùn)涵集且，則。

證明根據(jù)性質(zhì)3可知LA=LA，因此

定理8在性質(zhì)5的基礎(chǔ)上又進(jìn)一步簡(jiǎn)化了生成封閉集的過(guò)程，在推導(dǎo)過(guò)程中，僅對(duì)決策蘊(yùn)涵集中所有的決策蘊(yùn)涵應(yīng)用一次擴(kuò)增推理規(guī)則即可。

5 結(jié)論與展望

本文基于已有的擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則，提出了后件合并推理規(guī)則。該推理規(guī)則不僅簡(jiǎn)化了合并推理規(guī)則，而且具有合理性，與擴(kuò)增推理規(guī)則組成的推理規(guī)則集也具有完備性和無(wú)冗余性;在此基礎(chǔ)上，研究了擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則的性質(zhì)，并應(yīng)用于推導(dǎo)過(guò)程，提出具體的推導(dǎo)方法。在實(shí)際問(wèn)題中會(huì)遇到各種不同的需求，而不同的推導(dǎo)方法有可能滿足不同的需求，因此也豐富了從決策蘊(yùn)涵集得到封閉集的方法理論。

另外，這一研究也引出了一些新的問(wèn)題，例如：不論使用擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則，還是使用擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則，都需要交替使用才能推導(dǎo)出所有的決策蘊(yùn)涵，這樣勢(shì)必會(huì)增加推理的復(fù)雜度，因此是否存在更簡(jiǎn)單有效的推理規(guī)則，即只需一條推理規(guī)則便足以完成該推理過(guò)程?是否可以將本文的工作推廣到可變決策蘊(yùn)涵[31]和模糊決策蘊(yùn)涵[20，32]上？這也是接下來(lái)需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題。