王正旭， 高德利 2

（1. 石油工程教育部重點(diǎn)實驗室（中國石油大學(xué)（北京）），北京 102249；2. 油氣資源與工程國家重點(diǎn)實驗室（中國石油大學(xué)（北京）），北京 102249）

隨著常規(guī)油氣資源被持續(xù)開發(fā)、剩余資源日益減少，國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展對油氣需求不斷增長，以及勘探開發(fā)技術(shù)不斷提高，地質(zhì)儲量豐富的稠油資源將是未來的接替能源之一，具有廣闊的開發(fā)利用前景。目前采用的稠油蒸汽熱采技術(shù)存在諸多缺陷：蒸汽在管線及非儲層區(qū)域熱損失大；深層、薄層及裂縫性儲層的原油動用難度大[1-3]；地面蒸汽生產(chǎn)設(shè)備消耗大量天然氣并導(dǎo)致溫室氣體過度排放，最終導(dǎo)致開采成本過高和環(huán)境污染嚴(yán)重[4-5]。為此，國內(nèi)外開展了諸多稠油開采新技術(shù)研究[6-7]，電磁加熱法是其中一種有效的稠油開采技術(shù)[8-10]。

1956 年，H. W. Ritchey[11]提出了電磁加熱法稠油開采技術(shù)；隨后，多位學(xué)者對該技術(shù)進(jìn)行了廣泛的理論研究[12-16]。近年來，因高頻電磁加熱具有加熱快和可以體積加熱、內(nèi)外同時加熱的特點(diǎn)，也符合環(huán)保要求[17-18]，基于高頻波段（大于100 kHz[19]）的電磁加熱法得到了高度關(guān)注[20-24]。一些學(xué)者利用數(shù)值模擬方法分析了高頻電磁加熱過程中損耗多孔媒質(zhì)的熱傳遞過程，比較了電磁加熱和其他加熱法的加熱性能，并計算了電磁加熱用于超稠油開采的溫度分布結(jié)果[25-28]，但忽略了電磁加熱過程中儲層性質(zhì)一直處于動態(tài)變化的情況[2]，導(dǎo)致計算結(jié)果出現(xiàn)偏差，不能準(zhǔn)確反映電磁加熱過程。因此，為了準(zhǔn)確計算電磁加熱過程中稠油儲層的溫度分布，筆者采用喇叭天線來輻射高頻電磁波，建立了考慮稠油儲層性質(zhì)變化的溫度分布數(shù)學(xué)模型，通過求解該模型來分析稠油儲層溫度分布的影響因素，以期為高頻電磁加熱技術(shù)的現(xiàn)場應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1 電磁加熱機(jī)理

稠油儲層是損耗媒質(zhì)，電磁波在其內(nèi)傳播時會產(chǎn)生電磁損耗，最終電磁能在儲層內(nèi)轉(zhuǎn)化為熱能，實現(xiàn)原油增溫降黏的目的。稠油儲層內(nèi)主要含有油、水和巖石（見圖1），由于各組分存在性質(zhì)差異，它們對電磁波的吸收能力也有所不同。

一般情況下，水的吸收能力較強(qiáng)，這是由于水分子是極性分子，置于外加電場后，每個水分子的正負(fù)電荷受到外電場力的作用，形成偶極子；當(dāng)外電場按照一定頻率發(fā)生變化時，偶極子被反復(fù)極化，分子的劇烈運(yùn)動引起分子間摩擦并最終產(chǎn)生熱能[19]。因此，當(dāng)電磁波穿過儲層內(nèi)部時，水吸收較多電磁能，并在儲層內(nèi)部通過熱傳導(dǎo)作用加熱其周圍的油和巖石。

2 電磁加熱模型

2.1 物理模型

為研究高頻電磁加熱過程中稠油儲層溫度分布的影響因素，建立了三維幾何模型，如圖2 所示。該模型包括喇叭天線、腔體及稠油儲層。其中，喇叭天線的作用是輻射一定頻率和功率的電磁波，腔體將電磁波從喇叭天線傳輸至稠油儲層。圖2 中，喇叭天線尺寸：La=200.0 mm，Lh=54.6 mm，Wh=109.0 mm，Wa=200.0 mm，Hh=50.0 mm 和Ha=300.0 mm；腔體尺寸：Lc=388.0 mm，Wc=470.0 mm，Hc=200.0 mm；稠油儲層尺寸：Lr=388.0 mm，Wr=470.0 mm，Hr=450.0 mm。坐標(biāo)原點(diǎn)位于腔體和儲層交界面的中心位置，喇叭天線及腔體內(nèi)部充滿空氣，并假設(shè)其壁面為理想導(dǎo)體，稠油儲層均勻分布且具有各向同性。

圖 2 電磁加熱稠油儲層三維幾何模型Fig.2 Three-dimensional geometric model of a heavy oil reservoir under electromagnetic heating

圖 1 電磁加熱稠油儲層示意Fig.1 Schematic of heavy oil reservoir under electromagnetic heating

2.2 儲層性質(zhì)

高頻電磁加熱過程中，儲層的性質(zhì)會發(fā)生動態(tài)變化，為此，分別分析了儲層電導(dǎo)率、相對介電常數(shù)隨電磁波頻率的變化規(guī)律和導(dǎo)熱系數(shù)、比熱容隨溫度變化的特性。

電磁波頻率對儲層電導(dǎo)率和相對介電常數(shù)的影響規(guī)律如圖3 所示[29]。

圖 3 電磁波頻率對儲層電導(dǎo)率和相對介電常數(shù)的影響Fig.3 Changing laws of electric conductivity and relative permittivity of reservoir with frequency

通過最小二乘擬合法，可以得到儲層電導(dǎo)率和相對介電常數(shù)關(guān)于電磁波頻率的函數(shù)表達(dá)式，其相對誤差分別為3.3%和4.2%。

儲層電導(dǎo)率的計算公式為：

式中：σ 為儲層的電導(dǎo)率，S/m；f 為電磁波頻率，Hz。相對介電常數(shù)的計算公式為：

式中：εr為儲層的相對介電常數(shù)。

儲層導(dǎo)熱系數(shù)和比熱容與溫度的關(guān)系可表示為[2]：

式中：k 為導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m·℃）；T 為溫度，℃；c 為比熱容，J/（kg·℃）。

此外，儲層密度ρ 為恒定值1 950 kg/m3，且初始溫度T0設(shè)為25 ℃。

2.3 電磁場與電磁熱源

電磁波在損耗媒質(zhì)中傳播時，呈現(xiàn)逐漸衰減的特點(diǎn)（見圖4），其中E 和H 分別為電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度，且電磁波沿z1方向傳播[25]。

因此，根據(jù)損耗媒質(zhì)中的麥克斯韋方程[30]，可推導(dǎo)出該情況下的齊次亥姆霍茲方程[31]：

圖 4 電磁波衰減示意Fig. 4 Schematic of electromagnetic waves attenuation

式中：E 為媒質(zhì)中電場強(qiáng)度，V/m；kc為損耗媒質(zhì)中的波數(shù)，rad/m。

kc為復(fù)數(shù)，也稱為復(fù)數(shù)波，其表達(dá)式為[31]：

式中：ω 為角頻率，rad/s；μ 為損耗媒質(zhì)的磁導(dǎo)率，H/m；εc為復(fù)介電常數(shù)。

其中，復(fù)介電常數(shù)和角頻率的表達(dá)式分別為：

式中：ε 為損耗媒質(zhì)的介電常數(shù)，F(xiàn)/m；j 為虛數(shù)單位；σ 為媒質(zhì)的電導(dǎo)率，S/m。

根據(jù)式（6）和式（8），可知真空中的波數(shù)k0為：

式中：ε0為真空介電常數(shù)，F(xiàn)/m；μ0為真空磁導(dǎo)率，H/m。將式（6）—式（9）代入式（5），得：

式中：μr為相對磁導(dǎo)率，即媒質(zhì)磁導(dǎo)率μ 與真空磁導(dǎo)率μ0之比，由于假定儲層是無磁的，μr=1.0；εr為相對介電常數(shù)，即損耗媒質(zhì)介電常數(shù)ε 與真空介電常數(shù)ε0之比。

此外，對于電磁強(qiáng)度E，有如下關(guān)系：

在無源的麥克斯韋表達(dá)式中， ?·E為0，再將式（11）代入式（10），得到電場在儲層內(nèi)傳播時的計算表達(dá)式：

式（12）中，儲層的相對介電常數(shù)和電導(dǎo)率是關(guān)于電磁波頻率的函數(shù)。

在儲層內(nèi)，電磁波單位體積損耗功率的表達(dá)式為[2]：

式中：Q 為電磁波單位體積的損耗功率，W/m3。

式中：t 為加熱時間，s；ρ 為儲層密度，kg/m3；T 為儲層被加熱時間t 后的溫度，℃；q 為內(nèi)熱源強(qiáng)度，W/m3，表示單位體積單位時間內(nèi)所吸收的熱量。

利用式（12）求得儲層內(nèi)電場，然后代入式（13），計算得到的Q 項等于式（14）中的內(nèi)熱源強(qiáng)度q[32]，即Q=q。其中，儲層不同溫度下的導(dǎo)熱系數(shù)和比熱容分別利用式（3）和式（4）進(jìn)行計算。最后，求解式（14）可得到儲層的溫度分布。

初始溫度設(shè)為恒定值，即：

此外，稠油儲層外表面均是絕熱的，根據(jù)傅里葉定律，該表面上溫度梯度為0，邊界條件表示為：

式中：s 為儲層外表面；n 為s 面的法向量。

采用多物理場模擬軟件COMSOL 求解上述數(shù)學(xué)模型，為了提高計算精度，對物理模型交界區(qū)域進(jìn)行了網(wǎng)格加密處理（見圖5）。

圖 5 電磁加熱稠油儲層物理網(wǎng)格劃分Fig.5 Grid partition of the heavy oil reservoir under electromagnetic heating

3 電場和溫度場分布

電磁波頻率為1.6 GHz、功率為1.5 kW 時，稠油儲層加熱6 h 后，模擬喇叭天線和稠油儲層的電場分布，結(jié)果見圖6。從圖6 可知：電場強(qiáng)度在喇叭天線端口處較大且電磁波沿著z 軸方向向儲層傳播；在電磁波入射的儲層面上，與y 軸平行的兩邊附近區(qū)域的電場強(qiáng)度較大，且電場在電磁波入射的儲層面內(nèi)沿y 軸對稱分布。

圖 6 電場分布模擬結(jié)果Fig.6 Calculation results of electric field distribution

儲層溫度分布隨時間的變化情況如圖7 所示。從圖7 可以看出：電磁波入射面的儲層溫度也呈現(xiàn)沿y 軸對稱分布的特點(diǎn)，這與圖6（b）所示的電場分布規(guī)律類似；加熱初期，在電磁波入射的儲層面內(nèi)，平行于y 軸的兩邊附近區(qū)域的溫度較高，隨著加熱時間增長，電磁波入射儲層面中心區(qū)域的溫度逐漸升高，接近上述兩邊附近的溫度，且沿加熱深度逐步擴(kuò)大。這是由于在熱傳導(dǎo)的作用下，加熱時間延長，導(dǎo)致加熱范圍逐步擴(kuò)大。

4 影響因素分析

高頻電磁加熱過程中，稠油儲層溫度分布的影響因素主要包括電磁波功率和頻率，儲層的導(dǎo)熱系數(shù)、比熱容、相對介電常數(shù)和電導(dǎo)率。

圖 7 儲層溫度隨時間的變化規(guī)律Fig.7 Changing relationship of reservoir temperature with time

圖 8 不同電磁波功率下儲層溫度分布三維圖Fig.8 Three-dimensional map of reservoir temperature distribution under different electromagnetic wave powers

4.1 電磁波功率和頻率

在加熱時間恒為6 h 時，電磁波功率對儲層溫度分布的影響見圖8。從圖8 可以看出，隨著電磁波功率增大，儲層加熱深度增大，電磁波入射儲層面的溫度分布也趨于均勻。由此可知，電磁波功率增大，能使更多的電磁能轉(zhuǎn)化為儲層內(nèi)的熱能，儲層的高溫區(qū)域增大。

電磁波頻率對儲層溫度分布的影響研究分2 種情況進(jìn)行：1）基于實際情況，考慮頻率變化引起儲層電導(dǎo)率和相對介電常數(shù)的變化，其變化規(guī)律符合式（1）和式（2）；2）儲層電導(dǎo)率和相對介電常數(shù)不受頻率影響，始終為0.08 S/m 和12.5。

根據(jù)以上2 種情況，一方面分析電磁波頻率對儲層溫度分布的影響規(guī)律，另一方面對2 種情況下的儲層溫度分布結(jié)果進(jìn)行比較和分析。電磁波頻率分別選取1.4，1.6 和1.8 GHz，對應(yīng)的儲層電導(dǎo)率分別為0.080，0.082 和0.085 S/m，相對介電常數(shù)分別為12.5，12.9 和13.2。

在情況2）的條件下，儲層沿深度的溫度分布受電磁波頻率的影響規(guī)律如圖9 所示。

從圖9 可以看出，電磁波頻率增大，能夠使入射波儲層面區(qū)域的溫度急劇升高，但隨著加熱深度增加，溫度急劇下降。因此，增大電磁波頻率，有助于快速升溫，但不利于增大加熱距離。

通過求解數(shù)學(xué)模型，分別得到了2 種情況下儲層溫度沿深度的變化情況，見圖10（圖10 中，綠色曲線表示電磁波頻率從1.4 GHz 變?yōu)?.6 GHz 或者1.8 GHz、而電導(dǎo)率和相對介電常數(shù)恒為1.4 GHz 時的恒定值（即0.080 S/m 和12.5）的計算結(jié)果，藍(lán)色曲線表示根據(jù)式（1）和式（2）計算該頻率下對應(yīng)電導(dǎo)率和相對介電常數(shù)時的結(jié)果）。由圖10 可知：在不考慮儲層電導(dǎo)率和相對介電常數(shù)隨電磁波頻率變化的情況下，儲層溫度計算結(jié)果偏高，即儲層性質(zhì)不變時的溫度計算結(jié)果要大于現(xiàn)場實際加熱過程中的儲層溫度。

圖 11 儲層導(dǎo)熱系數(shù)和比熱容隨溫度變化和恒定時的溫度分布對比Fig.11 A comparison of temperature distributions based on the constant and variable thermal conductivity and specific heat of reservoir with temperature

圖 10 儲層電導(dǎo)率和相對介電常數(shù)隨電磁波頻率變化和恒定時的溫度分布對比Fig.10 A comparison of temperature distributions based on the constant and variable electrical conductivity and relative permittivity of reservoir with temperature

4.2 儲層導(dǎo)熱系數(shù)和比熱容

在加熱時間恒為6 h 的條件下，分2 種情況進(jìn)行研究：1）基于實際情況，考慮溫度變化引起儲層導(dǎo)熱系數(shù)和比熱容改變，其變化規(guī)律依據(jù)式（3）和式（4）計算分析；2）儲層導(dǎo)熱系數(shù)和比熱容不受溫度影響，其值恒為0.2 W/（m·℃）和800 J/（kg·℃）。

通過求解數(shù)學(xué)模型，分別得到了2 種情況下的儲層溫度分布情況，如圖11 所示。

從圖11 可以看出：情況1）下的儲層溫度分布曲線與情況2）下的儲層溫度分布曲線存在交點(diǎn)；在該交點(diǎn)橫坐標(biāo)左側(cè)的區(qū)域內(nèi)，情況2）下的儲層溫度較高；在該交點(diǎn)橫坐標(biāo)右側(cè)的一段區(qū)域內(nèi)，情況1）下的儲層溫度較高。這說明在不考慮儲層導(dǎo)熱系數(shù)和比熱容隨溫度變化的情況下，接近波源儲層區(qū)域溫度的計算結(jié)果高于儲層實際溫度，遠(yuǎn)離波源一定距離儲層區(qū)域內(nèi)溫度的計算結(jié)果低于儲層實際溫度；隨著儲層深度進(jìn)一步增大，2 條曲線同時下降，并趨于重合。以上溫度分布曲線與文獻(xiàn)[2]中溫度分布曲線基本吻合，驗證了以上結(jié)果的正確性，同時也驗證了數(shù)學(xué)模型的有效性。

4.3 儲層相對介電常數(shù)和電導(dǎo)率

研究不同稠油儲層的相對介電常數(shù)和電導(dǎo)率對溫度分布的影響規(guī)律時，電磁波頻率恒為1.6 GHz，儲層相對介電常數(shù)及電導(dǎo)率的取值范圍可參考文獻(xiàn)[29]。假設(shè)儲層的相對介電常數(shù)分別為8.5，12.5和16.5，計算不同相對介電常數(shù)下的溫度分布曲線，結(jié)果見圖12。由圖12 可知：不同相對介電常數(shù)下的儲層溫度隨深度增大而降低，3 條溫度分布曲線隨著深度增大逐漸趨于重合；儲層相對介電常數(shù)從8.5 增至16.5 時，儲層深度小于0.15 m 時其溫度均升高，表明儲層相對介電常數(shù)越大，對電磁波加熱開采稠油越有利。

假設(shè)儲層電導(dǎo)率分別為0.01，0.08 和0.15 S/m，計算不同電導(dǎo)率下的溫度分布曲線，結(jié)果如圖13 所示。從圖13 可以看出：隨著電導(dǎo)率增大，沿深度方向的儲層溫度也明顯升高，這與圖12 中的溫度分布曲線變化規(guī)律相似。以上研究表明，稠油儲層相對介電常數(shù)和電導(dǎo)率在一定范圍內(nèi)增大，可以提高儲層溫度。

圖 12 儲層相對介電常數(shù)對溫度分布的影響Fig. 12 The influence of reservoir relative permittivity on temperature distribution

圖 13 儲層電導(dǎo)率對溫度分布的影響Fig. 13 The influence of reservoir electric conductivity on temperature distribution

5 結(jié)論與建議

1）儲層的加熱深度隨電磁波功率增大而增大；波源附近儲層溫度隨頻率升高而升高；考慮儲層性質(zhì)隨溫度或頻率變化時的溫度計算結(jié)果與儲層性質(zhì)恒定時的計算結(jié)果不同；在一定變化范圍內(nèi)，增大儲層相對介電常數(shù)和電導(dǎo)率，可以提高儲層溫度。

2）當(dāng)電磁波頻率達(dá)到吉赫茲（GHz）數(shù)量級時，電磁加熱稠油儲層的加熱距離較短，難以滿足現(xiàn)場遠(yuǎn)距離加熱的需求。

3）本文也是基于電磁場和傳熱理論來描述電磁加熱稠油儲層的過程，但建立的數(shù)學(xué)模型考慮了儲層性質(zhì)的動態(tài)變化，利用該模型求得的溫度分布結(jié)果對于準(zhǔn)確預(yù)測實際加熱過程中的儲層溫度分布具有一定的指導(dǎo)作用。

4）井下電磁加熱技術(shù)是一種多學(xué)科結(jié)合的新型稠油熱采技術(shù)，涉及電磁場和溫度場的耦合作用，建議開展室內(nèi)實驗來確定儲層性質(zhì)隨溫度和頻率的變化規(guī)律，并對理論模型進(jìn)行驗證，以準(zhǔn)確預(yù)測電磁加熱過程中的儲層溫度分布。