蘇玉恒， 孔繁榮， 嚴(yán)廣松,2

(1. 河南工程學(xué)院， 河南 鄭州 450007； 2. 鄭州升達(dá)經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院， 河南 鄭州 451191)

在短纖維紡紗中，無論是本身長度不同的棉纖維還是長度趨同的化學(xué)纖維，由于加工過程的各種作用，最終在紗條內(nèi)部都表現(xiàn)為長度不同，這種不同長度的纖維在紗條中復(fù)雜的排列狀態(tài)是造成紗線不勻的基本原因，因而研究纖維在紗條中的空間幾何形態(tài)及其在紗條中的排列是紗條不勻理論的重要基礎(chǔ)研究之一。

紗條中短纖維的排列特征早期用紗條截面中纖維的根數(shù)來表示，1941年，Spencer-Smith等[1]提出等長纖維的紗條截面內(nèi)的纖維根數(shù)服從泊松分布，從而用時(shí)間序列方法給出了計(jì)算紗條不勻的方法；1945年，Martindale[2]在泊松分布理論基礎(chǔ)上，給出了紗條的極限不勻以及不勻指數(shù)，奠定了紗條不勻研究的理論基礎(chǔ)。但實(shí)際上，紗條中的短纖維不是等長度的，紗條截面的纖維根數(shù)作為表示纖維排列狀態(tài)的指標(biāo)已經(jīng)不能滿足要求，很多研究者將纖維頭端的分布引入，來定義纖維在紗條中的隨機(jī)排列狀態(tài)，其中Rao[3]關(guān)于理想紗條的定義被廣泛認(rèn)可，Brown等[4]建立了紗條片段長度、纖維長度分布與片段中纖維頭端數(shù)目的統(tǒng)計(jì)模型；Zeidman等[5]將紗條不勻分解為截面內(nèi)纖維根數(shù)的分布不勻、纖維細(xì)度不勻和纖維傾斜度的差異，并給出了紗條截面內(nèi)的纖維根數(shù)與纖維長度分布、纖維頭端密度間的函數(shù)關(guān)系，但忽視了它們的隨機(jī)特征；Cherkassky[6]則認(rèn)為紗條中相鄰纖維間的間距服從指數(shù)分布；YAN等[7]在假定理想紗條中纖維全部排列在多個(gè)通道中，構(gòu)建了一種纖維排列的假構(gòu)模型，并以通道中相鄰纖維的頭端間距為參數(shù)，給出了一種紗條極限不勻的新表征方法；張弘強(qiáng)等[8]利用示蹤纖維法測試了梳棉條中纖維左頭端的分布，經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為梳棉條中纖維左頭端沿條子軸向呈均勻分布；JIANG[9]采用紗條內(nèi)纖維左頭端呈均勻分布的假設(shè)，模擬了隨機(jī)紗條，用于紗條強(qiáng)力性能的分析。以上研究成果可以看出，以纖維頭端分布形態(tài)作為纖維在紗條中的排列特征的描述指標(biāo)是一種較常見的做法，但其分布形態(tài)與紗條截面纖維根數(shù)及紗條不勻間是什么關(guān)系，梳棉條中纖維左頭端沿條子軸向呈均勻分布的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否適用于平行度更高的紗條等問題仍需進(jìn)一步解析。

本文以紗條內(nèi)纖維頭端數(shù)的分布為纖維排列的標(biāo)志特征，構(gòu)建紗條中纖維排列幾何模型，使用Monte Carlo方法，進(jìn)行隨機(jī)紗條的排列模擬，獲得各種不同分布形態(tài)及參數(shù)下的紗條截面纖維根數(shù)CV值，并對(duì)其影響因素和規(guī)律進(jìn)行了分析。

1 紗條內(nèi)纖維頭端分布的幾何模型

1.1 假設(shè)條件與幾何模型

本文所研究紗條為纖維沿軸線平行隨機(jī)排列的連續(xù)線性集合體；所謂隨機(jī)排列是指在集合體上任取一區(qū)間，某一根纖維的特定位置(如左頭端)出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的可能性與區(qū)間的大小成正比，進(jìn)而假設(shè)：1)集合體中所有纖維具有相同線密度，且沿纖維長度方向均勻一致；2)集合體中每個(gè)纖維頭端(右或左)的位置相互獨(dú)立，并且與其長度無關(guān)。

在上述定義的隨機(jī)紗條上任意選一點(diǎn)x及其相鄰截面x+Δ，形成寬度為Δ的區(qū)間[x,x+Δ)，對(duì)于每一根纖維而言，以纖維左頭端為纖維位置標(biāo)志，其位置只有2種可能性，落入上述區(qū)間或在區(qū)間之外，且對(duì)每一根纖維都是相互獨(dú)立的，因此落入?yún)^(qū)間[x,x+Δ)的纖維左頭端數(shù)是典型的n重Bernoulli模型。在Δ較小(如1 mm)的情況下，假設(shè)進(jìn)入[x,x+Δ)區(qū)間內(nèi)的纖維左頭位置在區(qū)間內(nèi)均勻分布，那么在明確區(qū)間內(nèi)頭端數(shù)量分布形態(tài)的情況下，就可以構(gòu)建如圖1所示的連續(xù)纖維集合體模型，并計(jì)算其統(tǒng)計(jì)特征。

1.2 模型的統(tǒng)計(jì)特征分析

根據(jù)前述假設(shè)和幾何模型，在紗條上任選一個(gè)截面的位置，如圖2所示的連續(xù)纖維集合體的纖維左頭端幾何統(tǒng)計(jì)模型中xN處，在給定區(qū)間寬度Δ的情況下，向右分割出若干個(gè)區(qū)間，直至處于xN截面內(nèi)的所有纖維的左頭端均處于最左區(qū)間分界點(diǎn)的右側(cè)，即處于截面xN內(nèi)的所有纖維中，其左頭端所在的最遠(yuǎn)位置在圖2所示的[x1,x2)區(qū)間內(nèi)。設(shè)ξ為xN處的纖維根數(shù)，則ξ的數(shù)量是由那些左頭端位于截面xN左側(cè)各區(qū)間內(nèi)并向右延伸至xN截面的纖維的數(shù)量所決定，各區(qū)間的分界點(diǎn)為xN,xN-1,…,x1，因而有：

ξ=η1+η2+…+ηi+…+ηN-1

(1)

(2)

式中：N為紗條上分割區(qū)間的分界點(diǎn)數(shù)，N-1為分割出的區(qū)間數(shù)；Δ為分割區(qū)間的寬度，mm；lmax為纖維長度取值的上限，即纖維集合體中最長纖維的長度，mm；ηi為左頭端在第i區(qū)間內(nèi)的纖維向右延伸到xN截面的纖維根數(shù)；i為區(qū)間的序數(shù)，i=1,2,…,N-1。

ηi=ζi1+ζi2+…+ζis

(3)

式中：s為第i區(qū)間內(nèi)的纖維左頭端個(gè)數(shù)，是n重Bernoulli模型的隨機(jī)變量，s的分布形態(tài)可有二項(xiàng)分布、泊松分布及固定值等。

假設(shè)服從s～b(n,p)的二項(xiàng)分布，n表示實(shí)驗(yàn)次數(shù)，p表示事件發(fā)生的概率，且與ζij獨(dú)立。顯然有：

(4)

式中：j為頭端個(gè)數(shù)，j=1,2，…，s。

那么纖維左頭端在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的纖維延伸進(jìn)入截面xN的概率為：

P{左頭端在[xi,xi+1)區(qū)間內(nèi)的纖維延伸到xN}=

P{L>((N-i-1)Δ+δ)}

(5)

式中：L為纖維長度，即服從密度函數(shù)f(x)的隨機(jī)變量，mm；δ為纖維左頭端在區(qū)間[xi,xi+1)內(nèi)的長度。

按前述定義δ為一個(gè)[0,Δ]區(qū)間上的均勻分布，其密度函數(shù)為：

(6)

由δ與L相互獨(dú)立，則其聯(lián)合密度函數(shù)為：

(7)

0

則有：

(8)

由此可得：

(9)

根據(jù)隨機(jī)多個(gè)隨機(jī)變量的期望的計(jì)算方法，對(duì)式(2)求數(shù)學(xué)期望，有：

E(ηi)=E(s)E(ζij)

(10)

所以，有：

(11)

根據(jù)前述假設(shè)，則有：

(12)

式(12)是通過截面xN的纖維的平均數(shù)，即隨機(jī)紗條截面的纖維平均根數(shù)。由其可知通過紗條截面xN的纖維平均根數(shù)的與n、p以及f(x)有關(guān)，其中n和p決定了其分布，當(dāng)纖維長度分布函數(shù)和紗條截面纖維根數(shù)的期望已知的條件下，即可得到np，由于p∈[0,1]，顯然，p可單獨(dú)成為描述隨機(jī)紗條中纖維排列的參數(shù)。

2 隨機(jī)紗條的模擬與分析

2.1 隨機(jī)紗條模擬的步驟

1)確定纖維長度分布的密度函數(shù)。目前棉纖維長度分布的密度函數(shù)估計(jì)是由林倩等[10]提出的非參數(shù)核估計(jì)方法和混合方法，本文采用非參數(shù)核估計(jì)的方法，其給定的正態(tài)核函數(shù)的棉纖維長度分布密度函數(shù)估計(jì)的表達(dá)式如下。

(13)

2)Nty為設(shè)計(jì)紗條的線密度，tex；Ntf為纖維的平均線密度，tex，顯然模擬紗條截面纖維根數(shù)的期望如式(14)所示。

(14)

3)確定區(qū)間寬度。根據(jù)前述假設(shè)當(dāng)區(qū)間寬度增大時(shí)，所分割區(qū)間數(shù)量減少，區(qū)間之間的隨機(jī)性下降，區(qū)間內(nèi)纖維左頭端數(shù)量增加，其分布將趨向均勻分布，反之將趨向泊松分布，因此區(qū)間寬度應(yīng)合理選擇，本文暫選區(qū)間寬度為1 mm。

4)確定lmax的值。lmax是纖維長度取值的上限，其目的是保證進(jìn)入xN截面的所有纖維的左頭端均在x1截面的右側(cè)，其取值大于或等于最長纖維長度，通常棉纖維最長不會(huì)超過45 mm，因此lmax的值可取45 mm，理論上也可以取更大的值，超出最長纖維后的積分將為零，實(shí)際并無意義；另一方面lmax的取值也要保證與區(qū)間寬度的比值為整數(shù)，即保證區(qū)間為等分區(qū)間。若區(qū)間寬度為1 mm，取lmax=45 mm，則N=46,區(qū)間數(shù)為45。

5)將式(1)、(2)、(3)、(4)所選參數(shù)代入式(12)，即可計(jì)算np值。

7)依據(jù)給定的纖維長度分布的密度函數(shù)式(13)，隨機(jī)生成n個(gè)隨機(jī)纖維的長度值，并分配給εi。然后對(duì)每個(gè)εi，隨機(jī)生成對(duì)應(yīng)數(shù)量的[0，1)區(qū)間的均勻分布隨機(jī)數(shù)，作為該區(qū)間內(nèi)這幾個(gè)纖維左頭端所在的位置，這樣就相當(dāng)于將纖維逐個(gè)區(qū)間，隨機(jī)排列起來構(gòu)成了一個(gè)連續(xù)纖維紗條。

8)對(duì)步驟7)生成的紗條進(jìn)行觀測，并統(tǒng)計(jì)x45截面上的纖維根數(shù)。

9)反復(fù)7)、8)，可得到x45截面纖維量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并可計(jì)算其統(tǒng)計(jì)特征。

10)在選擇不同p值的情況下，重復(fù)6)至9)，可得到不同p值下紗條截面纖維量的統(tǒng)計(jì)特征值，如CV值等。

2.2 模擬結(jié)果

1)模擬條件。從某紡織廠實(shí)際抽取2種不同配棉的熟條試樣，分別稱為“試樣1”和“試樣2”，在Premier大容量棉花檢測儀(印度Premier電子有限公司)上測試獲得纖維長度的根數(shù)分組數(shù)，其中試樣1的根數(shù)分布見圖3。將試樣1的數(shù)據(jù)代入式(8)可以得到試樣1的纖維長度分布密度函數(shù)。同時(shí)，實(shí)測該棉纖維熟條試樣中纖維的平均線密度為1.56 dtex，所紡出實(shí)際紗條的線密度為14.5 tex。由此可計(jì)算出紗條截面纖維根數(shù)的期望為93.4個(gè)，代入式(7)計(jì)算出區(qū)間內(nèi)纖維頭端數(shù)的期望為4.2個(gè)。

2)模擬結(jié)果分析。不同p值時(shí)的紗條截面根數(shù)CV值(s～b(n,p))(試樣1)見圖4。p值與CV值間基本呈負(fù)線性關(guān)系，隨著p值增加，根數(shù)CV值減??；對(duì)于二項(xiàng)分布，當(dāng)p趨向1時(shí)，其分布趨向每個(gè)區(qū)間內(nèi)具有相等左頭端數(shù)的因定值，而當(dāng)p趨向0時(shí)，則趨向于泊松分布。這個(gè)結(jié)果表明當(dāng)區(qū)間內(nèi)左頭端數(shù)為固定值時(shí)，紗條截面纖維根數(shù)不勻?yàn)樽钚?，此時(shí)紗條內(nèi)各根纖維的左頭端位置應(yīng)是均勻分布狀態(tài)；當(dāng)區(qū)間內(nèi)纖維左頭端分布為泊松分布時(shí)，不勻最大，此時(shí)紗條內(nèi)各根纖維的左頭端分布為完全隨機(jī)狀態(tài)。如果以固定值和泊松分布對(duì)上述相同的紗條截面根數(shù)CV值進(jìn)行模擬，固定值時(shí)的CV值為4.99%；泊松分布的CV值為10.38%。結(jié)果也表明在給定纖維長度分布的情況下，p值反應(yīng)紗條內(nèi)纖維排列的狀態(tài)，并直接影響到不勻的大小。

還有2個(gè)因素會(huì)影響到CV值的大小，一是纖維的長度分布形態(tài)，二是間距劃分的大小。試樣2的纖維長度根數(shù)分布見圖5，運(yùn)用前述方法計(jì)算不同p值時(shí)的紗條截面根數(shù)CV值(s～b(n,p))見圖6。其固定值時(shí)的CV值為3.74%，泊松分布的CV值為10.09%。從圖形和數(shù)據(jù)來看，長度分布的變化對(duì)CV值的影響并不大。

不同間距下截面纖維根數(shù)的CV值模擬結(jié)果(試樣1)見圖7。

圖7示出，除區(qū)間寬度為45 mm外，其他情況下的CV值變化曲線并無太大變化，由于在區(qū)間寬度為45 mm時(shí)，所劃分的間距數(shù)量只有1個(gè)，不存在間距之間纖維左頭端數(shù)量的差異變化，纖維在區(qū)間內(nèi)均勻排列，因此CV值相對(duì)較為穩(wěn)定，但數(shù)值較大，主要受每次擬合時(shí)的排列纖維總根數(shù)的變化影響。其余不同區(qū)間寬度取值下的CV值變化基本沒有差異。

3 結(jié) 論

本文提出了一種連續(xù)纖維紗條的排列方法，以左頭端的分布表征纖維在紗條中的排列，給出了紗條截面內(nèi)纖維根數(shù)與劃定區(qū)間內(nèi)的左頭端數(shù)期望間的數(shù)學(xué)模型。利用這個(gè)模型對(duì)已知纖維長度分布的棉纖維試樣所構(gòu)成紗條的截面纖維根數(shù)CV值進(jìn)行了模擬，經(jīng)對(duì)模擬結(jié)果分析，得出如下結(jié)論。

1)紗條截面纖維根數(shù)的期望與劃定區(qū)間內(nèi)纖維左頭端個(gè)數(shù)的期望成正比關(guān)系，其比例系數(shù)由間距劃分和纖維長度分布決定。

2)在假定區(qū)間內(nèi)纖維左頭端分布為二項(xiàng)分布的條件下，紗條截面纖維根數(shù)CV值的變化與二項(xiàng)分布的參數(shù)p呈負(fù)線性關(guān)系，隨著p值趨向于1，CV值顯著減小。

3)通過改變區(qū)間寬度和纖維長度分布形態(tài)，對(duì)截面纖維根數(shù)CV值進(jìn)行模擬，結(jié)果表示區(qū)間寬度和纖維長度分布變化，對(duì)該CV值影響較小，可見在這種排列方法下，CV值的變化僅與p值大小有關(guān)，因此p值可做為表示紗條內(nèi)纖維排列狀態(tài)的表征參數(shù)。

4)纖維長度分布與紗條截面纖維數(shù)的不勻無關(guān)。

5)本文所提出的連續(xù)紗條的排列方法，可用于紗條極限最低不勻的預(yù)測、纖維集合體性能研究以及纖維集合體加工過程的理論分析。

6)本文所模擬的紗條截面纖維根數(shù)不勻與實(shí)際紗條的不勻存在較大差異。因?yàn)閷?shí)際紗條的不勻測試是紗條上一定長度(細(xì)紗為8 mm)片斷間的CV值，因此二者之間的關(guān)聯(lián)性還需進(jìn)一步研究。