“由形識(shí)數(shù)”：你會(huì)畫(huà)長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段嗎

楊曉彬

我們都知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，借助數(shù)軸，我們可以很輕易地畫(huà)出長(zhǎng)度為有理數(shù)的線段。那么，你會(huì)畫(huà)長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段嗎？

例1 如圖1，在6x6的正方形網(wǎng)格中，請(qǐng)你畫(huà)出格點(diǎn)四邊形ABCD，使AB=√17，BC=CD=√13，DA=√5。

【解析】我們一般會(huì)借助勾股定理來(lái)構(gòu)造長(zhǎng)為√a的線段。

比如√17=√1²+4²，我們只要找到一個(gè)直角三角形，讓它的直角邊長(zhǎng)分別為1和4，那么它的斜邊長(zhǎng)就是√17（如圖2）。

同理，長(zhǎng)為√13、√5的線段可以通過(guò)圖3、圖4中的直角三角形構(gòu)造出來(lái)。

我們?cè)诰W(wǎng)格中選擇適當(dāng)?shù)臄[放位置，將圖2、3、4中的直角三角形組成一個(gè)四邊形ABCD即可（如圖5）。

例2如圖6，長(zhǎng)方形OABC的邊OA的長(zhǎng)為2，邊AB的長(zhǎng)為1，OA在數(shù)軸上。以原點(diǎn)O為圓心，以對(duì)角線OB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸的正半軸于一點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是（ ）。

A.2.5 B.2√2 C.√3 D.√5

【解析】要確定數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)，只要知道這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是多少，再根據(jù)這個(gè)點(diǎn)位于正半軸還是負(fù)半軸，確定實(shí)數(shù)的符號(hào)即可。

因?yàn)樵陂L(zhǎng)方形OABC中，∠BA0=90°，所以我們連接OB，在直角三角形OAB中，由勾股定理，可得對(duì)角線OB=√5，即要求的實(shí)數(shù)到原點(diǎn)的距離是√5。又因?yàn)檫@個(gè)數(shù)在正半軸，所以選D。

例3如圖7，數(shù)軸上表示1、√3的點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B'，則點(diǎn)B表示的實(shí)數(shù)為_(kāi)___。

【解析】要確定點(diǎn)B'表示的數(shù)，首先要確定線段OB的長(zhǎng)。

因?yàn)橐阎獥l件告訴我們，點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是1、√3，所以O(shè)A=1，OB=√3，所以AB=OB-OA=√3-1。因?yàn)辄c(diǎn)B、B'關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，所以AB'=AB=√3-1。又因?yàn)镺B'=OA-AB'，所以O(shè)B'=1-（√3-1）=2一√3。有的同學(xué)做到這里就結(jié)束了，其實(shí)不然，我們還要判斷該實(shí)數(shù)的符號(hào)。因?yàn)辄c(diǎn)B在正半軸，所以它表示的實(shí)數(shù)為2一√3。

小試牛刀

1.請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上找到一√8對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。

2.已知⊙A的半徑為1，將其按如圖9所示方式置于數(shù)軸上，使圓周上點(diǎn)P與數(shù)軸原點(diǎn)重合。若將⊙A沿?cái)?shù)軸正方向滾動(dòng)一周，點(diǎn)P落在數(shù)軸上的點(diǎn)P'處.則點(diǎn)P'對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是____。

3.已知點(diǎn)O為數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上，若AO=3，AB=√17，且點(diǎn)A表示的數(shù)比點(diǎn)B表示的數(shù)小，則點(diǎn)B表示的數(shù)是____。

參考答案：1.如圖10所示。

第2、3題的答案請(qǐng)掃描下方二維碼查看。

（作者單位：江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué)）