劉晏銘 武 迪

(清華大學航天航空學院，北京100084)

角速度測量問題在航天航空、自動駕駛、手機軟件等領域有著廣泛的應用[1]。現(xiàn)今主流的測量角速度的方法是利用陀螺儀來完成。使用陀螺儀來測量角速度的優(yōu)點在于測得的值較為準確，且誤差較小。但是陀螺儀造價昂貴，工藝復雜，在長期使用之后，其性能和可靠性也會在一定程度上有所降低[2]。鑒于此，人們正在積極發(fā)展代替陀螺儀的測量方法。大量文獻顯示，此前人們將主要研究重心放在了磁流式角速度測量儀[3-4]、光電效應式角速度測量儀上面，并通過濾波方法提高測量精度[5-8]。隨著科技的進步，近年來，加速度計的制造相較于陀螺儀而言是非常廉價的，這使得通過三軸加速度計來進行姿態(tài)調(diào)控成為可能[9]。本文通過理論推導與計算研究，建立了一種通過三個非共線點的加速度測量、計算剛體加速度的算法。這種方法可以極大地降低角速度測量儀的價格。我們利用定軸轉動圓柱體上三個非共線點的加速度驗證了計算結果的正確性?？紤]到飛行器在運行過程中，加速度計測量會有誤差，我們對計算結果進行了誤差分析和數(shù)值模擬，評估了方法的使用范圍。結果表明，這種方法在高速穩(wěn)態(tài)飛行器上擁有很好的表現(xiàn)。

1 角速度測量算法

考慮如圖1 所示的三個非共線點之間的位置關系。記A1到A3的位矢為r13，A2到A3的位矢為r23。記A1的加速度為a1，A2的加速度為a2，A3的加速度為a3。

根據(jù)剛體力學中的計算加速度的基點法可列出

其中ω 為剛體的角速度，ε為剛體角加速度。

圖1 非共線三點位置關系

如果巧妙地選擇坐標系，可以使得xy平面與三點所組成的平面共面，故而令x軸為r13所在方向。如圖1 所示。在此坐標系下，r13和r23的分量得到極大簡化，r13y，r13z和r23z皆為零。方程可化簡為

因為所要求的為ωx，ωy，ωz，故而從上面挑選相應的四個方程進行計算，可以解出

式(3)前兩式相減可得

令將式(4)～式(5)化為二次函數(shù)的形式，解得

2 角速度誤差分析

本文假設每一個方向測量的角速度都滿足相互獨立的正態(tài)分布，且不考慮距離的變化。即aij～N(μij,σij)。N(μij,σij)代表正態(tài)分布，μij為正態(tài)分布的期望，σij為正態(tài)分布的方差。

根據(jù)概率論的知識可知，正態(tài)分布具有再生性。正態(tài)分布的和差也是正態(tài)分布，即為

式中，E(aij-akm)代表兩個量差的期望，Var(aij-akm)代表兩個量差的方差。

再考慮正態(tài)分布乘常數(shù)，假設X～N(μ,σ)，令Y=aX，a為一常數(shù)。則根據(jù)f(y)= dF

d

(yy)，

利用微積分知識可以算得

綜上可得正態(tài)分布乘積的概率分布，依舊是正態(tài)分布

再根據(jù)概率論的知識，若X1,X2,···,Xn獨立，則f1(X1),f2(X2),···,fn(Xn)獨立。從而計算得到q和p的分布

式中μq為q的期望，σq為q的方差。

式中μp為p的期望，σp為p的方差。

3 仿真驗證與分析

經(jīng)過上面的計算可知，測量誤差會在一定情況下被放大。下面分情況討論該方法測量角速度的可行性。

3.1 模型計算正確性檢驗

本文利用已知角速度、角加速度的剛體，計算其上非共線三點的加速度，代入方程(6)，再次計算角速度，驗證方程(6)的正確性。

假設有一繞z軸以角速度ω，角加速度β旋轉的半徑為R的剛體圓柱，如圖2所示，在某一時刻，我們計算其上三個特殊點的加速度，再利用方程(6)計算角速度，與原始角速度對比。在xyz系下，A1,A2,A3的坐標，和加速度分別為

圖2 定軸旋轉圓柱體上不共線三點示意圖

x′y′z′系是以A1為坐標原點，方向為x軸正方向，并以A1A2A3所在平面為x′y′平面建立空間直角坐標系。矢量在兩個坐標系之間的變換關系為

在此取法下γ=α= 45°，從而得到矢量坐標變換關系

在新坐標系x′y′z′下加速度為

矢量r13,r23在坐標系x′y′z′下可寫為

將方程(17)～(18)帶入方程(6)，得到

經(jīng)過坐標逆變換，在原坐標系xyz中得到ω =(0,0,ω)，與我們的模型設定一致，從而證明了我們的計算是正確的。

3.2 高角速度飛行器上的仿真分析

本文參考了文獻中的數(shù)據(jù)，對有較高角速度的飛行器進行模擬仿真。模擬采用的精確數(shù)據(jù)如下

為了模擬的簡潔性，本文不考慮固定的加速度計之間的距離的變化， 即rij為定值， 這里取[r13x,r23x,r23y] = [0.5,0,0.5]m。經(jīng)過參考加速度計生產(chǎn)商給出的加速度計參數(shù)，本文假定，加速度計有一正態(tài)分布方差和隨機誤差。正態(tài)分布的σ= 0.049，由此得到三軸仿真加速度計算結果如圖3 所示，另外由表1 給出的統(tǒng)計結果可以看出，測量均值與真值接近，且樣本標準差較小。

圖3 高角速度飛行器x, y, z 方向角速度模擬圖

表1 模擬結果

由此可見如果飛行器角速度穩(wěn)定，可多次測量取平均值，則使用此種方法可以得到較好的結果。然而如果飛行器的角速度變化很頻繁，無法多次測量，那么平均值就沒有意義了，模擬的極值更有參考價值，模擬結果如表2所示。

表2 高角速度飛行器多組模擬極值的差

它們極值的相對偏差都在5%以上，故而作為瞬時角速度測量，則此方法不太精確。

按次組數(shù)據(jù)代入上面的方差分析， 可知：σq≈8σ,σp≈4σ，由此也可看出，這種測量角速度的方法會使方差變大。

3.3 穩(wěn)態(tài)衛(wèi)星上的仿真分析

穩(wěn)態(tài)衛(wèi)星的角速度很低，約為0.01°/s，對此模型進行模擬，會得到與之前完全不一樣的結果。

假設角速度為表3 所列數(shù)值，由此計算得a1x-a3x= 4 × 10-10m/s2，可見兩個加速度的差在10-10量級，現(xiàn)有加速度計難以完成如此精度的測量。

下面假設存在如此精度的加速度計，依舊進行模擬，模擬結果如圖4所示。

表3 低角速度衛(wèi)星角速度

圖4 小角速度衛(wèi)星x, y, z 角速度分量多組模擬

由圖可以看出ωx,ωy皆可求解得到，不過其起伏巨大而且其平均值遠遠偏離理論值。而ωz的模擬值更是很多都是虛數(shù)，只能認為其角速度為零，由此得出的結果也不盡人意。故而，此方法不適用于低角速度的衛(wèi)星。

4 結論

本文提出一種新穎的測量剛體角速度的方法。利用基點法，通過測量剛體上三個不共線的點的加速度計算出剛體角速度。通過理論分析和數(shù)值模擬，本文研究了這種方法的適用范圍。得到的結果顯示，這種方法在高角速度穩(wěn)態(tài)剛體的角速度測量中可以得到較高的精度(0.05%)。對于其他情形，由于加速度計的測量精度、飛行器本身的振動和計算的截斷誤差等影響，導致該方法誤差較大無法得到精確的瞬時角速度。但是該方法的優(yōu)點在于，簡單廉價。由于本方法并不能準確測量所有情況下的角速度，所以較為適用于飛行器備份測量系統(tǒng)。