李民政， 王 浩

(1.桂林電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息安全學(xué)院，廣西 桂林 541004; 2.上海電機(jī)學(xué)院 電子信息學(xué)院，上海 201306)

混合波束賦形結(jié)合模擬波束賦形和基帶數(shù)字波束賦形，能夠減少完全數(shù)字波束賦形所需的射頻鏈數(shù)量[1]，并盡可能地接近完全數(shù)字波束賦形的頻譜效率性能。因此，混合波束賦形在毫米波大規(guī)模多輸入多輸出通信系統(tǒng)中引起了廣泛關(guān)注[2]。文獻(xiàn)[3]考慮了具有正交頻分復(fù)用的寬帶系統(tǒng)下的混合波束賦形設(shè)計(jì)，將頻率選擇性信道的模擬波束賦形設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)換為平坦衰落信道的模擬波束賦形設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[4]采用基于坐標(biāo)下降的交替最小化算法獲得混合的數(shù)字和模擬波束賦形，并證明在低分辨率移相器下能獲得最優(yōu)的性能。在多用戶信道模型下，文獻(xiàn)[5]采用一種分層碼本訓(xùn)練方法來設(shè)計(jì)混合波束賦形，然而碼本的大小總是隨著天線的數(shù)量線性地甚至指數(shù)地增加，造成模擬波束的搜索是復(fù)雜的。文獻(xiàn)[6]提出了一種新的迭代算法，在干擾信道中用干擾對齊方案來最大化頻譜效率，但迭代收斂速度慢。文獻(xiàn)[7]研究了基于最小均方誤差標(biāo)準(zhǔn)下多用戶毫米波通信系統(tǒng)的混合模擬和數(shù)字波束賦形設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[8]利用懲罰雙重分解方法解決毫米波多用戶MIMO系統(tǒng)的非凸混合波束賦形問題，同時(shí)可以保證PDD方法的收斂性。文獻(xiàn)[9]考慮最優(yōu)的用戶組合和功率分配，將求解混合波束賦形的非凸約束問題轉(zhuǎn)換為凸半正定問題。上述研究關(guān)注的重點(diǎn)是毫米波通信下的混合波束賦形設(shè)計(jì)時(shí)的最大化系統(tǒng)頻譜效率，而很少關(guān)注混合波束賦形設(shè)計(jì)時(shí)如何降低算法的計(jì)算復(fù)雜度。

在毫米波Massive MIMO下行通信系統(tǒng)中，先改進(jìn)一種基于Neumann級數(shù)近似求逆的塊對角波束賦形算法獲得完全數(shù)字波束賦形，然后在設(shè)計(jì)混合波束賦形時(shí)，使用交替最小化算法作為確定混合數(shù)字波束和模擬波束賦形的主要設(shè)計(jì)原則，在模擬波束賦形設(shè)計(jì)上提出一種改進(jìn)的梯度投影算法，能夠解決計(jì)算復(fù)雜度高的問題，且保證和速率受損較少。

1 系統(tǒng)模型

圖1 毫米波MIMO系統(tǒng)框圖

假定毫米波信道為幾何信道模型[1]，其中第k個(gè)用戶的下行鏈路信道為

(1)

at(θk,l)=

(2)

ar(φk,l)=

(3)

第k個(gè)用戶接收的信號為

(4)

(5)

其中，

2 混合波束賦形算法

2.1 完全數(shù)字波束賦型

多用戶下的信道矩陣表示為

(6)

對應(yīng)于第k個(gè)用戶的干擾矩陣為

(7)

B=[B1,B2,…,BK]。

(8)

基于SVD的塊對角完全數(shù)字波束賦形算法需要奇異值分解，具有高計(jì)算復(fù)雜度。為了降低計(jì)算復(fù)雜度，采用Neumann級數(shù)近似求逆的方法來代替奇異值分解。由文獻(xiàn)[10]可知，完全數(shù)字波束賦形矩陣可表示為

B=HH(HHH)-1M。

(9)

假定P=HHH，T=IM-βP，β為滿足引理的參數(shù)，則有

(10)

其中：L為矩陣多項(xiàng)式的階數(shù)；αn為多項(xiàng)式系數(shù)，可表示為α=[α1,α2,…,αL]T。

求解最優(yōu)的β和α可表述為式(11)的優(yōu)化問題[12]，求解β和α即可求解P-1。

(11)

其中ρr(·)為矩陣譜半徑。

以上過程的具體步驟如下：

1)輸入矩陣H，根據(jù)式(10)、(11)計(jì)算(HHH)-1；

2)對于每個(gè)用戶，

Mk=Uk(:,1:sr)Σk(1:sr,1:sr)-1/2；

3)輸出完全數(shù)字波束賦形矩陣，

B=HH(HHH)-1M。

在求解(HHH)-1時(shí)，β和α是預(yù)先求出，所以計(jì)算復(fù)雜度僅在多項(xiàng)式矩陣相乘。一般用Neumann series級數(shù)的前3項(xiàng)即可近似表示逆矩陣，復(fù)雜度為(KNr)3+Nt(KNr)2+KNtNr。與基于SVD和直接矩陣求逆的方法相比，采用多項(xiàng)式矩陣相乘代替，避免了矩陣SVD和求逆，可以有效減少計(jì)算復(fù)雜度。

2.2 混合波束賦形

由文獻(xiàn)[13]可知，求得完全數(shù)字波束賦形矩陣后，基站最優(yōu)模擬波束賦形矩陣A和數(shù)字波束賦形矩陣D求解可以表述為

(12)

其中D=[D1,D2,…,DK]。

采用交替最小算法分別求解最優(yōu)模擬波束賦形矩陣A和數(shù)字波束賦形矩陣D，即對于任意初始化矩陣A(p)，從p=0開始，并對每個(gè)迭代p執(zhí)行：

(13)

(14)

2.3 模擬波束賦形

假設(shè)移相器是連續(xù)的，應(yīng)用Frobenius范數(shù)表示目標(biāo)函數(shù)[14]

f(x)?‖u-Gx‖2，

向量u?vec(B)∈CV×1，向量x?vec(A)∈CU×1和矩陣

G?(D(p+1))T?INt∈CV×U，

(15)

文獻(xiàn)[14]采用流形優(yōu)化(manifold optimization，簡稱MO)共軛梯度算法求解式(15)的優(yōu)化解，其求解過程中需要計(jì)算歐幾里德共軛梯度、投影梯度到切線空間、搜索切線空間中的點(diǎn)等運(yùn)算步驟，涉及大量矩陣乘法運(yùn)算，算法復(fù)雜度較高。

通常在梯度投影算法中求解搜索步長μ涉及矩陣奇異值分解，為了避免奇異值分解計(jì)算，設(shè)置μ=ωτ,ω∈(0,1)，文獻(xiàn)[15]已證明只要保證μ小于或等于Lipschitz常數(shù)ζ，投影梯度算法將會收斂到Karush-Kuhn-Tucker點(diǎn)，τ為由文獻(xiàn)[16]推導(dǎo)出的邊界，

(16)

其中，r1,r2,…,rU為G的行和。

以上過程的具體步驟如下：

1)輸入B,D(p+1)，將矩陣B向量化，即u=vec(B)；

3)計(jì)算投影矩陣G=(D(p+1))T?INt；

2.4 復(fù)雜度比較

3 仿真結(jié)果與分析

仿真環(huán)境中相應(yīng)闡述設(shè)置如下：基站發(fā)射天線數(shù)Nt=128，每個(gè)用戶的接收天線數(shù)Nr=32，用戶數(shù)K=4，發(fā)射角與到達(dá)角均勻分布在[0,2π]內(nèi)，基站天線間隔d=λ/2，每個(gè)用戶的數(shù)據(jù)流sr=4，基站的數(shù)據(jù)流st=Ksr，總發(fā)射功率P=Ksr，基站與每個(gè)用戶間的散射路徑Lk=8。

圖2為基于奇異值分解的塊對角波束賦形算法和提出的基于Neumann級數(shù)近似求逆的算法求解完全數(shù)字波束賦形的和速率性能對比。從圖2可看出，本算法的和速率接近基于奇異值分解的算法。由于采用基于Neumann級數(shù)近似求逆代替奇異值分解，與基于奇異值分解的算法相比，具有較低的計(jì)算復(fù)雜度。

圖2 2種完全數(shù)字波束賦形算法的和速率對比

圖3為在混合波束賦形設(shè)計(jì)中提出的梯度投影算法在不同迭代次數(shù)下和速率變換曲線。從圖3可看出，本算法能快速收斂，僅在T=2時(shí)，便很接近最優(yōu)全數(shù)字波束賦形的性能。之后隨著迭代次數(shù)增加，性能有所提升，但也提升不大。為了便于與流形優(yōu)化算法比較及體現(xiàn)性能優(yōu)勢，在仿真中本算法設(shè)置T=10。

圖4 不同算法下和速率對比

圖5為在信噪比RSN=0和RSN=10 dB下，射頻鏈數(shù)為3～8時(shí)的用戶和速率變換曲線。從圖5可看出，隨著射頻鏈數(shù)增加，本算法的用戶和速率不斷接近完全數(shù)字波束賦形,且與MO算法的性能基本保持相同。

圖5 不同射頻鏈下和速率變換曲線

4 結(jié)束語

在多用戶毫米波MIMO下行無線通信系統(tǒng)中，針對完全數(shù)字波束賦形和混合波束賦形設(shè)計(jì)的高計(jì)算復(fù)雜度，先改進(jìn)一種低復(fù)雜度的完全數(shù)字波束賦形算法，然后基于交替最小化算法設(shè)計(jì)混合波束賦形矩陣，提出一種基于梯度投影的算法來確定模擬波束賦形，在保證和速率性能損失較少的情況下，降低了計(jì)算復(fù)雜度。