鄭威，陳懷海

南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016

多輸入多輸出(Multi-Input-Multi-Output, MIMO)隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)，因其可以更好地模擬試驗(yàn)對(duì)象的真實(shí)工作狀態(tài)，是一種重要的振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)手段,廣泛運(yùn)用于航空航天領(lǐng)域[1-7]。MIMO隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)，要求控制點(diǎn)的響應(yīng)譜與參考譜間誤差滿足容差要求，該控制目標(biāo)一般都是通過頻域方法實(shí)現(xiàn)的，采用時(shí)域化方法的很少。Cui等[6]提出使用一種基于Markov參數(shù)的時(shí)域方法，用于改善多輸入多輸出隨機(jī)振動(dòng)控制過程中出現(xiàn)的病態(tài)問題。此外，時(shí)域控制方法更適用于控制非高斯信號(hào)[8]的情況。

逆系統(tǒng)方法是一類將系統(tǒng)響應(yīng)作為輸入得到驅(qū)動(dòng)信號(hào)的時(shí)域方法，它起源于載荷識(shí)別領(lǐng)域。Kammer和Steltzner在一系列文章[9-10]中提出并發(fā)展的逆結(jié)構(gòu)濾波器(Inverse Structural Filter, ISF)是逆系統(tǒng)方法的一種典型代表。Allen和Carne[11-12]針對(duì)ISF在小阻尼結(jié)構(gòu)中經(jīng)常出現(xiàn)的不穩(wěn)定現(xiàn)象，根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)提出了延遲多步ISF方法，但并未給出理論解釋。逆系統(tǒng)方法也可以用于振動(dòng)試驗(yàn)中驅(qū)動(dòng)信號(hào)的生成。陳懷海等[8]基于ISF方法嘗試使用逆系統(tǒng)方法進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)的信號(hào)生成，并進(jìn)行了懸臂梁仿真。Zheng等[13-14]對(duì)系統(tǒng)的時(shí)域轉(zhuǎn)移矩陣求逆構(gòu)造逆系統(tǒng)，但忽略了由奇異值截?cái)鄬?duì)驅(qū)動(dòng)信號(hào)質(zhì)量的影響。

本文從時(shí)域有限差分模型入手，推導(dǎo)系統(tǒng)的逆多步預(yù)測系統(tǒng)，并利用該逆系統(tǒng)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)信號(hào)生成；最后經(jīng)仿真算例與振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性。

1 逆多步預(yù)測系統(tǒng)

傳統(tǒng)逆系統(tǒng)方法直接對(duì)原系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型求逆[9,10,15]，但得到的逆模型往往是不穩(wěn)定的[12]；此外，實(shí)際試驗(yàn)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型難以直接由理論推導(dǎo)得到，需通過ERA (Eigensystem Realization Algorithm)等手段識(shí)別[16-17]，這增加了驅(qū)動(dòng)生成過程的復(fù)雜度，因而限制了這些時(shí)域化方法在MIMO隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)中的應(yīng)用。本文從系統(tǒng)的多步預(yù)測模型出發(fā)，得到更為穩(wěn)定的逆多步預(yù)測模型，用于MIMO隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)驅(qū)動(dòng)信號(hào)的生成。

多步預(yù)測模型由系統(tǒng)的有限差分模型推導(dǎo)得到。有限差分模型將振動(dòng)系統(tǒng)描述為當(dāng)前時(shí)刻的輸出與有限個(gè)過去時(shí)刻的輸入與輸出的線性組合關(guān)系。對(duì)于一個(gè)ni輸入no輸出的振動(dòng)系統(tǒng)，其在k時(shí)刻的驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)關(guān)系依有限差分模型可寫為

(1)

(2)

(3)

取j=1,2,…,q-1(q為多步預(yù)測模型預(yù)測響應(yīng)步數(shù))，即預(yù)測系統(tǒng)從k到k+q-1時(shí)刻的響應(yīng)，由式(1)～式(3)可以得到系統(tǒng)的多步預(yù)測模型為

yq(k)=Tuq(k)+Bup(k-p)-Ayp(k-p)

(4)

式中：

(5)

將式(5)中q與p、k與k-p進(jìn)行替換即可類似地寫出up(k-p)和yp(k-p)的表達(dá)式，式(4)中的系數(shù)矩陣為

(6)

(7)

(8)

如果T矩陣可逆，可以得到多步預(yù)測模型的逆為

uq(k)=T-1Tuq(k)=

T-1yq(k)+T-1Ayp(k-p)-T-1Bup(k-p)

(9)

然而實(shí)際系統(tǒng)的T矩陣往往接近奇異，這時(shí)可以利用截?cái)嗥娈愔?Truncated Singular Value Decomposition, TSVD)法求逆，以獲得穩(wěn)定的結(jié)果[19-20]。由于截?cái)嗥娈愔捣ㄖ贿x擇前r階奇異值，得到的偽逆矩陣T+滿足：

(10)

式中：Ir為r×r維單位矩陣。

(11)

式中:

(12)

(13)

在試驗(yàn)中，獲得逆多步預(yù)測模型具體的步驟包括：① 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行白噪聲激勵(lì)，估計(jì)系統(tǒng)差分模型參數(shù)；② 通過式(3)和式(6)～式(8)的計(jì)算，得到系統(tǒng)的多步預(yù)測模型；③ 對(duì)T矩陣依截?cái)嗥娈愔捣ㄇ竽?，并根?jù)式(11)～式(13)計(jì)算得到逆多步預(yù)測模型。

2 隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)算法

將第1節(jié)推導(dǎo)得到的逆多步預(yù)測模型與矩陣冪次算法[2]結(jié)合，構(gòu)成一種MIMO隨機(jī)振動(dòng)控制試驗(yàn)算法。

逆多步預(yù)測模型將目標(biāo)響應(yīng)作為輸入，計(jì)算得到隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)的驅(qū)動(dòng)信號(hào)。這里的目標(biāo)響應(yīng)即參考信號(hào)，是根據(jù)用戶設(shè)置的參考譜生成的時(shí)域信號(hào)。MIMO隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)中，一般給出參考譜的功率譜密度，乘以頻率分辨率即轉(zhuǎn)換為參考功率譜R。

生成參考信號(hào)的過程包含偽隨機(jī)信號(hào)生成與時(shí)域隨機(jī)化2部分。在生成偽隨機(jī)信號(hào)前，先應(yīng)得到其頻譜

Y(f)=L(f)P(f)

(14)

(15)

對(duì)偽隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行時(shí)域隨機(jī)化[2]，即可得到任意幀長度的真隨機(jī)信號(hào)。使用該真隨機(jī)信號(hào)作為參考信號(hào)，由逆多步預(yù)測模型生成驅(qū)動(dòng)信號(hào)。

從式(11)可以看出，逆多步預(yù)測模型中輸入的參考信號(hào)的長度大于輸出的驅(qū)動(dòng)信號(hào)的長度。因此，在生成驅(qū)動(dòng)信號(hào)的過程中，參考信號(hào)是重疊使用的，如圖1所示,圖中，l為逆多步預(yù)測模型生成激勵(lì)步數(shù)。

圖1 逆多步預(yù)測模型驅(qū)動(dòng)信號(hào)生成過程

之后，通過矩陣冪次算法對(duì)參考信號(hào)進(jìn)行調(diào)整，再將修正后的參考信號(hào)代入逆多步預(yù)測模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)驅(qū)動(dòng)信號(hào)的更新。矩陣冪次算法可以有效的防止Smallwood差分算法[21]可能導(dǎo)致的發(fā)散問題，提高了算法的穩(wěn)定性。傳統(tǒng)的矩陣冪次算法直接對(duì)驅(qū)動(dòng)信號(hào)進(jìn)行更新[2]，而本文中它被用于對(duì)參考信號(hào)的調(diào)整。

矩陣冪次算法以矩陣乘法形式對(duì)式(14)中的下三角矩陣L進(jìn)行迭代更新，第n+1次迭代表示如下：

Ln+1=ΔεLnn=0,1,2,…

(16)

式中：ε∈(0,1)為壓縮因子，防止控制結(jié)果的不穩(wěn)定。誤差矩陣Δ的計(jì)算公式為

(17)

式中:L0為由參考譜Cholesky分解得到的下三角陣;Ly則由響應(yīng)譜分解得到。本文提出的完整的控制流程如圖2所示。

圖2 基于逆多步預(yù)測模型的矩陣冪次控制

3 仿真算例

本文以懸臂梁作為仿真對(duì)象，進(jìn)行雙輸入雙輸出隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制試驗(yàn)。懸臂梁的幾何參數(shù)與材料屬性見表1，激勵(lì)與響應(yīng)點(diǎn)的配置如圖3所示。

參考航空航天振動(dòng)試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)要求，隨機(jī)振動(dòng)控制試驗(yàn)的頻率范圍取20～2 000 Hz，參考譜中自譜密度各段的幅值與斜率如圖4所示，Oct表示倍頻程，響應(yīng)點(diǎn)間相關(guān)系數(shù)取0.6，相位差取30°。

表1 懸臂梁參數(shù)

圖3 兩輸入兩輸出振動(dòng)試驗(yàn)懸臂梁

圖4 參考譜的自功率譜密度

使用白噪聲對(duì)試驗(yàn)件進(jìn)行激勵(lì)，得到系統(tǒng)的逆多步預(yù)測模型。之后，進(jìn)行控制試驗(yàn)?zāi)M，使用初始生成的驅(qū)動(dòng)信號(hào)進(jìn)行激勵(lì)，所得響應(yīng)自譜結(jié)果如圖5所示，響應(yīng)點(diǎn)間的相關(guān)系數(shù)與相位角分別如圖6(a)與圖6(b)所示。從圖中可以看出，對(duì)于該仿真系統(tǒng)，逆多步預(yù)測模型能夠很容易的生成滿足控制要求的驅(qū)動(dòng)信號(hào)。

圖5 響應(yīng)點(diǎn)1與響應(yīng)點(diǎn)2的自譜

圖6 響應(yīng)點(diǎn)間相關(guān)系數(shù)和相位差

4 試 驗(yàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證該MIMO振動(dòng)控制試驗(yàn)方法，在三軸振動(dòng)臺(tái)上進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)系統(tǒng)的構(gòu)成如圖7所示?？紤]到工程中部件級(jí)試驗(yàn)時(shí)多對(duì)振動(dòng)臺(tái)面的加速度進(jìn)行控制，所安裝的試件對(duì)這種控制過程的影響可忽略，因此本試驗(yàn)僅對(duì)振動(dòng)臺(tái)面的加速度進(jìn)行控制。

圖7 MIMO隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)的構(gòu)成

試驗(yàn)頻率范圍為20～2 000 Hz，自譜密度如圖8所示，各軸向間相關(guān)系數(shù)均取0.6，X-Y、Y-Z軸向間相位差取30°，X-Z軸向間取60°。

首先采用白噪聲激勵(lì)，依第1節(jié)中所述步驟，估計(jì)得到系統(tǒng)的逆多步預(yù)測模型參數(shù)，并據(jù)此生成初始驅(qū)動(dòng)信號(hào)。在實(shí)物試驗(yàn)中，如果逆多步預(yù)測模型生成異常驅(qū)動(dòng)信號(hào)，可能會(huì)對(duì)試驗(yàn)系統(tǒng)產(chǎn)生損害。因此，可預(yù)生成一段較長的驅(qū)動(dòng)信號(hào)，在該信號(hào)無幅值超標(biāo)等情況時(shí)，才可以進(jìn)行試驗(yàn)。

圖8 三軸振動(dòng)試驗(yàn)參考譜的自功率譜密度

控制前的自譜、相關(guān)系數(shù)與相位差分別如圖9、圖10和圖11所示。從控制前的響應(yīng)結(jié)果中可以看出，由于噪聲等干擾因素影響，初次生成的驅(qū)動(dòng)信號(hào)一般無法滿足試驗(yàn)要求。經(jīng)過控制算法的三次迭代修正后，如圖12所示，振動(dòng)臺(tái)3個(gè)軸向的自譜密度均已滿足±3 dB的容差要求，同時(shí)各軸向間的相關(guān)系數(shù)(見圖13)與相位差(見圖14)也取得了理想的控制效果。

圖9 控制前的自譜

圖10 控制前的相關(guān)系數(shù)

圖11 控制前的相位差

圖12 三次迭代后的自譜

圖13 三次迭代后的相關(guān)系數(shù)

圖14 三次迭代后的相位差

圖15中比較了本文提出的逆多步預(yù)測模型法與傳統(tǒng)的矩陣冪次方法，自譜的總體均方根值誤差隨迭代過程的變化。在同樣的試驗(yàn)條件下，逆多步預(yù)測模型法同樣取得了良好的迭代效率，并繼承了矩陣冪次方法不會(huì)產(chǎn)生負(fù)值問題的優(yōu)點(diǎn)。但由于逆多步預(yù)測模型法，直接在時(shí)域由參考信號(hào)生成驅(qū)動(dòng)信號(hào)，采用的參考信號(hào)可以更靈活。

圖15 迭代過程

5 結(jié) 論

本文給出一種了MIMO逆多步預(yù)測模型，利用該逆模型進(jìn)行驅(qū)動(dòng)信號(hào)生成，并結(jié)合矩陣冪次算法，構(gòu)成了一種MIMO隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制方法。

仿真算例的結(jié)果表明，由逆多步預(yù)測模型生成的驅(qū)動(dòng)信號(hào)可以一次使響應(yīng)滿足試驗(yàn)要求；但在振動(dòng)臺(tái)的實(shí)際試驗(yàn)中，由于噪聲等干擾因素影響，初次生成的驅(qū)動(dòng)信號(hào)不能立即滿足試驗(yàn)要求，但通過控制算法調(diào)整，可將響應(yīng)控制在容差范圍內(nèi)。仿真算例與振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)驗(yàn)證了本文方法的有效性和可行性。