李 德 奎

(甘肅中醫(yī)藥大學(xué) 理科教學(xué)部, 甘肅 定西 743000)

Pecora等[1]通過研究混沌運(yùn)動實(shí)現(xiàn)了混沌同步, 混沌同步的實(shí)現(xiàn)為混沌在保密通信、 生態(tài)系統(tǒng)、 非線性系統(tǒng)性能最優(yōu)化、 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、 模式識別和系統(tǒng)辨識等領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)[2]. 目前, 關(guān)于混沌同步方式的研究已有很多成果, 如完全同步[3-4]、 反同步[5]、 廣義同步[6]、 投影同步[7]、 函數(shù)投影同步[8]及修正函數(shù)投影同步[9]等. 修正函數(shù)投影同步是指驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的不同狀態(tài)變量之間以不同的比例函數(shù)實(shí)現(xiàn)同步, 即同步誤差定義為ei=yi-αi(t)xi(αi(t)是不全相同的函數(shù)). 易見完全同步、 反同步、 廣義同步、 投影同步及函數(shù)投影同步均為修正函數(shù)投影同步的特殊情形.

近年來, 混沌系統(tǒng)的動力學(xué)分析及其電路仿真已引起人們廣泛關(guān)注, 如文獻(xiàn)[10-11]研究了混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔行為分析, 并對混沌吸引子進(jìn)行了電路仿真； 文獻(xiàn)[12]研究了一個(gè)三維自治系統(tǒng)的分岔問題, 并設(shè)計(jì)了混沌吸引子的仿真電路； 文獻(xiàn)[13]電路仿真了一個(gè)新四維超混沌系統(tǒng)的吸引子相圖； 文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)了五維混沌Chen系統(tǒng)的仿真電路, 并得到了與數(shù)值仿真完全一致的混沌吸引子； 文獻(xiàn)[15]利用線性分段函數(shù), 構(gòu)造了多翼混沌系統(tǒng), 并設(shè)計(jì)了吸引子相圖的仿真電路； 文獻(xiàn)[16]設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的仿真電路. 但對混沌同步電路設(shè)計(jì)的研究目前文獻(xiàn)報(bào)道較少, 其中混沌系統(tǒng)的廣義修正函數(shù)投影同步的電路實(shí)現(xiàn)目前尚未見文獻(xiàn)報(bào)道. 為進(jìn)一步提高保密通信的信息安全級別, 在上述各種同步方式研究的基礎(chǔ)上, 本文給出混沌系統(tǒng)的另一類同步方式----廣義修正函數(shù)投影同步, 并設(shè)計(jì)其仿真電路.

1 廣義修正函數(shù)投影同步定義

以任意連續(xù)的非線性混沌系統(tǒng)為驅(qū)動系統(tǒng), 其動力學(xué)方程為

(1)

假設(shè)單向耦合的響應(yīng)系統(tǒng)為

(2)

其中:x,y∈n分別為驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量；f(x),g(x,y)∈n分別為驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的非線性函數(shù).

e=αx-βy,

(3)

當(dāng)α=I且β=I時(shí)(I為單位矩陣), 稱為完全同步; 當(dāng)α=I且β=-I時(shí), 稱為反同步; 當(dāng)α=I且β為任意常對角矩陣時(shí), 稱為修正投影同步； 當(dāng)α=I,β1(t),β2(t),…,βn(t)全相等時(shí), 稱為函數(shù)投影同步; 當(dāng)α=I,β1(t),β2(t),…,βn(t)不全相等時(shí), 稱為修正函數(shù)投影同步. 因此, 廣義修正函數(shù)投影同步是其他同步方式的更一般情形, 其他同步方式是廣義修正函數(shù)投影同步的特殊情形.

2 廣義修正函數(shù)投影同步的實(shí)現(xiàn)

基于驅(qū)動系統(tǒng)(1)和混沌系統(tǒng)的單向耦合原理, 構(gòu)造相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為

(4)

其中:β-1為矩陣β的逆矩陣;k=diag(k1,k2,…,kn)為反饋增益矩陣. 根據(jù)式(3), 驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)的誤差系統(tǒng)為

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(6)

顯然,V是正定的,V的變化率為

(7)

由于其他同步方式是廣義修正函數(shù)投影同步的特殊情形, 因此當(dāng)反饋增益矩陣正定時(shí), 驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的其他同步方式均可實(shí)現(xiàn). 上述理論適于一切連續(xù)混沌系統(tǒng), 因此可選任意維數(shù)的連續(xù)混沌系統(tǒng)或高維超混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng), 構(gòu)造相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng), 進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)其廣義修正函數(shù)投影同步.

3 數(shù)值仿真

本文以文獻(xiàn)[17]研究的三維類Lorenz混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng), 其動力學(xué)方程為

(8)

其中a,b,c,h為系統(tǒng)參數(shù). 當(dāng)a=10,b=40,c=2.5,h=4時(shí), 系統(tǒng)(8)處于混沌運(yùn)動狀態(tài). 選取反饋增益對角矩陣k=diag(a,1,c), 根據(jù)式(4)可得響應(yīng)系統(tǒng)為

(9)

其中: 系統(tǒng)參數(shù)a,b,c,h與式(8)中的取值相同;y1,y2,y3為響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量. 顯然反饋增益矩陣k=diag(a,1,c)正定, 滿足實(shí)現(xiàn)廣義修正函數(shù)投影同步的充分條件, 因此驅(qū)動系統(tǒng)(8)和響應(yīng)系統(tǒng)(9)可實(shí)現(xiàn)廣義修正函數(shù)投影同步. 任意選取比例函數(shù)矩陣α和β, 其中β的對角線元素全不為0, 不妨選α和β分別為

(10)

任取驅(qū)動系統(tǒng)(8)和響應(yīng)系統(tǒng)(9)的初值條件分別為(x1(0),x2(0),x3(0))=(1,-1,-3)和(y1(0),y2(0),y3(0))=(2,-3,1). 利用四階Runge-Kutta法, 可得驅(qū)動系統(tǒng)(8)和響應(yīng)系統(tǒng)(9)的相圖分別如圖1和圖2所示.

圖1 驅(qū)動系統(tǒng)(8)的相圖

圖2 響應(yīng)系統(tǒng)(9)的相圖

圖3 驅(qū)動系統(tǒng)(8)和響應(yīng)系統(tǒng)(9)的廣義 修正函數(shù)投影同步誤差曲線

根據(jù)式(10)可將廣義修正函數(shù)投影同步誤差

e=αx-βy

改寫為

(11)

并仿真驅(qū)動系統(tǒng)(8)和響應(yīng)系統(tǒng)(9)的誤差(11), 同步誤差曲線如圖3所示. 由圖3可見, 廣義修正函數(shù)投影同步誤差ei(i=1,2,3)在5 s內(nèi)穩(wěn)定收斂于0, 表明驅(qū)動系統(tǒng)(8)和響應(yīng)系統(tǒng)(9)在5 s內(nèi)實(shí)現(xiàn)了廣義修正函數(shù)投影同步.

4 同步電路模擬

基于Multisim14電路仿真平臺, 由于運(yùn)算放大器TL084CN和乘法器AD633可承受的電壓分別為±18,±10 V, 而系統(tǒng)(8)的輸出電壓約為±120 V, 為合理有效進(jìn)行電路模擬實(shí)驗(yàn), 并在電路中能觀察到圖像, 因此將混沌信號輸出電壓調(diào)小為原來的1/20, 令u1=x1/20,u2=x2/20,u3=x3/20,v1=y1/20,v2=y2/20,v3=y3/20, 變換后的驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)分別為

(12)

(13)

根據(jù)廣義修正函數(shù)投影同步誤差(11), 可得驅(qū)動系統(tǒng)(12)和響應(yīng)系統(tǒng)(13)的廣義修正函數(shù)投影同步誤差為

(14)

為實(shí)現(xiàn)式(12)～(14)中的微分、 加法、 減法、 乘法、 除法和比例函數(shù)等運(yùn)算, 用同相比例器、 反相比例器、 反向加法器、 積分運(yùn)算器、 微分運(yùn)算器、 乘法器、 除法器及函數(shù)信號發(fā)生器等構(gòu)造驅(qū)動系統(tǒng)、 同步比例函數(shù)和響應(yīng)系統(tǒng)的仿真電路, 仿真電路圖略.

利用電路設(shè)計(jì)的模塊化方法， 將驅(qū)動系統(tǒng)、 響應(yīng)系統(tǒng)和比例函數(shù)的電路模塊組合， 構(gòu)成驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)廣義修正函數(shù)投影同步的仿真電路. 仿真運(yùn)行驅(qū)動系統(tǒng)(12), 將示波器通道內(nèi)的仿真數(shù)據(jù)輸出到EXCEL電子表格, 并讀入MATLAB軟件, 繪制示波器上顯示驅(qū)動系統(tǒng)的混沌吸引子相圖, 如圖4所示. 仿真響應(yīng)系統(tǒng)(13), 將示波器通道內(nèi)的仿真數(shù)據(jù)輸出到EXCEL電子表格, 并讀入MATLAB軟件, 繪制示波器上顯示響應(yīng)系統(tǒng)的混沌吸引子相圖, 如圖5所示. 將圖4和圖5放大20倍, 結(jié)果表明, 圖4和圖5結(jié)果分別與數(shù)值仿真的圖1和圖2結(jié)果一致, 表明電路設(shè)計(jì)正確.

由于電路仿真的初值條件為原點(diǎn), 示波器上顯示同步誤差曲線是從原點(diǎn)出發(fā)的一條水平直線, 因此為進(jìn)一步說明驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)的廣義修正函數(shù)投影同步, 根據(jù)同步誤差式(14), 電路仿真u1sint和-v1(2+cost)、 2u2sint和-v2(2+sint)及u3cost和-v3(3-cost)的時(shí)間序列波形, 如圖6所示, 其中:u1sint,2u2sint,u3cost的波形用黑線表示; -v1(2+cost),-v2(2+sint),-v3(3-cost)的波形用紅線表示. 由圖6可見,u1sint和-v1(2+cost)、 2u2sint和-v2(2+sint)及u3cost和-v3(3-cost)的波形分別關(guān)于橫軸對稱, 表明驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的廣義修正函數(shù)投影同步誤差η1=u1sint-v1(2+cost),η2=2u2sint-v2(2+sint),η3=u3cost-v3(3-cost)均趨于0, 即電路仿真實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動系統(tǒng)(12)和響應(yīng)系統(tǒng)(13)的廣義修正函數(shù)投影同步.

圖4 驅(qū)動系統(tǒng)(12)在示波器上的相圖

圖5 響應(yīng)系統(tǒng)(13)在示波器上的相圖

圖6 驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)的廣義修正函數(shù)投影同步波形

綜上, 本文研究了混沌系統(tǒng)的廣義修正函數(shù)投影同步及其電路仿真. 基于任意驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)方程和混沌系統(tǒng)的單向耦合原理構(gòu)造響應(yīng)系統(tǒng), 并通過Lyapunov函數(shù)證明得出結(jié)論, 驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)廣義修正函數(shù)投影同步的充分條件是反饋增益矩陣正定, 實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)的廣義修正函數(shù)投影同步的充分條件簡單且易滿足. 設(shè)計(jì)了混沌系統(tǒng)廣義修正函數(shù)投影同步的仿真電路, 示波器輸出的驅(qū)動系統(tǒng)相圖、 響應(yīng)系統(tǒng)相圖及同步波形圖與數(shù)值仿真結(jié)果相符, 表明構(gòu)造的混沌系統(tǒng)廣義修正函數(shù)投影同步電路是正確的.