(南京信息工程大學(xué)江蘇省氣象探測與信息處理重點實驗室， 江蘇南京 210044)

0 引言

波束形成技術(shù)在雷達、聲吶以及麥克風(fēng)語音領(lǐng)域的陣列信號處理中應(yīng)用廣泛。實際環(huán)境下，信號協(xié)方差矩陣是通過采樣信號獲取，有限的采樣快拍數(shù)會導(dǎo)致訓(xùn)練數(shù)據(jù)中包含期望信號。此外，基陣位置偏差、陣元幅相誤差等因素會產(chǎn)生角度失配問題，從而無法精確獲得導(dǎo)向矢量，導(dǎo)致Capon波束形成器性能急劇下降。

針對上述標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成器存在的問題，文獻[1-5]提出一類重構(gòu)協(xié)方差矩陣的方法。其中文獻[1]將空域分成干擾和信號兩個互不重疊的大區(qū)域，通過對干擾區(qū)域積分獲得干擾協(xié)方差矩陣，接著對信號區(qū)域積分得到信號協(xié)方差矩陣，將信號協(xié)方差矩陣特征值分解，以分解后特征向量作為導(dǎo)引向量估計，實驗表明效果良好，然而該方法在獲取干擾加噪聲協(xié)方差矩陣以及導(dǎo)向矢量時計算量過大，不適合實際工程中應(yīng)用。除了上述的方法，對角加載算法[6-9]也是經(jīng)常使用的方法。其中文獻[6]根據(jù)協(xié)方差矩陣的不同特征值選擇不同的加載因子，可以有效地抑制干擾并消除角度失配的影響，但自適應(yīng)的加載因子難以確定，加載因子過大或者過小都會帶來不利影響。針對以上兩種方法的不足，不確定約束集的穩(wěn)健波束形成[10-13]被提出，如文獻[13]提出的改進的雙約束穩(wěn)健波束形成算法，該方法對噪聲子空間附加兩個約束條件，通過輔助約束條件，把問題轉(zhuǎn)化為單約束問題，和普通雙約束穩(wěn)健波束形成方法比，運算量有所降低，但和其他類算法相比，該算法運算量依然巨大。文獻[14]提出了根據(jù)不同導(dǎo)向矢量誤差獲取對應(yīng)的加載量，同樣，最優(yōu)加載值的求解方法運算量大且收斂速度也慢。此外，文獻[14-16]中運用到一些專門解最優(yōu)問題工具箱，用來解決二次規(guī)劃二次約束問題，此類算法可在較少快拍以及低輸入信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)環(huán)境中保持一定性能，但巨大的計算量限制了這類算法的實際應(yīng)用。

針對上述算法存在的問題，依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成器，提出一種基于加權(quán)空間平滑與導(dǎo)向矢量估計相結(jié)合的穩(wěn)健波束形成算法。算法對陣列信號進行兩次平滑，其中第一次平滑時陣列的子陣數(shù)等于第二次平滑時陣列子陣的陣元數(shù)，目的是為了使加權(quán)矩陣中的元素與平滑矩陣一一對應(yīng)。充分利用子陣輸出的自相關(guān)性與互相關(guān)性，以此獲得更加精確的協(xié)方差矩陣，采用不確定范圍約束期望導(dǎo)向矢量來估計獲得真實導(dǎo)向矢量。由于加權(quán)空間平滑后的協(xié)方差矩陣精度更高，故而導(dǎo)向矢量也更加準(zhǔn)確，算法的魯棒性也得到提高。

1 陣列信號模型

假設(shè)陣列為均勻線陣，陣元數(shù)為M，相互獨立的信源同時入射到陣列，則第k個快拍時接收到的信號為

x(k)=xs(k)+xj(k)+n(k)

(1)

式中，xs(k)為期望信號，xj(k)為干擾信號，n(k)為獨立于信源的噪聲。

陣列接收信號的理想?yún)f(xié)方差矩陣可表示為

Rx=E{x(k)x(k)H}=Rs+Ri+σ2I

(2)

式中，Rs表示期望信號協(xié)方差矩陣，Ri表示干擾信號協(xié)方差矩陣，σ2表示噪聲功率，I表示單位矩陣。

自適應(yīng)波束形成對陣列接收信號x(k)進行加權(quán)處理，陣列信號輸出為

y(k)=wHx(k)

(3)

式中，加權(quán)矢量w=[w1,w2,w3,…,wM]，根據(jù)最小方差無失真響應(yīng)(即標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成)，保證輸出中的噪聲和干擾總功率最小，并且期望信號不會失真，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型為

(4)

該約束條件下的尋優(yōu)問題可用拉格朗日乘子法求解，得到

(5)

實際的工程應(yīng)用中，Ri+n無法直接獲得，通常用采樣協(xié)方差矩陣Rs來代替，K個快拍的采樣協(xié)方差矩陣為

(6)

2 本文算法

2.1 前后向空間平滑

考慮陣元數(shù)為M的均勻線陣，取子陣陣元數(shù)為m，子陣數(shù)為p，則接收到的信號前向空間平滑的數(shù)據(jù)矢量可表示為

(7)

數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

(8)

則前向平滑的協(xié)方差矩陣為

(9)

同理可知后向空間平滑的數(shù)據(jù)矢量可表示為

(10)

此時數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

(11)

則后向平滑的協(xié)方差矩陣為

(12)

將二者取平均后可得到前后向平滑的協(xié)方差矩陣

(13)

2.2 改進的加權(quán)前后向空間平滑

由于普通的前后向空間平滑只利用了子陣自相關(guān)協(xié)方差矩陣，此處提出一種改進的加權(quán)前后向空間平滑算法，同時利用子陣的自相關(guān)協(xié)方差矩陣與互相關(guān)協(xié)方差矩陣，更好地消除回波信號中的相干性，獲取更為精準(zhǔn)的協(xié)方差矩陣。此外，本方法不需知道信源的先驗位置，也不需預(yù)估信源方向，適用于信源信息未知情況下的協(xié)方差矩陣解相干。算法構(gòu)造兩次特殊結(jié)構(gòu)的子陣劃分形式，使第一次子陣陣元數(shù)與第二次子陣數(shù)相等，此做法是為了保證加權(quán)元素總數(shù)能夠一一對應(yīng)到加權(quán)空間平滑矩陣上。第一次劃分后得到的前后向平滑協(xié)方差矩陣中的元素作為加權(quán)因子，將這些加權(quán)因子對應(yīng)與第二次劃分后的協(xié)方差矩陣相乘即可得到加權(quán)后的協(xié)方差矩陣。由于兩次劃分時，都是均勻選取大小相同的子陣，加權(quán)元素也都是一一對應(yīng)到平滑矩陣上，故加權(quán)平滑后的協(xié)方差矩陣不會出現(xiàn)整體偏離。

在取子陣陣元數(shù)為m，子陣數(shù)為p時，由式(14)可知第一次劃分得到的協(xié)方差矩陣為Rfb，此時加權(quán)矩陣W為

W=(Rfb)+

(14)

第二次劃分時，取子陣陣元數(shù)為p，子陣數(shù)為m，利用上式求得的W加權(quán)到此時得到的協(xié)方差矩陣

式中，wij為W中的元素，Rij為第二次劃分后得到的信號協(xié)方差矩陣中的元素，J為轉(zhuǎn)置矩陣。

2.3 導(dǎo)向矢量估計

針對低信噪比情況下，信號子空間包含期望信號少，估計得到的導(dǎo)向矢量會指向干擾方向，從而導(dǎo)致波束形成的主瓣指向發(fā)生偏差的問題，提出一種根據(jù)導(dǎo)向矢量不確定范圍加以約束條件來搜索信號子空間，估計陣列真實導(dǎo)向矢量的方法。

通過將期望導(dǎo)向矢量對Rwf進行特征分解得到投影Ts，則真實導(dǎo)向矢量可表示為

(16)

假設(shè)期望與導(dǎo)向矢量之間的有限誤差，則二者之間的關(guān)系可表示為

(17)

式中，ε0為約束因子，由系統(tǒng)中的各種實際誤差造成，可以估計得到。將式(17)代入式(18)可得

(18)

化簡后可得

(19)

式(20)指期望導(dǎo)向矢量主要集中在該子空間，當(dāng)式(20)不成立時，表明期望導(dǎo)向矢量在噪聲子空間中分量較大，此時需要重新搜索子空間，定義不同維度的子空間函數(shù)為

(20)

將Rwf分解后特征值從大到小排列，令k在特征值對應(yīng)的特征向量內(nèi)由小到大依次搜尋，直到滿足條件

f(k)≤ε0

(21)

滿足上式得到的子空間中存在大量期望導(dǎo)向矢量，將期望導(dǎo)向矢量向此處搜尋到的子空間投影可估計獲得的真實導(dǎo)向矢量滿足式(22)的約束條件。

(22)

為更方便理解整體算法過程，將算法主要步驟列出,如表1所示。

表1 主要算法步驟

3 仿真實驗

采用以下實驗仿真來驗證算法的性能。仿真中假設(shè)陣列為16陣元的均勻線陣，陣列之間的間距固定為半波長，入射信號為一個期望信號以及兩個干擾信號，期望信號的來波角度為80°，信號的真實來波方向為78°，兩個干擾信號來波角度分別為60°和105°，干噪比為30 dB，為了驗證算法的性能，將本文算法分別與對角加載波束形成(Diagonal Loading Beamforming,DLB)、特征子空間魯棒波束形成(Eigen Space Robust Beamforming,ESRB)以及最差性能最優(yōu)波束形成(Worst-Case Optimal Beamforming,WCOB)方法進行對比。

仿真實驗1：采用幾種算法的歸一化波束圖對比，取快拍數(shù)為100，期望信號來波方向為80°，假設(shè)期望信號來波方向存在誤差，誤差角度為-2°，即真實來波方向為78°，期望信號的信噪比設(shè)置為0 dB，圖1為幾種算法對應(yīng)的波束圖。

由圖1可見，本文算法擁有較低的旁瓣，且在兩個干擾方向形成了最低的零陷，主瓣方向也指向了真實的期望信號的來波方向。DLB方法對導(dǎo)向矢量的偏差過于敏感，導(dǎo)致主瓣所指方向與真實期望信號方法產(chǎn)生偏差，并且該方法對旁瓣的抑制有限，對干擾的零陷也較淺。WCOB方法能夠有效地對干擾產(chǎn)生零陷，但對導(dǎo)向矢量存在偏差的情況過于敏感，并且抑制旁瓣的效果不夠理想。ESRB方法主瓣波束指向80°，無法保持真實信號的最大增益。從以上對比可說明本文算法能夠有效降低旁瓣，抑制干擾信號并且在期望信號導(dǎo)向矢量存在偏差時能夠識別出真實的來波方向。

圖1 導(dǎo)向矢量存在誤差時的波束圖

仿真實驗2：驗證算法在低SNR環(huán)境下的性能。假設(shè)兩個干擾來波方向分別為60°和105°，信號來波的期望方向為80°，真實方向為78°，設(shè)置快拍數(shù)為100，輸入期望信號SNR為-20 dB，圖2為幾種算法在低SNR下的波束圖。

圖2 低信噪比下幾種算法的波束圖

從波束仿真圖可以看出，本文提出的方法在波束指向、旁瓣高度以及對干擾的零陷都無明顯變化。DLB方法會出現(xiàn)抑制期望信號的現(xiàn)象，即出現(xiàn)了信號相消的問題。ESRB方法出現(xiàn)主瓣降低，旁瓣升高的問題，嚴(yán)重的角度會出現(xiàn)旁瓣高度接近主瓣高度。WCOB方法出現(xiàn)了旁瓣指向角度失配問題，算法性能下降較多。

仿真實驗3：驗證算法在高SNR環(huán)境下的性能。假設(shè)兩個干擾來波方向分別為60°和105°，信號來波的期望方向為80°，真實方向為78°，設(shè)置快拍數(shù)為100，輸入期望信號SNR為50 dB，圖3為幾種算法在高SNR下的波束圖。

圖3 高信噪比下幾種算法的波束圖

由波束仿真圖可以看出，除了本文算法外，其余幾種算法主瓣指向均發(fā)生偏差，此外，DLB算法的旁瓣過高，且出現(xiàn)了錯將期望信號當(dāng)成干擾信號進行零陷的信號相消現(xiàn)象。WCOB算法除了旁瓣過高外，已經(jīng)無法識別出105°處的干擾。ESRB算法出現(xiàn)了旁瓣高于主瓣的情況，算法性能急劇下降。

仿真實驗4：驗證算法的輸出信干噪比(Signal to Interference-plus-Noise Ratio,SINR)隨輸入SNR變化關(guān)系。假設(shè)兩個干擾來波方向分別為60°和105°，信號來波的期望方向為80°，真實方向為78°，設(shè)置快拍數(shù)為100，兩個干擾的干噪比(Interference-plus-Noise Ratio,INR)設(shè)置為30 dB。圖4為幾種算法輸出SINR隨輸入SNR的變化關(guān)系。

圖4 幾種算法輸出SINR隨輸入SNR變化對比

DLB算法的輸出SINR會隨著輸入SNR的增加而增加，且輸出SINR相對較高。WCOB算法由于期望信號會產(chǎn)生相消現(xiàn)象，因此在曲線中會出現(xiàn)輸出SINR降低的現(xiàn)象。ESRB算法效果優(yōu)于算法WCOB，但是由于算法中對角加載值本身的限制，其依然會出現(xiàn)信號相消現(xiàn)象。

仿真實驗5：此處研究快拍數(shù)對輸出SINR的影響。假設(shè)兩個干擾來波方向分別為60°和105°，信號來波的期望方向為80°，真實方向為78°期望信號的SNR為0 dB。

從圖5可以看出，本文算法收斂速度最快，并且收斂于最優(yōu)輸出SINR。除此之外，DLB算法收斂速度較慢，但輸出SINR相對較高，另外兩種算法的輸出SINR相對較低。

仿真實驗6：實驗6研究輸出SINR隨誤差角度的變化關(guān)系。假設(shè)空間存在兩個干擾，來波方向分別是60°和105°，期望信號來波方向為80°，INR為30 dB，SNR為25 dB，真實信號與期望信號的角度誤差為0°到5°，快拍數(shù)取100，圖6為幾種算法二者關(guān)系的關(guān)系圖。

圖5 幾種算法輸出SINR隨快拍數(shù)變換關(guān)系

圖6 幾種算法輸出SINR隨誤差角度變化圖

由圖6可見，DLB算法隨著誤差角度變大，輸出SINR有略微下降，這是由于誤差角度變大時會產(chǎn)生信號相消的現(xiàn)象。ESRB算法性能與算法WCOB和算法DLB比較差，本文算法隨著誤差角度變化表現(xiàn)穩(wěn)定且維持較高的輸出SINR，由此可見，本文算法在存在角度失配時有較高魯棒性。

為了更方便比較各算法間差異，列出表2對各算法進行對比。從表中可知，從對真實來波方向估計、主瓣寬度、旁瓣高度以及對干擾抑制效果綜合來看，本文算法有著很明顯的優(yōu)越性。

表2 各算法對比

4 結(jié)束語

針對標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成中導(dǎo)向矢量失配情況下，算法性能急劇下降的問題，提出了本文算法。算法首先使用加權(quán)空間平滑對信號協(xié)方差矩陣進行平滑，獲得更加精確的協(xié)方差矩陣，然后利用導(dǎo)向矢量不確定集方法獲得真實導(dǎo)向矢量，接著利用范數(shù)約束提高算法魯棒性。理論分析與仿真實驗表明本文算法能夠有效對干擾進行零陷同時降低旁瓣高度，在快拍數(shù)低的情況下保持高輸出SINR。此外，導(dǎo)向矢量存在失配時算法能保持對期望信號的最大增益。從算法的計算量上來說，本文提出的算法運算量為O(5N3),DLB算法的運算量為O(N3),ESRB算法的運算量為O(8N3),WCOB算法的運算量為O(ρN3)，其中ρ為迭代次數(shù)，一般取值為10以上的數(shù)，本文的算法總體計算量偏低。綜上，本文算法是一種理論意義與實際價值兼?zhèn)涞聂敯粜圆ㄊ纬伤惴ā?/p>