趙明丁

(廣東省佛山市順德區(qū)第一中學(xué) 528300)

一、眾里尋她千百度——撲朔迷離中的困惑

三角函數(shù)圖象及性質(zhì)為高考必考內(nèi)容，主要考查：

(1)三角函數(shù)的最值、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性等性質(zhì)；

(2)函數(shù)圖形的平移、伸縮、反射變換等；

(3)方程或不等式代數(shù)運(yùn)算等.由于該內(nèi)容涉及較多公式(包括誘導(dǎo)公式、倍角公式、和差角公式和相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)軸線公式等)，而且題型多樣、結(jié)構(gòu)靈活，對(duì)學(xué)生能力要求較高.亂花漸欲迷人眼，能否“九九歸一”尋求一種通法，以不變應(yīng)萬(wàn)變，將它們一網(wǎng)打盡呢？

二、一圖一表總關(guān)情——在探索總結(jié)中提煉精華

三角函數(shù)圖象類的常見(jiàn)題型有:

(1)由函數(shù)圖象求其代數(shù)表達(dá)式進(jìn)而研究其相關(guān)性質(zhì)；

(2)由函數(shù)解析式，研究函數(shù)圖象的點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸或單調(diào)區(qū)間；

(3)由三角函數(shù)性質(zhì)或圖象，研究參數(shù)的值或取值范圍；

(4)三角函數(shù)圖象及性質(zhì)與其它知識(shí)的綜合.

題型眾多，能否有統(tǒng)一的解題法？本文提出一種圖表對(duì)照法，即利用“一幅圖”和“一張表”對(duì)照輔助解題的方法.由于形如y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的一般三角函數(shù)的圖形都可由基本的正弦函數(shù)y=sinx圖象通過(guò)一系列坐標(biāo)變換所得，如果能將題目所研究的三函數(shù)的自變量取值以及相關(guān)圖形特征都回歸到基本正弦曲線中，用數(shù)形結(jié)合的思想，問(wèn)題就簡(jiǎn)單明了.以下例析闡釋.

圖1

分析先畫(huà)出基本正弦函數(shù)圖象，如圖1所示，在圖中A1，B1,C1,D1代表了x軸正方向第一周期的四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，下標(biāo)為2代表第二周期，下標(biāo)為-1代表負(fù)方向第一周期，依次類推，圖象可根據(jù)需要向兩邊延展，本文例題將反復(fù)使用圖1進(jìn)行對(duì)照研究.接著，在表格中按從小到大的順序列出題中所涉及的自變量x的值，計(jì)算括號(hào)內(nèi)的角的對(duì)應(yīng)值X，并寫(xiě)出各取值與圖1中的圖象的對(duì)應(yīng)位置或相對(duì)位置，如表1所示.

表1

評(píng)析上法充分利用了我們最熟悉的基本正弦曲線的直觀圖形輔助解題，同時(shí)用表格的形式清晰列出題中涉及的自變量x所有取值(包括參照值0)、括號(hào)內(nèi)的量X的值及他們對(duì)應(yīng)圖1的位置或相對(duì)位置，然后根據(jù)表格可列出方程或不等式，求解得答案.

三、吹盡黃沙始到金——在解題實(shí)戰(zhàn)中升華方法

上例詳細(xì)分析了用“圖表對(duì)照法”探究三角函數(shù)中參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，以下將采用該法來(lái)解其它題型.

題型1根據(jù)三角函數(shù)圖象，確定參數(shù)的值

通過(guò)與參照點(diǎn)數(shù)量比較，只能落在D1處，所以可得表2所示的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

表2

題型2確定三角函數(shù)在給定區(qū)間中的最值

表3

答案為A.

評(píng)析本題的解法大多是通過(guò)研究周期得到ω的取值范圍，經(jīng)過(guò)計(jì)算再求出φ的可能取值，然后再驗(yàn)證單調(diào)

性是否得到滿足，其推理過(guò)程比較復(fù)雜，如用上法，思維簡(jiǎn)化，運(yùn)算也不復(fù)雜，能夠更快、更準(zhǔn)地得到答案.

四、映日荷花別樣紅——在反思對(duì)比中參透本質(zhì)

求解三解函數(shù)圖象及性質(zhì)相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，尤其是客觀題時(shí)，“回溯本原”，把三角函數(shù)相關(guān)問(wèn)題放在基本正弦曲線上研究，結(jié)合圖象和表格確定數(shù)量和位置間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，省去中間較為復(fù)雜推理和演算過(guò)程.該方法緊扣函數(shù)圖象本質(zhì)，立足知識(shí)的”根本”，若能在解題實(shí)踐中將本方法靈活應(yīng)用，必能達(dá)到“枝繁葉茂”的效果，體會(huì)到這種“圖表對(duì)照法”的優(yōu)越性.