實正態(tài)過程之多重均方不定積分的正態(tài)性

呂 芳，李 恒

(1.洛陽師范學院 數(shù)學科學學院， 河南 洛陽 471934；2.洛陽理工學院 經(jīng)濟與管理學院，河南 洛陽 471023)

1 基本概念

定義1[1,2]設{X(t),t∈T}是一個隨機過程，如果對于任意n≥1和任意t1,t2,…,tn∈T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))是n維正態(tài)隨機向量，則稱{X(t),t∈T}為正態(tài)過程或高斯過程.

將概率空間(Ω,F,P)上具有二階矩的隨機變量的全體記為H.

2 相關定理

定理3[6 ]若二階矩過程{X(t),t∈T}均方可導，則{X(t),t∈T}均方連續(xù).

引理1[7]設X=(X1,X2,……,Xn)是n維隨機向量，X～N(μ,B)，其中μ為均值向量，B為協(xié)方差矩陣，則X的特征函數(shù)為

由引理1及正態(tài)過程的定義易得定理4.

定理4設{X(t),t∈T}為正態(tài)過程，均值函數(shù)為mX(t),協(xié)方差函數(shù)為CX(s,t),則{X(t),t∈T}的任意有限維特征函數(shù)為：

ri∈R,ti∈T,i=1,2,…n,n∈N.

3 主要結(jié)論

任意有限維特征函數(shù)為：

ri∈R,ui∈[a,b],i=1,2,…n,n∈N.

重復使用上述方法，可得多重均方不定積分

為[a,b]上均方連續(xù)、均方可導的實正態(tài)過程.

協(xié)方差函數(shù)為

協(xié)方差函數(shù)為：

協(xié)方差函數(shù)為

依此類推，令

則{Ym(tm),tm∈[a,b]}(即{H(tm),tm∈[a,b]})的均值函數(shù)為:

協(xié)方差函數(shù)為

由于{H(tm),tm∈[a,b]}為實正態(tài)過程，由定理4 知{H(tm),tm∈[a,b]}的任意有限維特征函數(shù)為

ri∈R,ui∈[a,b],i=1,2,…，n,n∈N.

證畢.