王 麗 燕， 李 慶 杰， 李 雁 宙， 馮 丹 亭， 嚴(yán) 瀟， 蔡 方 赟

( 1.大連大學(xué) 信息工程學(xué)院, 遼寧 大連 116622；2.大連大學(xué) 環(huán)境與化學(xué)工程學(xué)院, 遼寧 大連 116622 )

0 引 言

隨著社會(huì)的發(fā)展，越來(lái)越多的工作需要在高溫環(huán)境下完成，而高溫作業(yè)帶有極高的危險(xiǎn)性．在高溫環(huán)境下工作時(shí)，人們需要穿著專(zhuān)用的高溫作業(yè)防護(hù)服，才能避免高溫灼熱帶來(lái)的傷害．盧琳珍[1]基于非線(xiàn)性變系數(shù)拋物型方程，建立了多層熱防護(hù)服-空氣層-皮膚系統(tǒng)的熱傳遞模型，利用有限差分法對(duì)所建模型進(jìn)行了收斂性分析，給出了各層接觸面之間的關(guān)系．但該系統(tǒng)僅停留在理論研究層面，沒(méi)有進(jìn)一步運(yùn)用到服裝設(shè)計(jì)上．陳柔羲[2]從人體熱濕生理和運(yùn)動(dòng)需求出發(fā)，對(duì)PCM(相變材料)在高溫防護(hù)服內(nèi)的分布情況進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，并依據(jù)熱濕舒適性對(duì)模型進(jìn)行了改進(jìn)．但所選取的樣本數(shù)比較少，試驗(yàn)結(jié)果具有偶然性．Ghazy等[3]通過(guò)建立一個(gè)瞬態(tài)傳熱有限體積模型，研究了防護(hù)服系統(tǒng)的瞬態(tài)溫度分布和能量含量，但忽略了防護(hù)服中空氣間隙對(duì)防護(hù)服性能的影響．毛瑤瑤等[4]在溫度和時(shí)間的約束條件下，利用遺傳算法求出了防護(hù)服第2層的最優(yōu)厚度，但遺傳算法不能及時(shí)利用網(wǎng)絡(luò)的反饋信息，計(jì)算效率較低．本文圍繞2018年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題“高溫作業(yè)專(zhuān)用服裝設(shè)計(jì)”(http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/7cec7725b9a0ea07b4dfd175e8042c33.html)，在降低研發(fā)成本的條件下，對(duì)高溫作業(yè)專(zhuān)用服裝的厚度進(jìn)行優(yōu)化求解．所研究的高溫作業(yè)專(zhuān)用服裝由3層織物材料構(gòu)成，其中第1層與外界環(huán)境接觸，第3層與皮膚之間還存在空隙，將此空隙記為第4層．利用蒙特卡羅算法求解防護(hù)服第2層與第4層的最優(yōu)厚度．在求解過(guò)程中，不僅考慮到空氣間隙對(duì)防護(hù)服性能的影響，而且在全局隨機(jī)取樣，避免陷入局部最優(yōu)解．

1 防護(hù)服溫度分布的求解

由文獻(xiàn)[5]可知，當(dāng)皮膚外側(cè)的溫度不再改變時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，即物體各點(diǎn)的溫度不再隨時(shí)間變動(dòng)，而之前時(shí)間段皮膚外側(cè)傳熱過(guò)程均為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程．因此，在求解關(guān)系式的過(guò)程中，要考慮至少兩個(gè)狀態(tài)下的導(dǎo)熱情況．以后的所有分析都基于這一前提．本章通過(guò)求解熱傳導(dǎo)偏微分方程[5]，建立離散型熱傳導(dǎo)模型，對(duì)高溫作業(yè)防護(hù)服仿真設(shè)計(jì)，求解每一層的溫度分布．

1.1 熱傳導(dǎo)方程離散化

將高溫作業(yè)防護(hù)服進(jìn)行一維切片化處理后得到高溫作業(yè)防護(hù)服熱傳導(dǎo)示意圖，如圖1所示．

圖1 高溫作業(yè)防護(hù)服熱傳導(dǎo)三維等溫示意圖

Fig.1 Three-dimensional isothermal diagram of heat conduction of high-temperature operation protective clothing

從圖1可以直觀看出溫度的傳導(dǎo)方向和傳導(dǎo)過(guò)程．熱傳導(dǎo)方程式[6]如下：

(1)

其中ρ、Cρ均為常數(shù)，由于每一層的熱傳導(dǎo)率不同且是離散的，式(1)中k值不是常數(shù)．對(duì)熱傳導(dǎo)方程(1)進(jìn)行離散化處理，離散化處理過(guò)程如圖2所示．

圖2 離散化處理示意圖

圖中的Δx和Δt分別表示厚度的步長(zhǎng)和時(shí)間的步長(zhǎng)．i表示離散點(diǎn)的厚度軸坐標(biāo)，j表示離散點(diǎn)的時(shí)間軸坐標(biāo)．則由式(1)可得

(2)

(3)

將式(2)、(3)同時(shí)代入熱傳導(dǎo)方程(1)中，得到離散化的熱傳導(dǎo)方程為

(4)

在將偏微分方程(1)離散化處理之前，應(yīng)先設(shè)置初值，即各層防護(hù)服在t=0時(shí)均為一常數(shù)值，初值設(shè)立如下：

T1(x，0)=348

(5)

T2(x，0)=310

(6)

T3(x，0)=310

(7)

T4(x，0)=310

(8)

在求解過(guò)程中，經(jīng)過(guò)離散化熱傳導(dǎo)方程的不斷迭代，可得到每一層的、每一時(shí)間點(diǎn)上的各個(gè)溫度值．

1.2 防護(hù)服各層溫度分布的求解

分別將密度、比熱容、熱傳導(dǎo)率、環(huán)境溫度和假人外表皮溫度代入式(4)中．假設(shè)橫軸達(dá)到0.6 mm 時(shí)作為第1層，橫軸為0.6～6.6 mm時(shí)作為第2層，橫軸為6.6～10.2 mm時(shí)作為第3層，橫軸為10.2～15.2 mm時(shí)作為第4層．用MATLAB求解式(4)，可得到每一層材料各處的溫度值．

在此基礎(chǔ)上，基于得到的每一層材料各處、各時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的溫度值，找出相鄰兩層之間不同時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的溫度值并作圖，即得到每?jī)蓪娱g溫度隨時(shí)間變化的二維平面圖，如圖3所示．

圖3 每一層溫度隨時(shí)間變化的分布示意圖

從圖3中可以看出：溫度從第1層開(kāi)始到第4層，先后逐漸趨于穩(wěn)態(tài)，并且在傳遞熱量的過(guò)程中，能量被損耗，最終使得熱量的傳遞值遞減，每層的穩(wěn)態(tài)溫度都低于其上一層．為方便看出各層處于穩(wěn)態(tài)時(shí)的溫度，做出5 400 s時(shí)的各層溫度情況，如圖4所示．

圖4 各層達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的溫度分布情況圖

由圖4可以看出，第4層空氣層溫度下降最多，說(shuō)明空氣層對(duì)人體隔熱防護(hù)更為重要．

1.3 誤差分析

將各層溫度數(shù)據(jù)代入均方根誤差[7]公式：

(9)

對(duì)溫度分布結(jié)果進(jìn)行分析．把用MATLAB計(jì)算得出的溫度分布值與測(cè)量得到的真實(shí)值進(jìn)行對(duì)比，得到表1．

表1 誤差分析表

由此得出均方差σ=1.021 0，誤差較?。虼耍疚乃⒌臏囟确植寄Ｐ秃侠?、可行．

2 基于蒙特卡羅算法求解防護(hù)服最優(yōu)厚度

求解最優(yōu)厚度的方法有很多，例如窮舉法、模擬退火、遺傳算法等．窮舉法雖然方法簡(jiǎn)單，但是實(shí)施起來(lái)過(guò)于繁瑣復(fù)雜；啟發(fā)式算法雖然常用，但是容易陷入局部最優(yōu)解．對(duì)于本文所研究的最優(yōu)厚度求解來(lái)說(shuō)，蒙特卡羅算法不僅方法簡(jiǎn)單，而且在求解過(guò)程中，通過(guò)隨機(jī)投點(diǎn)，可以避免陷入局部最優(yōu)解，使結(jié)論更具有說(shuō)服力．因此，本文采用蒙特卡羅算法，求解防護(hù)服的最優(yōu)厚度．

假設(shè)邊界空氣層溫度T0=353 K，假人皮膚外側(cè)溫度約束條件有

(10)

在滿(mǎn)足約束條件的情況下，為了降低研發(fā)成本和縮短研發(fā)周期，服裝的總厚度值應(yīng)該最小，即

min(d)=min(d1+d2+d3+d4)

(11)

根據(jù)蒙特卡羅算法，將厚度進(jìn)行隨機(jī)投點(diǎn)，則由d2和d4生成n個(gè)隨機(jī)數(shù)(其中d2的范圍為0.6～25 mm，d4的范圍為0.6～6.4 mm)，代入式(4)并求出其溫度分布．在滿(mǎn)足約束條件的情況下，隨著每次d2和d4數(shù)值的改變，會(huì)生成不同的目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)記錄當(dāng)前最優(yōu)解．當(dāng)投點(diǎn)次數(shù)n取100，101，102，103，104，…時(shí)得到材料厚度收斂圖，如圖5所示．

(a) 第2層

(b) 第4層

圖5 厚度收斂圖像

Fig.5 Thickness convergence image

當(dāng)t=1 800 s時(shí)，溫度不斷向320 K逼近；當(dāng)t=1 500 s時(shí)，溫度不斷向317 K逼近．第2層和第4層厚度隨時(shí)間變化不斷向最優(yōu)厚度收斂，此時(shí)可以得到第2層的最優(yōu)厚度值收斂于18.68 mm左右，第4層的最優(yōu)厚度值收斂于6.4 mm左右．

由于蒙特卡羅算法生成的隨機(jī)數(shù)帶有一定的隨機(jī)性，每次的結(jié)果都具有一定的誤差，本文選擇多次測(cè)量取平均值的方法，確定最終的最優(yōu)厚度．而上文所提到的投點(diǎn)次數(shù)n的選取會(huì)嚴(yán)重影響代碼的計(jì)算時(shí)間，在保證準(zhǔn)確性并且縮短計(jì)算時(shí)間的前提下，經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)，當(dāng)選取投點(diǎn)次數(shù)n為1×106時(shí)，各提取一組樣本(共7個(gè))如表2、3所示．

表2 迭代次數(shù)為1×106時(shí)第2層的厚度

表3 迭代次數(shù)為1×106時(shí)第4層的厚度

將樣本中的最優(yōu)厚度求算術(shù)平均值，計(jì)算得出第2層的最優(yōu)厚度為18.68 mm，第4層的最優(yōu)厚度為6.38 mm．此時(shí)滿(mǎn)足當(dāng)邊界空氣層溫度為353 K 時(shí)，確保假人皮膚外側(cè)溫度在工作30 min時(shí)，不超過(guò)320 K，且超過(guò)317 K的時(shí)間不超過(guò)5 min．

3 結(jié) 語(yǔ)

在利用傅里葉熱傳導(dǎo)定律求解防護(hù)服各層的溫度分布時(shí)，由于每一層的熱傳導(dǎo)率不同且是離散的，本文通過(guò)穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程、傳熱學(xué)原理等構(gòu)建了一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)模型．利用有限差分法求解出人體皮膚外側(cè)每一層織物材料的溫度分布情況，對(duì)所求得的結(jié)果進(jìn)行了誤差分析，驗(yàn)證了模型的可靠性．并基于以上模型，對(duì)防護(hù)服第2層與第4層的最優(yōu)厚度進(jìn)行了求解．借助MATLAB軟件，運(yùn)用蒙特卡羅算法，先對(duì)厚度值進(jìn)行不同次數(shù)的隨機(jī)模擬取點(diǎn)，在滿(mǎn)足約束條件的情況下，求解出不同次數(shù)下對(duì)應(yīng)的厚度值，然后對(duì)厚度值進(jìn)行收斂分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)投點(diǎn)次數(shù)為1×106時(shí)，收斂曲線(xiàn)趨于平滑，此時(shí)計(jì)算結(jié)果精確度較高，計(jì)算時(shí)間較短．由于蒙特卡羅算法獲得的結(jié)果具有一定的隨機(jī)性，在投點(diǎn)次數(shù)為1×106的條件下獲得7組樣本數(shù)據(jù)，然后通過(guò)樣本均值排除誤差，得到防護(hù)服第2層與第4層的最優(yōu)厚度．此時(shí)的最優(yōu)厚度為防護(hù)服滿(mǎn)足約束條件下的最小值，降低了研發(fā)成本，縮短了研發(fā)周期．但是為了方便求解，沒(méi)有考慮人體皮膚表面的汗液、水汽等因素的影響，因此，模型還有較大的優(yōu)化空間．但可為相關(guān)高溫?zé)岱雷o(hù)服設(shè)計(jì)及其衍生產(chǎn)業(yè)發(fā)展提供一定的參考．