時(shí)變區(qū)域上一維波動(dòng)方程的精確能控性

逯麗清,胡靜,趙麗艷

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

0 引言

柱形區(qū)域上波動(dòng)方程的精確能控性研究,已經(jīng)得到一些很好的結(jié)果,比如文獻(xiàn)[1-5]。其中,文獻(xiàn)[1]研究柱狀區(qū)域上波動(dòng)方程和第一、第二型的Petrovsky系統(tǒng)的精確能控性,包含Dirichlet邊界,Neumann邊界和混合邊界。然而非柱形區(qū)域上波動(dòng)方程的能控性研究則相對(duì)較少,近幾年有些文獻(xiàn)已經(jīng)對(duì)它有所研究并且也得到一些結(jié)果,如文獻(xiàn)[6-21]。文獻(xiàn)[6]研究了在類時(shí)間的非柱形區(qū)域上非線性波動(dòng)方程初邊值問題解的存在性。文獻(xiàn)[7]研究了一個(gè)移動(dòng)體外部波動(dòng)方程解的局部衰減性。文獻(xiàn)[8]對(duì)類時(shí)間的非柱形區(qū)域上波動(dòng)方程的精確能控問題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[9]主要研究了Kirchhoff模型的混合問題的正則解的存在性和漸近性。文獻(xiàn)[10]研究非柱形區(qū)域上衰減的Klein-Gordon方程,得到了全局解的存在性和能量的指數(shù)衰減。文獻(xiàn)[13]在研究非柱形區(qū)域上一維波動(dòng)方程的精確能控性時(shí),作者先將非柱形區(qū)域上的問題轉(zhuǎn)化成柱形區(qū)域上的等價(jià)問題,然后通過導(dǎo)出柱形區(qū)域上對(duì)偶問題的正反向不等式獲得了原問題的精確邊界可控。文獻(xiàn)[20]運(yùn)用乘子方法導(dǎo)出非柱形區(qū)域上原系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng),通過研究對(duì)偶系統(tǒng)的穩(wěn)定性,運(yùn)用HUM 方法得到原系統(tǒng)的可控性。文獻(xiàn)[21]主要研究了非柱形區(qū)域上帶有混合邊界的一維波動(dòng)方程的精確能控性,固定端有Dirichlet邊界條件,然而移動(dòng)端有Neumann邊界條件。文獻(xiàn)[22-23]應(yīng)用廣義Fourier級(jí)數(shù)和Parseval等式,得到了帶有移動(dòng)邊界的區(qū)域上一維波動(dòng)方程的觀測性不等式,并導(dǎo)出了觀測常數(shù)。文獻(xiàn)[24]則研究了帶有充分正則邊界函數(shù)的時(shí)變區(qū)域上一維波動(dòng)方程的邊界可觀和內(nèi)部點(diǎn)可觀。受文獻(xiàn)[13,20-21]的啟發(fā),本文通過直接在非柱形區(qū)域上使用乘子法,研究帶有混合邊界的波動(dòng)方程的穩(wěn)定與可控。

給定T>0，令

αk(t)=1+kt,t∈[0,T],k∈(0,1)

(1)

本文討論的函數(shù)空間為

(2)

其中u是狀態(tài)變量,v是控制變量,(u0,u1)∈L2(0,1)×H-1(0,1)是任意給定的初值,由[8]可知系統(tǒng)(2)有唯一的解u,且

u∈C([0,T];L2(0,αk(t)))∩

C1([0,T];H-1(0,αk(t))) 。

本文主要研究下述意義下系統(tǒng)(2)的精確能控。

定義1 系統(tǒng)(2)在T時(shí)刻是精確能控的,如果對(duì)于任給的初值(u0,u1)∈L2(0,1)×H-1(0,1),存在控制v∈L2(0,T),使得系統(tǒng)(2)在轉(zhuǎn)置意義下的解滿足:

u(T)=0,ut(T)=0 。

對(duì)于k∈(0,1),令

(3)

本文主要結(jié)果如下。

注記1易知

上式表明非柱形區(qū)域上波動(dòng)方程的控制時(shí)刻與柱形區(qū)域上的控制時(shí)刻一致。

注記2當(dāng)k=1, 即移動(dòng)端的速度等于波速時(shí),對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的精確能控問題將在后續(xù)工作中研究。

對(duì)于系統(tǒng)(2)的對(duì)偶系統(tǒng):

(4)

C1([0,T];L2(0,αk(t))) 。

接下來,定義系統(tǒng)(4)的能量為

(5)

下面給出系統(tǒng)(4)的穩(wěn)定性結(jié)果。

(6)

1 三個(gè)重要引理

為了證明本文主要結(jié)果,本文建立了三個(gè)引理。

(7)

由Gauss-Green公式得

(8)

由于ω是系統(tǒng)(4)的解,那么由邊界條件ω(αk(t),t)=0, 可導(dǎo)出

ωt(αk(t),t)= -kωx(αk(t),t)

(9)

再利用邊界條件ωx(0,t)=0,并結(jié)合(5)、(8),有

整理上式得

E(T)-E(0)=

引理1得證。

注記3不失一般性,令0

或者

(10)

因此,易得當(dāng)k∈(0,1),系統(tǒng)(4)的能量是衰減的,當(dāng)k=1,能量是恒定的。

引理2 任給T>0,ω是系統(tǒng)(4)的解,則下述等式成立:

(11)

由Gauss-Green公式得

利用(9)式,上式可整理為

進(jìn)一步

引理2證畢。

利用Cauchy不等式,可得下面的估計(jì)式。

引理3 設(shè)ω是系統(tǒng)(4)的解,對(duì)于t∈(0,T)和k∈(0,1),下述估計(jì)成立

(12)

2 主要結(jié)果的證明

定理2的證明由(10)可知

(13)

由(11)、(13)得

上式左端分部積分即得

重新安排上式可得

(14)

由(14)結(jié)合(12)可得不等式

整理得

定理2證畢。

利用系統(tǒng)(4)的邊界條件，上式整理為

再利用(9)式,

(15)

定義算子Λ:

Λ(ω0,ω1)=(u1,-u0)，

其中u0=u(0),u1=ut(0)。

F′=H-1(0,1)×L2(0,1) 。

事實(shí)上,令v(t)=ωx(αk(t),t),再結(jié)合(15)可得

(16)

因此有

〈Λ(ω0,ω1),(ω0,ω1)〉F′,F=

(17)

對(duì)于任意的(ω0,ω1)∈F都成立。再結(jié)合(6)和(7)可得

(18)

Λ(ω0,ω1)=(u1,-u0) 。

則u是系統(tǒng)(2)在控制v=ωx(αk(t),t)下的解,進(jìn)一步,(u(0),ut(0))=(u0,u1)，(u(T),ut(T))=(0,0),證畢。