吳 祎，王友仁

(南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 211106)

0 引 言

鋰離子電池由于其質(zhì)量輕、能量高、工作電壓高及使用壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于新能源交通工具、國(guó)防軍事及航空航天等領(lǐng)域。鋰離子電池通過(guò)內(nèi)部化學(xué)反應(yīng)存儲(chǔ)和釋放電能，在實(shí)際應(yīng)用中隨著內(nèi)部化學(xué)反應(yīng)的進(jìn)行，會(huì)發(fā)生一系列副反應(yīng)，導(dǎo)致電池性能逐漸退化乃至失效[1]。作為許多復(fù)雜設(shè)備的核心供電部件，鋰離子電池性能退化會(huì)影響整個(gè)系統(tǒng)的安全運(yùn)行。因此，對(duì)鋰離子電池進(jìn)行剩余壽命(Remaining Useful Life， RUL)預(yù)測(cè)已成為一個(gè)研究熱點(diǎn)問(wèn)題[2]。準(zhǔn)確預(yù)測(cè)鋰離子電池剩余壽命，可以有效預(yù)估鋰離子電池未來(lái)健康狀況，為工作人員提供維修決策和保養(yǎng)計(jì)劃，從而保證設(shè)備運(yùn)行的可靠性和安全性。

國(guó)內(nèi)外針對(duì)鋰離子電池剩余壽命預(yù)測(cè)方法，將其分為基于模型和基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法[3-4]?；谀Ｐ偷姆椒ㄒ劳杏趯?duì)電池材料屬性、負(fù)載條件和失效機(jī)制等信息建立電池性能退化模型，實(shí)現(xiàn)RUL預(yù)測(cè)[5-7]。鋰離子電池為復(fù)雜的電化學(xué)系統(tǒng)，且其經(jīng)常工作在復(fù)雜多變的環(huán)境下，難以建立精確普適的數(shù)學(xué)物理模型?；跀?shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法通過(guò)分析和挖掘電池性能退化數(shù)據(jù)中隱含的性能演變規(guī)律，基于智能學(xué)習(xí)的方法預(yù)測(cè)電池的失效故障[8]。常用的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9-10]、相關(guān)向量機(jī)等[11]。高斯過(guò)程回歸(Gaussian Process Regression， GPR)是近年來(lái)基于統(tǒng)計(jì)學(xué)理論發(fā)展而來(lái)的一種學(xué)習(xí)機(jī)[12-13]，以概率分布建立模型的先驗(yàn)分布，構(gòu)造協(xié)方差函數(shù)，通過(guò)貝葉斯框架推理進(jìn)行計(jì)算。它對(duì)處理非線性、小樣本等回歸及預(yù)測(cè)問(wèn)題具有良好的適應(yīng)性和優(yōu)越的性能[14]。

相關(guān)文獻(xiàn)表明鋰離子電池在擱置一段時(shí)間后，其可用容量會(huì)輕微回升，即出現(xiàn)容量再生現(xiàn)象[15]。因此，實(shí)際工作狀態(tài)下的鋰電池性能退化數(shù)據(jù)不僅包含整體性能退化信息，同時(shí)包括因電池?cái)R置引起的容量再生分量以及隨環(huán)境因素變化的波動(dòng)量，導(dǎo)致電池性能退化過(guò)程呈現(xiàn)非線性和時(shí)變性，使用單一模型難以對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。因此，研究人員提出基于信號(hào)分解和組合預(yù)測(cè)模型的方法來(lái)提升預(yù)測(cè)精度[16]。常用信號(hào)分解方法包括經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition， EMD)[17]、小波分解[18]等。變分模態(tài)分解(Variational Mode Decomposition， VMD)[19]是一種新型的信號(hào)分解方法，其整體框架是變分問(wèn)題，將非平穩(wěn)信號(hào)分解為數(shù)個(gè)有限帶寬的模態(tài)分量。相比常用的EMD遞歸篩模式，VMD將信號(hào)分解轉(zhuǎn)化為非遞歸、變分模態(tài)分解模式，表現(xiàn)出更好的魯棒性，同時(shí)通過(guò)收斂條件的合理控制，其分量個(gè)數(shù)也小于EMD。

針對(duì)存在容量再生情況的鋰離子電池剩余壽命精確預(yù)測(cè)問(wèn)題，本文提出基于VMD容量再生分解和高斯過(guò)程回歸的鋰電池RUL預(yù)測(cè)方法。首先，利用VMD技術(shù)將鋰離子電池容量退化數(shù)據(jù)分解為若干個(gè)不同分量，分別獲取電池退化趨勢(shì)分量、容量再生分量以及隨機(jī)波動(dòng)分量。然后針對(duì)不同特征分量的變化特點(diǎn)，構(gòu)建不同的高斯過(guò)程回歸模型，對(duì)各個(gè)分量進(jìn)行預(yù)測(cè)，并將分量進(jìn)行疊加得到最終預(yù)測(cè)值，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)鋰離子電池剩余壽命預(yù)測(cè)。

1 變分模態(tài)分解

變分模態(tài)分解的整體框架是基于維納濾波、Hilbert變換和混頻的變分問(wèn)題求解過(guò)程，可分為變分問(wèn)題構(gòu)造和求解2個(gè)部分[20]。下面分別對(duì)VMD算法中2個(gè)部分進(jìn)行介紹。

1.1 變分問(wèn)題構(gòu)造

變分問(wèn)題的核心是獲取n個(gè)模態(tài)函數(shù)un(t)，使得各模態(tài)的估計(jì)帶寬之和最小，且各模態(tài)之和等于輸入信號(hào)f，其中每個(gè)模態(tài)分量是具有中心頻率的有限帶寬。變分問(wèn)題構(gòu)建步驟具體如下：

步驟1利用Hilbert變換計(jì)算各模態(tài)函數(shù)un(t)的解析信號(hào)，以得到其單邊頻譜：

(1)

步驟2對(duì)各模態(tài)解析信號(hào)混合預(yù)估中心頻率e-jωnt，將模態(tài)的頻譜調(diào)制到相應(yīng)的基頻帶：

(2)

步驟3計(jì)算上述信號(hào)梯度的平方L2范數(shù)，估計(jì)各模態(tài)信號(hào)帶寬，則受約束的變分問(wèn)題可表達(dá)為：

(3)

其中,?t表示對(duì)t求偏導(dǎo)數(shù)，δ(t)為沖擊函數(shù)。

1.2 變分問(wèn)題求解

通過(guò)引入拉格朗日乘子γ(t)和二次懲罰因子α，將公式(3)轉(zhuǎn)換為非約束變分問(wèn)題，得到增廣拉格朗日函數(shù)為：

(4)

(5)

2 高斯過(guò)程回歸

f(x)～GP(m(x),k(xi,xj))

(6)

在觀測(cè)目標(biāo)中考慮噪聲，可建立高斯過(guò)程回歸一般模型，即：

y=f(x)+ε

(7)

其中,ε為獨(dú)立高斯白噪聲，符合高斯分布ε～N(0,σ2)。

由于f(x)服從高斯分布，則y也服從高斯分布，有限觀測(cè)值y的聯(lián)合分布集合可形成一個(gè)新的高斯過(guò)程，表示為：

(8)

其中,δij為Kronecker delta函數(shù)，當(dāng)i=j時(shí)，δij=1，否則δij=0。

上述高斯過(guò)程以矩陣形式可表示為：

(9)

其中,I表示N階的單位矩陣，X=[x1,x2,…,xN]T，Y=[y1,y2,…,yN]T，K(X,X)表示N×N的協(xié)方差矩陣，其元素Kij=k(xi,xj)。

給定測(cè)試樣本x*，GPR在給定訓(xùn)練數(shù)據(jù)集內(nèi)，首先根據(jù)貝葉斯原理建立先驗(yàn)函數(shù)，然后在測(cè)試數(shù)據(jù)集下轉(zhuǎn)變?yōu)楹篁?yàn)分布，則訓(xùn)練輸出向量和測(cè)試輸出向量的聯(lián)合分布為：

(10)

其中,K(x*,X)=KT(X,x*)為測(cè)試樣本與訓(xùn)練樣本之間的協(xié)方差矩陣。

因此，可以計(jì)算出測(cè)試樣本x*的預(yù)測(cè)輸出f(x*)的后驗(yàn)分布。

f(x*)|X,Y,x*～N(m*,cov(f(x*)))

(11)

m*=E[f*|X,Y,x*]

(12)

cov (f(x*))=K(x*,x*)-

(13)

其中，m*為預(yù)測(cè)值f(x*)的均值，即為GPR回歸模型的輸出。

在高斯過(guò)程回歸中可選擇不同的協(xié)方差函數(shù)(即核函數(shù))。常用的協(xié)方差函數(shù)包括平方指數(shù)協(xié)方差函數(shù)和周期協(xié)方差函數(shù)，分別定義如下：

(14)

(15)

模型訓(xùn)練過(guò)程即為尋求最優(yōu)超參數(shù)過(guò)程，一般通過(guò)極大似然法優(yōu)化獲取。GPR模型求對(duì)數(shù)似然函數(shù)可得：

(16)

通過(guò)式(16)對(duì)θ求偏導(dǎo)可得：

(17)

3 利用VMD和GPR的鋰離子電池剩余壽命預(yù)測(cè)

圖1 基于VMD和GPR的鋰離子電池剩余壽命預(yù)測(cè)流程圖

本文提出基于VMD容量再生分解和GPR的鋰離子電池剩余壽命預(yù)測(cè)方法。首先，采用VMD將鋰電池原始容量退化數(shù)據(jù)分解為多個(gè)分量；然后針對(duì)不同分量的變化規(guī)律，選取合適的協(xié)方差函數(shù)，構(gòu)建GPR預(yù)測(cè)模型，獲取各分量預(yù)測(cè)值；最后將預(yù)測(cè)結(jié)果疊加，獲取最終原始容量預(yù)測(cè)值。其流程如圖1所示，具體包括如下步驟：

步驟1獲取不同循環(huán)周期下的鋰離子電池放電容量退化數(shù)據(jù){C1,C2,…,Cl}，其中1,…,l為對(duì)應(yīng)的循環(huán)周期數(shù)。

步驟2以T周期作為預(yù)測(cè)起始點(diǎn)，基于1～T周期的數(shù)據(jù)進(jìn)行模型訓(xùn)練，以T周期之后的數(shù)據(jù)驗(yàn)證預(yù)測(cè)模型。

步驟3采用VMD對(duì)原始容量數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，得到各模態(tài)分量IMF1,…,N，其中殘余分量(IMF1)表示電池整體退化趨勢(shì)，細(xì)節(jié)分量(IMF2～I(xiàn)MFN)可表示容量再生和隨機(jī)波動(dòng)。

步驟4針對(duì)能反映電池整體退化趨勢(shì)的分量(IMF1)，其具有單調(diào)性和平穩(wěn)性，因此以循環(huán)周期數(shù)作為模型輸入，分量作為模型輸出，選取平方指數(shù)協(xié)方差函數(shù)，構(gòu)建退化趨勢(shì)分量的GPR預(yù)測(cè)模型，即：

IMF1=GPR1(cycle)

(18)

步驟5對(duì)于反映容量再生和隨機(jī)波動(dòng)的分量，其通常與循環(huán)周期無(wú)關(guān)，呈現(xiàn)一定周期性，因此選取周期協(xié)方差函數(shù)，選擇前h時(shí)刻的分量作為模型輸入，第h+1時(shí)刻的分量作為模型輸出，構(gòu)建細(xì)節(jié)分量的GPR預(yù)測(cè)模型，即：

IMFi(h+1)=GPRi(IMFi(1),…,IMFi(h))

(19)

步驟6將各分量的預(yù)測(cè)結(jié)果相加，即可得到最終預(yù)測(cè)結(jié)果。將預(yù)測(cè)結(jié)果與失效閾值(通常定義為標(biāo)稱容量×70%)進(jìn)行對(duì)比，判定鋰離子電池健康狀況。若預(yù)測(cè)值超過(guò)失效閾值，則判定鋰離子電池失效，獲取電池剩余壽命；反之，電池仍處于正常工作范圍內(nèi)，繼續(xù)對(duì)容量進(jìn)行預(yù)測(cè)。

4 實(shí)驗(yàn)分析

鋰離子電池容量退化數(shù)據(jù)來(lái)自于NASA研究中心[22]，實(shí)驗(yàn)對(duì)象為18650鋰離子電池(額定容量為2 Ah)，實(shí)驗(yàn)中采用標(biāo)準(zhǔn)充電方式對(duì)電池進(jìn)行滿充，然后采用2 A放電電流對(duì)電池進(jìn)行恒流放電，每個(gè)實(shí)驗(yàn)電池放電至不同截止電壓，但均以放電至2.7 V的容量作為每個(gè)循環(huán)周期的放電容量，將額定容量的70%作為電池失效閾值(即1.4 Ah)。本文以電池B5和電池B7為例，對(duì)所提預(yù)測(cè)方法進(jìn)行分析和驗(yàn)證，電池容量退化曲線如圖2所示，由圖可知隨著循環(huán)周期數(shù)的增大，電池容量并非單調(diào)下降，在部分周期容量出現(xiàn)回升現(xiàn)象。

圖2 鋰離子電池容量退化曲線

設(shè)定VMD分解子序列數(shù)為6，圖3為對(duì)電池B5和B7進(jìn)行VMD分解效果圖。由圖3可以發(fā)現(xiàn)，IMF1可以很好地反映電池隨著循環(huán)周期增大的整體退化趨勢(shì)，而IMF2與電池容量局部再生分量相吻合，IMF3～I(xiàn)MF6反映由干擾因素造成的電池退化過(guò)程中隨機(jī)波動(dòng)分量，這表明采用VMD可有效解耦容量退化數(shù)據(jù)中的不同信息分量，并降低信號(hào)的復(fù)雜性和非平穩(wěn)性。

(a) 電池B5

(b) 電池B7

以1～100循環(huán)周期的容量作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，采用本文所提方法對(duì)各分量進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)于細(xì)節(jié)分量，選取前10時(shí)刻的容量作為模型輸入，第11時(shí)刻的容量作為模型輸出，以訓(xùn)練模型。隨機(jī)初始化模型超參數(shù)，均值函數(shù)均采用線性函數(shù)。

為比較所提方法(VMD-GPR)的預(yù)測(cè)性能，在相同的測(cè)試條件下，采用GPR對(duì)未進(jìn)行VMD分解的容量退化數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，分別選用單一平方指數(shù)協(xié)方差函數(shù)(SE-GPR)、平方指數(shù)和周期協(xié)方差函數(shù)組合(Com-GPR)構(gòu)建GPR模型。為定量評(píng)估不同方法的預(yù)測(cè)性能，采用平均絕對(duì)百分誤差(Mean Absolute Percentage Error， MAPE)和均方根誤差(Root Mean Square Error， RMSE)評(píng)估容量未來(lái)趨勢(shì)預(yù)測(cè)結(jié)果，采用絕對(duì)誤差(Absolute Error， AE)評(píng)估剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果，評(píng)價(jià)指標(biāo)如下式所示。

(20)

(21)

AE=|RUL-RULpre|

(22)

其中，C′(i)為容量預(yù)測(cè)值，C(i)為容量真實(shí)值，L為預(yù)測(cè)點(diǎn)數(shù)，RUL為剩余壽命真值，RULpre為剩余壽命預(yù)測(cè)值。

圖4分別給出了基于不同方法對(duì)電池B5和B7進(jìn)行容量預(yù)測(cè)的結(jié)果。由圖可知，3種預(yù)測(cè)方法均可有效預(yù)測(cè)電池容量的未來(lái)變化趨勢(shì)，基于SE-GPR方法僅可獲取容量的整體退化趨勢(shì)；Com-GPR優(yōu)于SE-GPR方法，其可預(yù)測(cè)電池部分隨機(jī)波動(dòng)分量，但未能準(zhǔn)確跟蹤電池容量再生分量；而基于VMD-GPR方法的容量預(yù)測(cè)曲線最接近真實(shí)容量曲線，其能同時(shí)預(yù)測(cè)電池整體退化趨勢(shì)和局部再生現(xiàn)象。這表明通過(guò)對(duì)容量進(jìn)行分解，針對(duì)不同分量建立預(yù)測(cè)模型，能更好地挖掘數(shù)據(jù)內(nèi)在規(guī)律，提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。

(a) 電池B5

(b) 電池B7

表1分別給出了基于不同方法的2個(gè)電池預(yù)測(cè)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。針對(duì)容量未來(lái)趨勢(shì)預(yù)測(cè)結(jié)果，基于組合協(xié)方差函數(shù)(Com-GPR)的預(yù)測(cè)精度優(yōu)于基于單一協(xié)方差函數(shù)(SE-GPR)的預(yù)測(cè)精度，而本文所提方法的MAPE和RMSE均小于基于原始容量進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果，表明其對(duì)容量的預(yù)測(cè)性能最優(yōu)。針對(duì)剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果，基于VMD-GPR的預(yù)測(cè)絕對(duì)誤差最小，以電池B7為例，基于SE-GPR、Com-GPR和VMD-GPR的剩余壽命預(yù)測(cè)絕對(duì)誤差分別為33周期、23周期和14周期。由此可見(jiàn)，本文方法在各循環(huán)周期點(diǎn)上的容量預(yù)測(cè)值與實(shí)際容量的接近程度最高，從而為準(zhǔn)確計(jì)算鋰電池剩余壽命提供了基礎(chǔ)，使得剩余壽命預(yù)測(cè)精度最高。

表1 不同方法的預(yù)測(cè)性能對(duì)比

電池評(píng)價(jià)指標(biāo)SE-GPRCom-GPRVMD-GPRB5MAPE0.09290.03200.0167RMSE0.14480.04710.0267RUL絕對(duì)誤差14137B7MAPE0.06330.03660.0195RMSE0.10600.06240.0364RUL絕對(duì)誤差332314

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)存在容量再生問(wèn)題的鋰離子電池剩余壽命準(zhǔn)確預(yù)測(cè)問(wèn)題，提出了一種基于VMD容量再生分解和GPR的鋰離子電池剩余壽命預(yù)測(cè)方法。

1)利用VMD分解技術(shù)將隨機(jī)多變的原始容量退化數(shù)據(jù)分解為多個(gè)特征分量，從而降低數(shù)據(jù)的復(fù)雜性和不穩(wěn)定性，并解耦獲取電池退化趨勢(shì)分量及容量再生分量。

2)針對(duì)不同的分量特征，分別選取合適的協(xié)方差函數(shù)和模型形式，構(gòu)建GPR預(yù)測(cè)模型，以提高單個(gè)分量預(yù)測(cè)精度。

3)通過(guò)NASA電池實(shí)例分析表明，VMD-GPR預(yù)測(cè)方法可以更好地預(yù)測(cè)未來(lái)容量的變化規(guī)律，從而有效提高鋰離子電池剩余壽命預(yù)測(cè)精度。