【摘 要】很多學生都知道感應電動勢的大小與磁通量的變化率成正比，但卻經(jīng)常認識不到其與線圈電阻的關(guān)系，導致對一些電磁感應現(xiàn)象的理解不到位。本文從自感電動勢與線圈電阻的關(guān)系入手，深入分析自感現(xiàn)象，并辨析自感電動勢的三個公式，強調(diào)大學電磁學理論知識對高中物理教學的指導意義。

【關(guān)鍵詞】電磁感應;自感電動勢;磁通量;線圈電阻;自感系數(shù)

【中圖分類號】G633.7? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2020）28-0091-02

高中物理教材在電磁學方面由于數(shù)學知識、篇幅限制等原因編寫得比較簡潔，所以相當多的師生對這方面的研究不夠深入，對電磁感應現(xiàn)象的本質(zhì)不太了解，導致對一些電磁感應現(xiàn)象及試題的理解不夠準確。如下面兩個問題。

例1 斷電自感現(xiàn)象中（如圖1）線圈的自感系數(shù)L越大，斷電瞬間自感電動勢是不是越大？

例2 斷電自感現(xiàn)象中線圈的匝數(shù)n越大，斷電瞬間自感電動勢是不是越大？

對于以上問題，不管是學生還是教師都可能出現(xiàn)理解或解答錯誤。錯誤的原因是不能正確選擇運用自感電動勢的三個公式，而不會運用的原因就是對電磁感應的本質(zhì)認識不夠。下面再看一道出錯率很高的典型

例題。

例3 當線圈中的磁通量發(fā)生變化時，下列結(jié)論正確的是（? ?）

A.線圈中一定有感應電動勢

B.線圈中一定有感應電流

C.線圈中感應電動勢的大小跟線圈的電阻有關(guān)

D.線圈中感應電流的大小跟線圈回路的電阻有關(guān)

答案是A、D，但對于選項C，很多解析認為感應電動勢的大小只與磁通量的變化率成正比，而與線圈的電阻無關(guān)，這其實并不準確。

1? ?電磁感應現(xiàn)象中自感電動勢的三個公式

自感屬于電磁感應現(xiàn)象中的一種，當然也要符合電磁感應的規(guī)律，第一個公式就是電磁感應普遍公式eL= n，表明的是感應電動勢與線圈匝數(shù)成正比，與穿過回路的磁通量的變化率成正比，也適用于自感電動勢;第二個公式是專門對于自感現(xiàn)象，即由于線圈自身電流變化引起的電磁感應現(xiàn)象，其自感電動勢公式為：eL=-L，

即自感電動勢與自感系數(shù)成正比，與電流的變化率成正比，其中L跟線圈的長短、粗細以及有無鐵芯（插入鐵芯會使自感系數(shù)大大增加）等有關(guān);第三個公式是根據(jù)閉合電路歐姆定律關(guān)系得到的自感電動勢可表示為：eL=i（R+RL），其中eL為線圈的自感電動勢，i為燈泡和線圈回路中的電流，R為燈泡的電阻（本文中R保持不變），RL為線圈的直流電阻。這三個公式高中階段都有學過[1]。

2? ?選用公式解釋相關(guān)困難

先看例1：“斷電自感現(xiàn)象中（如圖1）線圈的自感系數(shù)L越大，斷電瞬間自感電動勢是不是越大？”（注意本題只問“斷電瞬間”）大多數(shù)師生認為第一個公式不太方便解釋，一般也沒想用第三個公式，基本都會用第二個公式eL=-L解釋，認為L越大，斷電瞬間自感電動勢就越大。實際上要具體分析，如只通過在線圈中插入鐵芯來增大自感系數(shù)L（插入鐵芯L將大大增加）時，斷電瞬間自感電動勢并不像大多數(shù)人所想的電動勢也大大增加，反而跟沒有鐵芯時是一樣大的。而如果是像例2通過增加匝數(shù)n（一般也就增加了線圈的直流電阻RL），則斷電瞬間自感電動勢就會更大，但是自感電動勢會增大不是因為n，而是因為RL，即如果增大n，RL卻沒有改變時（如改變線圈材質(zhì)）斷電瞬間自感電動勢也是不變的[2]。

3? ?以大學電磁學理論知識為指導深入分析自感現(xiàn)象

聯(lián)系大學電磁學的一些基本知識，假設(shè)電源內(nèi)阻不計，連接電源穩(wěn)定時，線圈中的電流I0=，斷開電源后線圈產(chǎn)生自感電動勢eL=-L，根據(jù)閉合電路歐姆定律有eL=i（R+RL），可得微分方程i（R+RL）=-L，求解可得：回路中電流，線圈自感電動勢。由上述推導可得：斷電瞬間即t=0時，=1，回路中的電流仍為連接電源穩(wěn)定時的I0（最大），與燈泡的電阻R無關(guān);且t=0時，對應線圈自感電動勢為峰值I0（R+RL）（以后回路電流、線圈自感電動勢將都以指數(shù)函數(shù)的規(guī)律衰減）?？煽闯觯愿须妱觿莘逯稻谷慌c線圈的L無關(guān)，而不管是斷電瞬間的自感電動勢峰值I0（R+RL），還是以后任意時刻的自感電動勢，均與小燈泡R及線圈的電阻RL有關(guān)。

4? ?得出結(jié)論

結(jié)合三個公式，可以發(fā)現(xiàn)解釋例1實際上直接用第三個公式eL=I0（R+RL）就可以了。那么是不是和另兩個公式矛盾呢？非也，自感現(xiàn)象也是電磁感應的一種，自感電動勢當然跟磁通量的變化率有關(guān)。從上面的推導可知，斷電以后就是因為這個指數(shù)項限制了電流的變化快慢，線圈中的磁場是由電流產(chǎn)生的，因此也就限制了磁通量變化的快慢，導致自感電動勢以指數(shù)函數(shù)的規(guī)律減小。而t=0時，=1，指數(shù)項中的無論大小，與等于0的t相乘結(jié)果為0，或者說R、RL、L還沒起作用而已，也就是由于線圈的作用，電流的變化受到阻礙，必須從原值開始變化，即電流不能突變，斷電瞬間電流仍為原值I0，與第一個公式并沒有矛盾。上述分析同時也解釋了第二個公式的運用問題，在公式eL=-L中，改變L的同時，也影響了，L增大電流變化就慢，相應就小，即不能只考慮L的影響。綜上所述，本文一開始提出的問題例1和例2，都必須進行討論分析：如果只在線圈中插入鐵芯增大自感系數(shù)L，由于RL不變，由eL=I0（R+RL）可知斷電瞬間自感電動勢與沒有鐵芯時一樣大;如果是通過增大匝數(shù)n增大L，由eL=I0（R+RL）可知斷電瞬間自感電動勢與n并沒有直接關(guān)系，只跟線圈直流電阻RL有關(guān)，正常情況下匝數(shù)增大RL也會增大，斷電瞬間自感電動勢的值就會增大，除非更換材料恰好n增加而RL不變，那么斷電瞬間自感電動勢也不變。

5? ?進一步思考

通電自感或者其它自感也是類似的規(guī)律，對大部分學生來說只需要抓住兩點即可：①電流都是從原值開始變化;②自感電動勢滿足閉合電路歐姆定律。另外，明白了電流從原值開始變化也就能進一步理解斷電自感實驗中的小燈泡會閃亮一下再逐漸熄滅的原因。電磁感應現(xiàn)象中還有很多需要深入思考的方面，如匝數(shù)n不影響斷電瞬間的自感電動勢的大小，那n影響什么？其實通過前面的分析，已知n會影響自感現(xiàn)象持續(xù)的時間，就像斷電自感實驗中觀察到小燈泡逐漸熄滅的過程能維持更久些。

再如例3中選項C的解釋，要通過比較磁通量改變快慢和RL電路的時間常數(shù)τ（τ=）對電路的影響才能得出結(jié)論。在前面的分析中，我們得出了自感電流;當t=0時，i=I0;當t=∞時，i=0;當t==τ時，i=0.37I0，τ為RL電路的時間常數(shù)（即電流從I0減小為0.37I0所需要的時間），它的大小決定了電流衰減的快慢，τ越小，電流衰減越快。

自感電動勢當然取決于磁通量的變化率，但是磁通量的變化率有時與線圈的電阻無關(guān)（如緩慢調(diào)節(jié)滑動變阻器時），有時與線圈的電阻有關(guān)（如斷開開關(guān)或快速調(diào)節(jié)滑動變阻器時）。前一種情況自感電動勢與線圈的電阻無關(guān)，而后一種情況自感電動勢就與線圈的電阻有關(guān)了。因此，例3也隱含著需要討論的內(nèi)容。

前面的推導過程對一般高中學生是不做要求的，碰到類似問題教師可以指導他們直接選用相應知識、公式解題，對于學有余力的學生，則可以嘗試適當滲透這方面的電磁知識。但教師還是要注意多以大學電磁學理論知識為指導，這樣無論是在試題講解，還是在分析其它電磁感應現(xiàn)象，才能做到心中有數(shù)，不犯科學性錯誤。

【參考文獻】

[1]司南中學物理教材編寫組.普通高中課程標準實驗教科書物理（選修3-2）（第三版）[M].濟南：山東科技出版社（魯科版），2011.

[2]王文福.論自感電動勢定量測量的科學性[J].新課程，2013（6）.