夏天，周燕飛，張翔，王立超

(南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京 210016)

0 引言

液壓馬達的裝配過程是其生命周期中極其重要的一個階段。裝配質量的好壞可以影響著液壓馬達的性能與效率，而在整個階段中，裝配公差又直接決定著液壓馬達的裝配成功率以及經(jīng)濟性[1]。因此，為了獲得理想的結果，設計者必須深入研究液壓馬達裝配階段的公差問題，從而提高液壓馬達性能，降低成本。

一般的裝配就是指將實際零件進行組裝安排的過程，裝配結束后，可以利用真實的液壓馬達來實現(xiàn)產品的檢驗和評價。在此之后，任何對于液壓馬達的改動，都需要重新對零部件進行設計與制造。因此，如果液壓馬達裝配公差設計得不合理，不僅不能滿足裝配準確度的要求，而且也會導致返工或修改，使得裝配成功率降低，浪費大量人力、時間等，甚至會影響液壓馬達的安全使用與使用壽命，所以要對液壓馬達進行公差分析。

公差分析，不僅可以用于分析裝配尺寸鏈的公差，同時也可稱為公差累積分析，是在裝配體零部件的結構和尺寸變動范圍都已明晰的情況下，計算封閉環(huán)的尺寸范圍，它初始以二維圖樣為基礎，利用尺寸鏈和公差帶進行計算。這種傳統(tǒng)的計算手段與方法，不僅工作量龐大、效率低，而且校核起來也十分困難，因此需要對計算方法進行優(yōu)化。

公差分析有極值法和統(tǒng)計法。統(tǒng)計法以概率論為計算的數(shù)學理論依據(jù)，針對組成環(huán)的分布特征，進行計算分析封閉環(huán)尺寸，與極值法相比，更具有實際性。

國內外學者做了大量的研究，SALOMON參與研發(fā)的FROOM系統(tǒng)被用于二維尺寸鏈的公差分析[2]。TAGUCHI通過“三種水平析因試驗”計算出變量對應的函數(shù)以及各階中心距，確定封閉環(huán)尺寸公差[3]。陳飛、徐學林對尺寸鏈中形位公差的應用有著大量的貢獻[4]，張煒在此基礎之上對其進行了更為深入的研究[5]。

本文研究的是有關形位公差的具體公差分析，利用公差原則來處理形位公差和尺寸公差之間的關系[6-7]，通過使用極值法、蒙特卡洛法進行分析比較，在此過程中對于結果采用“3σ”原則。

1 理論分析

裝配公差分析時，如果是想要將形位公差作為組成環(huán)的一部分，就需要學會處理形位公差與尺寸公差的關系。

公差原則主要是用來分析形位、尺寸在尺寸鏈中的關系，準確地說，是利用相關原則來解決二者之間的關系。公差原則包含獨立原則、包容原則、最大實體原則和最小實體原則。它們利用被測要素所要按照的界限不一樣而進行辨別[8]。

包容原則用于確保孔、軸之間的相互配合，它對于公差配合的要求是很高的。包容原則利用最大實體界限來分析孔、軸的配合所要的間隙或者過盈情況。形位公差不會對封閉環(huán)有著影響，在尺寸鏈的建立過程中，只需知道裝配零部件的尺寸及公差，其對應的形位公差不需要放入尺寸鏈中。

獨立原則是指圖樣上的相關公差都是各自獨立的，它們之間沒有相互關系，只要實現(xiàn)規(guī)定的要求即可。由于沒有其特有的符號，一般情況如果沒有標注其他原則，就可以認為是根據(jù)獨立原則。尺寸公差只影響實際尺寸的改變，它將尺寸限定在確定的極限范圍內，影響不到形狀和位置公差。形位公差可以影響到零件的形狀和位置，但和尺寸公差沒有關系。在進行尺寸鏈的計算分析中，不僅要將尺寸公差放入其中，還需要將形位公差也作為尺寸鏈的一部分進行計算。

當零部件按獨立原則進行設計分析時，形位公差上、下偏差如果是對稱的，那么就可以將它作為增環(huán)或者說是減環(huán)，它們對封閉環(huán)的影響水平是一樣的，它們的尺寸表示為 0±T(其中T為封閉環(huán)公差 )。

2 計算方法

對于公差分析來說，可以選擇兩種方法來進行計算，第一種是極值法。極值法以零部件的完全互換性為出發(fā)點來進行分析計算，是利用各個組成環(huán)尺寸的最大值、最小值來求解封閉環(huán)的計算方式，即只分析組成環(huán)都是極限偏差值的情況。只要組成環(huán)的公差在允許的尺寸范圍里，那么產品就是符合規(guī)范的。

極值法計算公式：

式中：Mi為増環(huán)尺寸；Ni為減環(huán)尺寸；m為增環(huán)數(shù)；n為總環(huán)數(shù)，由上式得封閉環(huán)的極值公式如下：

極值法，是一種比較直接的計算方法，是指組成環(huán)尺寸都是處于最大或者最小極限值的情況。在尺寸鏈計算中，極限法能夠完全保證產品的使用要求與規(guī)范。極值法考慮的極端情況，在試驗中出現(xiàn)的概率幾近為0。使用極值法進行公差分析，會使零部件加工成本變大，經(jīng)濟性和實用性不是很好。極值法雖然簡單準確，但也需要分析其適用范圍和利害關系，因此極值法不是最優(yōu)的方法。它可以應用于那些加工公差等級要求高、生產經(jīng)濟性差的重要產品中。

蒙特卡洛法[9]是以概率論為數(shù)學理論基礎，通過對隨機變量進行大量的統(tǒng)計實驗，模擬隨機數(shù)據(jù)來求解問題的數(shù)值方法。在機械加工中，生產加工出來的液壓馬達零件尺寸公差都根據(jù)正態(tài)分布。正態(tài)分布N(μ,σ) 的隨機數(shù)與[0,1] 均勻分布的隨機數(shù)可以相互轉換，假定在[0,1]上，有2個組成環(huán)尺寸(公差)的隨機數(shù)R1、R2，它們相互獨立，則滿足N(0,1) 的組成環(huán)尺寸的隨機數(shù)R1、R2為：

相對應的正態(tài)分布N(μ,σ)上的隨機數(shù)T1、T2為：

當組成環(huán)的尺寸出現(xiàn)極值時，所求的封閉環(huán)尺寸也是極值。想要避免小概率事件的出現(xiàn)，就要對封閉環(huán)尺寸進行處理，選擇采用“3σ”原則，即對于隨機數(shù)不在(μ-3σ，μ+3σ)區(qū)間的值進行舍去。封閉環(huán)公差為：

式中A0max、A0min為封閉環(huán)極限值。

3 計算過程

本文以擺線液壓馬達擺線輪(圖1)為實例，進行實際數(shù)據(jù)計算與分析，采用獨立原則來分析尺寸公差與形位公差之間的關系。

圖1 擺線液壓馬達結構圖

不考慮幾何公差的設計函數(shù)是：

A0=A1+A2-A3-A4

考慮幾何公差后的設計函數(shù)是：

A0=A1+A2-A3-A4-f1-f2

圖2 尺寸鏈

批量加工零部件的尺寸公差呈正態(tài)分布，某些幾何誤差的分布屬于偏心分布，即形位公差按照瑞麗分布。

在 MATLAB中編制簡單的程序來實現(xiàn)公差分析的蒙特卡洛模擬。分別進行1000次、10000次以及50000次抽樣，其結果分別見圖3、圖4、圖5。數(shù)據(jù)整理以后的結果見表1。

表1 基于蒙特卡洛的公差計算結果

圖3 抽樣1000次的公差隨機分布圖

圖4 抽樣10000次的公差隨機分布圖

圖5 抽樣50000次的公差隨機分布圖

考慮幾何公差以及未考慮幾何公差的封閉環(huán)計算結果都需要遵循“3σ”原則。

從上述表格可以看出，進行公差分析時，考慮到形位公差計算出來的公差范圍比沒有考慮到的時候更大，如圖6、圖7所示，這是由于形位誤差表現(xiàn)為配合表面形狀上的變化。在線性尺寸鏈計算時考慮理想表面的接觸方式，忽略了幾何變動對接觸點的影響。

圖6 未考慮形位公差的封閉環(huán)公差

圖7 考慮形位公差的封閉環(huán)公差

4 結語

對于液壓馬達裝配進行公差分析時，使用極值法、蒙特卡洛法進行理論計算和仿真分析后，可以看出，液壓馬達中的形位公差對其封閉環(huán)公差影響較大，在實際液壓馬達裝配中，如果需要精確地進行分析計算，考慮形位公差的影響是很有必要的。如果沒有將形位公差放入尺寸鏈的計算當中，求得結果也只是估算值，只有考慮分析了形位公差后，計算結果才會更加接近實際。同時引入了“3σ”原則，使得到的公差精度更高。