徐小明，常高奇

（中交第一航務(wù)工程勘察設(shè)計(jì)院有限公司，天津 300222）

引 言

京津冀地區(qū)粘性土特別是軟土具有承載力低、壓縮性高、滲透性低等特點(diǎn)，屬于典型的第四紀(jì)全新世濱海沉積，研究土體受到荷載作用后的最終破壞狀態(tài)便尤為重要，因此大部分情況下可以在不考慮時(shí)間對(duì)土的應(yīng)力-應(yīng)變和強(qiáng)度的影響，研究土的受力變形發(fā)展。為便于研究天津?yàn)I海新區(qū)地層土體的變形特性，進(jìn)行土的非線性應(yīng)力變形計(jì)算，需采用研究形式較易于推廣、涉及參數(shù)可以通過(guò)試驗(yàn)獲得、能夠較好的反應(yīng)土體變形的本構(gòu)模型?；趶V義胡克定律的線彈性理論形式簡(jiǎn)單、參數(shù)少、物理意義明確，在許多工程領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用，但由于天津?yàn)I海新區(qū)地層情況以及工程建設(shè)對(duì)土體變形的要求較大，因此采用非線性彈性理論對(duì)土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行研究。1963年，康納通過(guò)雙曲線擬合出土的三軸試驗(yàn)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線，之后鄧肯等人在此基礎(chǔ)上提出了增量彈性模型，即鄧肯-張（Duncan-Chang）模型。孫谷雨對(duì)南京地區(qū)土樣在凍結(jié)狀態(tài)下進(jìn)行三軸固結(jié)排水（CD）試驗(yàn)，并對(duì)進(jìn)行鄧肯-張模型參數(shù)進(jìn)行研究分析[1]；張?jiān)频韧ㄟ^(guò)大量土樣的三軸固結(jié)排水（CD）中得到上海各主要土層的鄧肯-張模型參數(shù)，并進(jìn)行線性分析，得出其模型參數(shù)的取值特點(diǎn)以及變化規(guī)律[2]；羅剛等對(duì)鄧肯-張非線性彈性模型進(jìn)行了一定的改進(jìn)[3]。該模型可以很好的反映土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的非線性變形特性，其參數(shù)可以通過(guò)室內(nèi)三軸試驗(yàn)獲得，本文將在前人學(xué)者的研究基礎(chǔ)上，對(duì)于天津?yàn)I海新區(qū)土層的鄧肯-張模型參數(shù)進(jìn)行理論計(jì)算，并分析研究。以期望可以很好地反映天津?yàn)I海新區(qū)地層的變形特性。

本文以天津?yàn)I海新區(qū)地層為研究對(duì)象，根據(jù)室內(nèi)土工試驗(yàn)結(jié)果以及該地區(qū)地層情況，選取具有代表性地層的土樣進(jìn)行室內(nèi)三軸固結(jié)排水（CD）試驗(yàn)，獲得不同地層的鄧肯-張模型參數(shù)，并進(jìn)行分析探討，得出該地區(qū)鄧肯-張模型參數(shù)規(guī)律，為今后的工程建設(shè)涉及地層變形特性研究提供借鑒。

1 鄧肯-張模型參數(shù)的確定

康納提出的利用雙曲線來(lái)擬合土體常規(guī)三軸試驗(yàn)的偏應(yīng)力與軸應(yīng)變的關(guān)系曲線，即：

將式（1）變形后可得：

繪制以1ε為橫坐標(biāo)，以為縱坐標(biāo)的散點(diǎn)圖，若式（2）看作是以1ε為自變量，以為因變量的一次函數(shù)，可將這些散點(diǎn)近似擬合成為線性關(guān)系。其中a為直線的截距，b為直線的斜率。

在常規(guī)三軸試驗(yàn)過(guò)程中，2σ、3σ為定值，即dσ2=dσ3=0，則土樣的切線模量可表示為：

在式（3）中，當(dāng)ε1→0+時(shí)，土樣的起始變形模量；在式（1）中，當(dāng)ε1→+∞時(shí)，土樣的極限偏差應(yīng)力值。即在截距a可看作是土樣在三軸試驗(yàn)中的起始切線模量Ei的倒數(shù)，斜率b可看作是土樣在三軸試驗(yàn)中的極限偏差應(yīng)力(σ1-σ3)ult的倒數(shù)。

對(duì)實(shí)際的三軸試驗(yàn)應(yīng)力應(yīng)變曲線而言，ε1并不能無(wú)限大，因此(σ1-σ3)ult的值難以確定，為解決這一難題，引入破壞比Rf。當(dāng)該曲線有峰值時(shí)，則土的破壞偏差應(yīng)力(σ1-σ3)f=(σ1-σ3)峰值；當(dāng)曲線沒(méi)有峰值時(shí)，可根據(jù)一定的應(yīng)變值（通常取ε1=15%）對(duì)應(yīng)的偏差應(yīng)力為(σ1-σ3)f。此時(shí)破壞比公式為：

根據(jù)Janbu經(jīng)驗(yàn)公式：

以及摩爾-庫(kù)倫強(qiáng)度準(zhǔn)則，則有：

將式（2）、（4）、（5）、（6）帶入式（3）得出鄧肯-張模型土的切線變形模量表達(dá)式：

式中：Pa為大氣壓，一般取Pa=101.3 kPa；σ1-σ3為主應(yīng)力差（kPa）；φ為土的內(nèi)摩擦角（°）；c為土的內(nèi)聚力（kPa）；Rf為破壞比，無(wú)量綱；(σ1-σ3)f為土樣破壞時(shí)的偏差應(yīng)力值，（kPa）；(σ1-σ3)ult為土樣應(yīng)變很大時(shí)的極限偏差應(yīng)力值，（kPa）；K、n為鄧肯-張模型中材料參數(shù)，無(wú)量綱。

鄧肯-張模型土的體積變形模量B，其大小可通過(guò)三軸試驗(yàn)結(jié)果確定，計(jì)算公式為：

式中：(σ1-σ3)70%和(εV)70%分別表示當(dāng)(σ1-σ3)達(dá)到(σ1-σ3)f的70%時(shí)，相應(yīng)的土樣的偏差應(yīng)力和體應(yīng)變。由此可知，圍壓一旦確定，體積變形模量B就是定值，因此，體積變形模量B是與圍壓有關(guān)的常數(shù)，鄧肯-張模型中土的體積變形模量B表達(dá)式為：

由式（8）、（9）可知，鄧肯-張模型中的參數(shù)共7個(gè)，分別是c、φ、Rf、K、Kb、n、m。

以天津?yàn)I海新區(qū)粉質(zhì)粘土層土樣的三軸固結(jié)排水試驗(yàn)為例，分別計(jì)算其鄧肯-張模型參數(shù)。

1.1 參數(shù)c、φ的確定

表1 偏差應(yīng)力計(jì)算

圖1 應(yīng)力差強(qiáng)度包線

以第③層粉質(zhì)粘土為例，取該土樣(σ1-σ3)f為軸向應(yīng)變?cè)?5%時(shí)對(duì)應(yīng)的偏差應(yīng)力，表1所示為不同圍壓下的土樣破壞時(shí)偏差應(yīng)力計(jì)算，其中σ1f為土樣破壞時(shí)的軸應(yīng)力值。圖1為該土樣的應(yīng)力差強(qiáng)度包線，則該土樣的c=46 kPa、φ=29.6°。

1.2 參數(shù)Rf的確定

為便于確定參數(shù)Rf，需引入?yún)?shù)S，定義參數(shù)S為應(yīng)力水平，其計(jì)算公式為：

在用一次函數(shù)擬合以1ε為橫坐標(biāo)，以為縱坐標(biāo)的散點(diǎn)圖時(shí)，其相關(guān)系數(shù)往往小于1，這是因?yàn)閼?yīng)力水平偏高或者偏低都會(huì)發(fā)生試驗(yàn)點(diǎn)偏離直線的情況，因此根據(jù)鄧肯等關(guān)于計(jì)算直線的截距a以及斜率b的計(jì)算方法，分別計(jì)算當(dāng)S=70%、S=90%時(shí)，土樣在不同圍壓下對(duì)應(yīng)的1ε、的值。在繪制直線時(shí)，使直線通過(guò)應(yīng)力水平S=70%以及S=90%的點(diǎn)。繪制線性關(guān)系曲線，如圖2所示，由圖中各直線的截距和斜率，可知土樣在不同圍壓下系數(shù)a、b的值，然后可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的Ei、Rf的值，計(jì)算結(jié)果如表2、表3所示。

圖2 ε1 /(σ 1 - σ 3)與ε1關(guān)系趨勢(shì)線

表2 不同圍壓下的 (σ 1- σ 3)與ε1計(jì)算

表3 參數(shù)Ei和Rf計(jì)算

1.3 參數(shù)K、n的確定

表4 不同圍壓下y和x計(jì)算

圖3 y和x關(guān)系趨勢(shì)線

若以x為自變量，y為因變量，則式（11）可看作是x～y線性關(guān)系的直線解析式，該直線的截距為lgK，斜率為n。分別計(jì)算土樣在不同圍壓下x、y的值，計(jì)算結(jié)果如表4所示，繪制x～y散點(diǎn)圖，進(jìn)行線性擬合，擬合結(jié)果如圖3所示，因此參數(shù)K=118.74、n=0.642。

1.4 參數(shù)Kb、m的確定

若以y為自變量，z為因變量，則公式（12）可看作是z～y線性關(guān)系的直線解析式，該直線的截距為lgKb，斜率為m。分別計(jì)算土樣在不同圍壓下z、y的值，計(jì)算結(jié)果如表5所示，根據(jù)計(jì)算結(jié)果繪制z～y散點(diǎn)圖，進(jìn)行線性擬合，擬合結(jié)果如圖4所示，因此參數(shù)K=57.29、m=0.532。

表5 不同圍壓下B和z計(jì)算

圖4 參數(shù)B和z關(guān)系趨勢(shì)線

綜合可知該土樣的鄧肯-張模型的7個(gè)參數(shù)，結(jié)果如表6所示。

表6 土樣鄧肯-張模型參數(shù)

2 鄧肯-張模型參數(shù)的分析

為對(duì)各主要土層的鄧肯-張模型參數(shù)進(jìn)行分析，根據(jù)選取的各土層土樣的三軸固結(jié)排水試驗(yàn)結(jié)果，分別計(jì)算其鄧肯-張模型參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，同一地層的各參數(shù)則選取其平均值，其結(jié)果如表7所示。

圖5為K與φ的關(guān)系曲線，隨著φ值的不斷增加，K也相應(yīng)增大，兩者之間的關(guān)系可以擬合為K=4.1291e0.109φ，相關(guān)系數(shù)R2=0.8729，具有較強(qiáng)的相關(guān)性。K與c之間并沒(méi)有明顯的相關(guān)關(guān)系。

圖6為Kb與φ的關(guān)系曲線，隨著φ值的不斷增加，Kb也相應(yīng)增大，兩者之間的關(guān)系可以擬合為Kb=0.5374e0.1442φ，相關(guān)系數(shù)R2=0.887，具有較強(qiáng)的相關(guān)性。Kb與c之間并沒(méi)有明顯的相關(guān)關(guān)系。

表7 天津?yàn)I海新區(qū)各主要土層鄧肯-張模型參數(shù)

圖5 參數(shù)K與φ的關(guān)系曲線

圖6 參數(shù)Kb與φ的關(guān)系曲線

參數(shù)Rf、n、m與c、φ值之間并沒(méi)有明顯的相關(guān)性。Rf分布在0.644～0.765范圍之間，平均值為0.698，標(biāo)準(zhǔn)差為0.040，變異系數(shù)為5.8%，變異系數(shù)小于15%，無(wú)需剔除數(shù)據(jù)；n分布在0.471～0.761范圍之間，平均值為0.630，標(biāo)準(zhǔn)差為0.011，變異系數(shù)為16.7%，變異系數(shù)大于15%，剔除偏離平均值最大的數(shù)后，其平均值為0.652，標(biāo)準(zhǔn)差為0.091，變異系數(shù)為14.0%，變異系數(shù)小于15%，無(wú)需再剔除數(shù)據(jù)；m分布在0.532～0.829之間，平均值為0.623，標(biāo)準(zhǔn)差為0.092，變異系數(shù)為14.7%，接近15%，剔除偏離平均值最大的數(shù)后，其平均值為0.594，標(biāo)準(zhǔn)差為0.052，變異系數(shù)為8.8%，無(wú)需再剔除數(shù)據(jù)。

3 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)天津?yàn)I海新區(qū)主要地層土樣的三軸固結(jié)排水剪試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算，分析天津?yàn)I海新區(qū)的鄧肯-張模型參數(shù)的變化規(guī)律，并得出以下結(jié)論：

1）隨著φ值的不斷增加，K也相應(yīng)增大，近似指數(shù)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)為0.8729，具有較好的相關(guān)性；

2）隨著φ值的不斷增加，Kb也相應(yīng)增大，近似指數(shù)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)為0.887，具有較好的相關(guān)性；

3）參數(shù)Rf、n、m與c、φ值之間并沒(méi)有明顯的相關(guān)性，其離散度從大到小依次為m、n、Rf。

4）參數(shù)Rf取值范圍為0.644～0.765，一般可取平均值0.698；參數(shù)n取值范圍為0.471～0.761，一般可取平均值0.652；參數(shù)m取值范圍為0.532～0.829，一般可取平均值0.594。