葛新廣 李創(chuàng)第 鄒萬杰 張夢丹 姜焱
摘要:針對當(dāng)前計(jì)算Kanai-Tajimi譜下結(jié)構(gòu)響應(yīng)表達(dá)式復(fù)雜的問題,提出了計(jì)算單自由度結(jié)構(gòu)相對位移、相對速度和絕對加速度的解析法,首先,利用三角函數(shù)關(guān)系,獲得單自由度結(jié)構(gòu)相對位移、相對速度和絕對加速度響應(yīng)的統(tǒng)一杜哈梅積分表達(dá)式;其次,基于Kanai-Tajimi隨機(jī)激勵(lì)的協(xié)方差特點(diǎn),給出了Kanai-Taiimi隨機(jī)激勵(lì)的協(xié)方差簡明表達(dá)式,利用隨機(jī)振動(dòng)理論,結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系獲得單自由線性結(jié)構(gòu)相對位移、相對速度和絕對加速度的統(tǒng)一簡明的實(shí)模態(tài)解析表達(dá)式,通過算例,驗(yàn)證了該方法的正確性及計(jì)算高效性,并為多自由線性結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析提供了新途徑,
關(guān)鍵詞:Kanai-Tajimi譜;實(shí)模態(tài)解;統(tǒng)一解析解;隨機(jī)地震響應(yīng)
中圖分類號:TU318DOI:10.16375/j.cnki,cn45-1395/t,2020.02.002
0引言
地震一直是人類面臨的最主要的自然災(zāi)害之一,每年均有數(shù)次引起人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失的地震發(fā)生,因此,地震己成為各類工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)必須考慮的因素,但其在發(fā)生時(shí)間、地點(diǎn)及強(qiáng)度上具有明顯的隨機(jī)性,故而地震對工程結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析極其復(fù)雜,基于地震激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)安全設(shè)計(jì)依然是土木工程界的難點(diǎn)和研究熱點(diǎn),Housner于1947年首次用白噪聲激勵(lì)過程描述地震動(dòng)過程,開創(chuàng)了隨機(jī)地震動(dòng)研究的先河,隨著地震動(dòng)記錄研究的不斷深入,地震過程具有平穩(wěn)特性和非平穩(wěn)特性,平穩(wěn)特性一般發(fā)生在地震的初時(shí)和終時(shí)前一段時(shí)間內(nèi),而中間階段具有非平穩(wěn)性,因此,地震動(dòng)隨機(jī)模型的研究分為平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)和非平穩(wěn)激勵(lì)模型兩大類,日本學(xué)者Kanai和Taiimi于20世紀(jì)60年代分別提出了一種平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)模型,該模型認(rèn)為地震動(dòng)是由巖石震動(dòng)引起,經(jīng)過土層傳遞到地面的結(jié)構(gòu)上,其中把巖石震動(dòng)看做白噪聲,非巖石土看做一個(gè)單自由度二階微分振子表示的濾波器,稱之為Kanai-Taiimi模型,Kanai-Taiimi模型能考慮場地土的特性對于地震動(dòng)影響,是被工程界公認(rèn)的地震動(dòng)模型;同時(shí),其他改進(jìn)的隨機(jī)地震動(dòng)模型如Clough-Penzien模型、歐進(jìn)萍模型等都是在Kanai-Taiimi模型的基礎(chǔ)上提出的,此外,各種演變均勻非平穩(wěn)激勵(lì)模型均與Kanai-Taiimi模型有關(guān),為此,研究基于Kanai-Taiimj激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)響應(yīng)的統(tǒng)一分析方法非常必要。
當(dāng)前研究結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)的方法,主要有時(shí)域法和頻域法,時(shí)域法是利用實(shí)模態(tài)或者復(fù)模態(tài)方法獲得結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性,進(jìn)而獲得結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的杜哈梅積分表達(dá)式,利用隨機(jī)激勵(lì)的協(xié)方差獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的協(xié)方差,因此該方法的前提是己知隨機(jī)激勵(lì)的協(xié)方差,F(xiàn)ang等利用復(fù)模態(tài)方法研究了基于Kanai-Tajimi激勵(lì)下多自由度結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng);李創(chuàng)第等利用復(fù)模態(tài)方法研究了TMD耗能減震結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi激勵(lì)下的耗能體系的位移響應(yīng),以上研究僅獲得結(jié)構(gòu)的位移協(xié)方差,且結(jié)構(gòu)分析時(shí)的振動(dòng)特征值及響應(yīng)的表達(dá)式均為復(fù)數(shù)域,工程應(yīng)用時(shí)物理意義不夠明確,此外,結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析時(shí)還需要獲得結(jié)構(gòu)的速度協(xié)方差,結(jié)構(gòu)靈敏度分析時(shí),需要計(jì)算結(jié)構(gòu)絕對地震加速度,為此研究基于實(shí)模態(tài)標(biāo)準(zhǔn)振子的結(jié)構(gòu)地震動(dòng)位移,速度及加速度響應(yīng)的解析方法,具有工程應(yīng)用價(jià)值。
頻域法也是一種研究隨機(jī)振動(dòng)重要方法,其利用結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜與地震激勵(lì)功率譜之間有直接代數(shù)關(guān)系,而隨機(jī)地震激勵(lì)模型主要是以功率譜形式給出,因此,頻域法應(yīng)用較為廣泛,虛擬激勵(lì)法是頻域法的典型代表,李春祥等利用虛擬激勵(lì)法研究了MTMD基于Kanai-Tajimi激勵(lì)下的動(dòng)力特性,研究了場地土卓越頻率對MTMD最優(yōu)參數(shù)及有效性的影響,賈超等利用地震最大加速度和功率譜強(qiáng)度的代數(shù)關(guān)系,計(jì)算了基于Kanai-Tajimi模型的功率譜密度函數(shù),并獲得結(jié)構(gòu)關(guān)鍵位置的內(nèi)力或者變形等響應(yīng)值,以上研究僅能獲得結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)的功率譜的表達(dá)式,需要對功率譜進(jìn)行廣義積分才能獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的方差,目前僅能采用數(shù)值積分獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的方差,故頻域法存在計(jì)算效率和計(jì)算精度受數(shù)值積分方法影響較大的問題,
利用三角函數(shù)變換理論,對Kanai-Tajimi隨機(jī)激勵(lì)協(xié)方差的表達(dá)式進(jìn)行簡化,并應(yīng)用于結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)的位移、速度和加速度實(shí)模態(tài)杜哈梅積分表達(dá)式,進(jìn)而獲得單自由度結(jié)構(gòu)的相對位移、相對速度和絕對加速度時(shí)域響應(yīng)的統(tǒng)一杜哈梅積分表達(dá)式,最后,基于隨機(jī)振動(dòng)理論,得到了單自由線性結(jié)構(gòu)上述響應(yīng)方差實(shí)模態(tài)的統(tǒng)一簡明解析解。
1單自由結(jié)構(gòu)響應(yīng)的杜哈梅積分表達(dá)式
4算例
建立在7度區(qū)二類場地上的單層結(jié)構(gòu),其質(zhì)量、剛度分別為9.8x106kg,5.1x107N/m,自振圓頻率為2.281rad/s,阻尼比為0.05.地震動(dòng)采用Kanai-Tajimi譜,根據(jù)文獻(xiàn)[5],中等堅(jiān)硬土場地地震動(dòng)的阻尼比0.8.卓越頻率為16.5rad/s,基巖上的白噪聲譜強(qiáng)度因子為0.00694m2/s3,利用Matlab獲得其復(fù)特性及其對應(yīng)的實(shí)特征如表1所示,相對位移、相對速度和絕對加速度方差如表1所示,其中相對位移方差與文獻(xiàn)[14]所提方法計(jì)算一致。
5結(jié)論
本文運(yùn)用三角函數(shù)關(guān)系,在實(shí)模態(tài)域就單自由度結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi隨機(jī)激勵(lì)下的相對位移、相對速度和絕對加速度響應(yīng)的統(tǒng)一解析表達(dá)式進(jìn)行研究,獲得如下結(jié)論:
1)利用三角函數(shù),可將結(jié)構(gòu)響應(yīng)的三要素即相對位移、相對速度和絕對加速度統(tǒng)一表達(dá)式,并簡化了其表示形式,本文無需進(jìn)行復(fù)模態(tài)分析所獲的是實(shí)模態(tài)域中結(jié)構(gòu)各類響應(yīng)的值。
2)利用matlab軟件研究了三角正切反函數(shù)取值規(guī)則,有利于簡化三角正弦與余弦函數(shù)線性組合表達(dá)式。
3)本文方法為經(jīng)典阻尼基于Kanai-Tajimi隨機(jī)激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)三要素的解析解,對于多自由結(jié)構(gòu)可以化成多個(gè)單自由結(jié)構(gòu),利用SRSS組合,進(jìn)而獲得多自由結(jié)構(gòu)的3種響應(yīng)的解析解。