超α-可數(shù)緊空間的若干性質(zhì)

張瑜 張國芳

摘? 要：該文在超拓?fù)淇臻g上對超α-可數(shù)緊性質(zhì)進(jìn)行了研究，給出了超α-可數(shù)緊、幾乎超α-可數(shù)緊及弱超α-可數(shù)緊的定義，研究了這些超拓?fù)湫再|(zhì)之間的關(guān)系，探究了它們閉子集的超拓?fù)湫再|(zhì)及它們在超α-連續(xù)映射下像的性質(zhì)。T.M.Al-shami在文獻(xiàn)中利用超開集定義了超緊和超lindel?f、幾乎超緊和幾乎超lindel?f、弱超緊和弱超lindel?f等空間，研究了它們之間的對應(yīng)關(guān)系。

關(guān)鍵詞：超α-開集? 超α-可數(shù)緊空間? 幾乎超α-可數(shù)緊空間? 弱超α-可數(shù)緊

中圖分類號：O1591 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2020）03（c）-0211-02

Abstract： This article studies the supraα-countably compact space on the supra space， gives the definitions of the supraα-countably compact and （weak） supraα-almost countably compact， research the relationship among them， explores the supra? topological properties of their closed subsets andimages of? supraα-continuous mapping.

Key Words： Supraα-open set; Supraα-countablecompact spaces; Almostsupraα-countable compact spaces; Mildly supraα-countable compact spaces

1? 介紹

1983年，Mashhour在文獻(xiàn)[1]中對超拓?fù)淇臻g的定義進(jìn)行了介紹，去掉了其中的有限交條件，即X上的冪集2X的一個(gè)子集族U如果滿足（1）φ，X在U中;（2）U中元素的任意并仍然在U中，則稱（X，U）為超拓?fù)淇臻g。U中的任意一個(gè)元素都稱為超拓?fù)淇臻g（X，U）的超開集，超開集的補(bǔ)集為超閉集。設(shè)A為超拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集，點(diǎn)x∈A，如果存在超開集U，使得x∈UA，則稱A是x的一個(gè)超鄰域。Mashhour也對S*連續(xù)映射的性質(zhì)進(jìn)行了研究，給出了超Ti（i=2，3，4）的定義并對超分離性質(zhì)進(jìn)行了刻畫。

2016年，T.M.Al-shami在文獻(xiàn)[2]中給出了超極限點(diǎn)定義，即若（X，U）是一個(gè)超拓?fù)淇臻g且AX，點(diǎn)x的任意超鄰域都至少包含A中不同于x的一個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)x叫作A的超極限點(diǎn)，并研究了超極限點(diǎn)和超邊界點(diǎn)的性質(zhì)，介紹了超閉包算子、超lindel?f、幾乎超緊（幾乎超lindel?f）和弱超緊（弱超lindel?f）等性質(zhì)，指出了它們之間的關(guān)系。

2016年，M.Abo-elhamayel和T.M.Al-shami在文獻(xiàn)[7]中介紹了一類特殊集——超α-開集，詳盡地闡明了超開集和超α-開集的關(guān)系，探究了超α-開集在超連續(xù)映射、超開映射、超同胚映射下的性質(zhì)，討論了超α-開集在超-分離公理上的應(yīng)用。

2017年，T.M.Al-shami在文獻(xiàn)[1]中利用超α-開集定義了超α-緊和超α-lindel?f、幾乎超α-緊和幾乎超α-lindel?f、弱超緊和弱超α-lindel?f等空間，研究了它們之間的對應(yīng)關(guān)系。

2? 主要結(jié)果

一個(gè)空間稱為超T2空間[3]，如果對于X中的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)x和y，存在兩個(gè)不相交的超開集U和V，使得x∈U，y∈V。

令E為超拓?fù)淇臻gX的子集，把包含在E中的所有超閉集的交稱為E的超閉包[3]，記作scl（E）。包含在E中的所有超開集的并稱為E的超內(nèi)部[3]，記作sint（E）。

一個(gè)超拓?fù)淇臻gE的子集稱為超α-開集[1]，如果Esintsclsint（E）。

一個(gè)超拓?fù)淇臻g的超α-開集{Gi∶i∈I}族稱為子集E的超α-開覆蓋[3]，如果E∪{Gi∶i∈I}。

如果X是一個(gè)超T2空間，且X的任意可數(shù)超α-開覆蓋均有一個(gè)有限超α-子覆蓋，則稱X為超α-可數(shù)緊空間。

定理1 超α-可數(shù)緊的超閉子空間為超α-可數(shù)緊空間。

證明：令X為超α-可數(shù)緊空間，F(xiàn)為X的超閉子集，任取一個(gè)F的可數(shù)超α-開覆蓋U{Vi|i=1，2，…，n，…}。由子空間的定義可知任意的Vi∈U，存在X中超α-開集Ui使得Ui=Vi∩F，則{Ui|i=1，2，…，n，…}就構(gòu)成了覆蓋F的X的超α-開集族，故ω=（X/F）∪{Ui|i=1，2…}就構(gòu)成了X的可數(shù)超α-子覆蓋，由于X為超α-可數(shù)緊的，所以ω中的有限子族{Ui1，Ui2，…，Uin}覆蓋了X中的有限超α-子集F，令Uij=Vij∩F，其中，則{Vi1，Vi2，…，Vin}就構(gòu)成了U的有限超α-子覆蓋。

設(shè)X與Y為兩個(gè)超拓?fù)淇臻g，f是X到Y(jié)的一個(gè)映射，如果Y中的任意超開集U的逆像f-1（U）是X的一個(gè)超α-開集，則稱f是一個(gè)超α-連續(xù)映射。

定理2? 一個(gè)超α-可數(shù)緊子空間在超α-連續(xù)映射的像是超可數(shù)緊的。

證明：令g：X→Y為超α-連續(xù)映射，并且為超空間X的超α-可數(shù)緊子集，假設(shè)Y={Gi∶i=1，2，…，n，…}為g（A）的一個(gè)可數(shù)超開覆蓋，即g（A）{Gi∶i=1，2，…，n，…}，則;由于g是超α-連續(xù)映射，則g-1（Gi）為超α-開集，由于A是超α-可數(shù)緊子集，則，故，其中S0為{1，2，…，n，…}的一有限集，因此g（A）是超可數(shù)緊的。

如果X是一個(gè)超T2空間[1]，且X的任意可數(shù)超α-開覆蓋U均有一個(gè)U的有限超α-子族的閉包覆蓋X，則稱X為幾乎超α-可數(shù)緊空間。

定理3? 任意超α-可數(shù)緊空間都是幾乎超α-可數(shù)緊空間。

證明：令X是一個(gè)超α-可數(shù)緊空間，則對于X的任意可數(shù)超α-開覆蓋{Gi：i∈S}，其中S={i=1，2，…，n，…}為可數(shù)集S0S，均存在一個(gè)有限集，使得，由于X的任意子集包含在它的超α-閉包中，所以，則X是幾乎超α-可數(shù)緊空間。

一個(gè)超拓?fù)淇臻g下的集合稱為超α-閉開集，如果它既是超α-開集，也是超閉集。

定理4? 如果F是一個(gè)幾乎超α-可數(shù)緊空間（X，U）的超α-閉開集，則F是幾乎超α-可數(shù)緊空間。

證明：令F是X的一個(gè)超α-閉開集且可數(shù)集{Gi：i∈S}是F的一個(gè)超α-開覆蓋，其中S={i=1，2，…，n，…}。因?yàn)镕c是超α-閉開集，則。因?yàn)閄為幾乎超α-可數(shù)緊空間，則，其中S0{1，2，…，n，…}為有限集，因此。因此F是幾乎超α-可數(shù)緊空間。

定理5? 如果A是X的一個(gè)幾乎超α-可數(shù)緊子集且A是X的一個(gè)超α-開閉子集，則A∩B是幾乎超可數(shù)緊空間。

證明：令是A∩B的一個(gè)可數(shù)超α-開覆蓋，其中S={i=1，2，…，n，…}。則。因?yàn)?，其中S0{1，2，…，n，…}為有限集，則。因此A∩B是幾乎超可數(shù)緊空間。

定理6? 一個(gè)幾乎超可數(shù)緊子集在超α-連續(xù)映射的像是幾乎超α-可數(shù)緊的。

證明：令g：X→Y是一個(gè)超α-連續(xù)映射，且令A(yù)是X的一個(gè)幾乎超α-緊子集。假設(shè){Gi：i∈S}是g（A）的一個(gè)可數(shù)超α-開覆蓋，其中S={i=1，2，…，n，…}。則。因?yàn)間是超α-連續(xù)映射，則對于任意的i∈S，g-1（Gi）均為超α-開集。因?yàn)锳是幾乎超α-緊空間，則其中S0S，S0{1，2，…，n，…}為有限集。因?yàn)間是超α-連續(xù)映射，故：

由于，因此g（A）是幾乎超α-可數(shù)緊的。

如果X是一個(gè)超T2空間，且X的任意可數(shù)超α-開閉覆蓋均有一個(gè)有限超子覆蓋，則稱X為弱超α-可數(shù)緊空間。

定理7? 任意幾乎超α-可數(shù)緊空間是弱超α-可數(shù)緊空間。

證明：令是X的一個(gè)可數(shù)超α-開閉覆蓋，因?yàn)閄是一個(gè)幾乎超α-可數(shù)緊空間，則且Gi是一個(gè)超α-閉開集S0為的有限集{1，2，…，n，…}，則sαcl（Gi）=Gi且，因此X是一個(gè)弱超α-可數(shù)緊空間。

定理8? 任意的一個(gè)弱超α-可數(shù)緊空間的任意超α-閉開集F亦是弱超α-可數(shù)緊空間。

證明：令F是X的一個(gè)超α-閉開集且令{Gi∶i=1，2，…，n，…}是覆蓋F的X中一個(gè)超α-開閉集族。則Fc是超α-閉開集，且，因?yàn)閄是弱超α-可數(shù)緊空間，則，故，其中S0{1，2，…，n，…}為有限集。因此F是弱超α-可數(shù)緊空間。

參考文獻(xiàn)

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