萬程凱，韓文標，江春華

(1.南華大學 數(shù)理學院，衡陽 421001； 2.中國科學院 上海天文臺，上海 200030)

1 引言

在牛頓理論中，關于雙星的引力問題，其運動方程有嚴格解，兩個質(zhì)點形成的引力孤立系統(tǒng)允許兩個守恒積分(能量和角動量守恒)。而在廣義相對論中，雙星運動的軌道明顯不具有嚴格周期性：極端質(zhì)量比雙星系統(tǒng)的軌道運動輻射引力波，導致致密天體的軌道半徑減小，且頻率增加，從而使致密天體旋進運動。在旋進后期，引力波在探測器的敏感頻段被探測到。在雙星距離較大時，雙星之間的潮汐相互作用可以忽略不計，并且可將小天體看作質(zhì)點。然而，隨著雙星間距離減小，軌道頻率會增加，潮汐相互作用會變大，這會導致致密天體發(fā)生潮汐形變，并使它們的引力場和軌道運動受到影響。這種潮汐效應在引力波的形狀和相位上得以體現(xiàn)。由于引力波的形狀和相位中隱藏著軌道運動的詳細信息，所以我們能夠根據(jù)軌道運動特征分辨出引力波。

致密天體的結構對EMRI發(fā)射的引力波瞬時振幅的影響可以忽略不計，但是它對頻率造成的微小影響會隨時間的增長而累積成不可忽略的相位偏差。來自致密天體的四極矩和軌道進動稍微加速了并合進程，并導致真實信號與質(zhì)點粒子信號之間的相位差呈現(xiàn)單調(diào)增長的趨勢[7]。因此，在大質(zhì)量比雙星系統(tǒng)中，不能總是簡單地用試驗粒子運動模型計算其運動狀態(tài)。

EMRI是空間引力波探測器最重要的引力波源之一。由于我們對EMRI的天體物理起源還沒有完全了解，所以初步預計，在LISA探測期間，引力波事件的年發(fā)生率在幾次至幾千次之間。這個范圍也進一步說明，人們可以從EMRI的探測結果中了解到更多信息[8]。

Mathisson[9]研究了EMRI和IMRI系統(tǒng)中帶有多極矩的小天體在給定時空中的運動。Corinaldesi和Papapetrou[10]把帶有自旋的小質(zhì)量致密天體作為試驗粒子，認為它的質(zhì)量很小，其對度規(guī)的影響可以忽略不計。但是在Papapetrou方程中，他們僅考慮了粒子的質(zhì)量和自旋，即所謂的單極-偶極近似，忽略了質(zhì)量四極矩效應。Suzuki和Maeda[11]在Papapetrou方程的基礎上研究了自旋試驗粒子繞施瓦西黑洞運動的混沌行為，發(fā)現(xiàn)當粒子自旋大于某個臨界值時，系統(tǒng)會出現(xiàn)混沌，且該混沌完全由自旋-軌道耦合引起。在此之后，很多人研究了自旋粒子繞克爾黑洞和施瓦西黑洞運動的動力學模型，發(fā)現(xiàn)了帶有很大自旋的粒子繞大質(zhì)量黑洞運動的軌道特性和混沌性[12–17]。Wu等人[18–21]研究了其中一個天體有自旋時的相當質(zhì)量比雙星系統(tǒng)的后牛頓保守拉格朗日形式的混沌性和后牛頓保守哈密頓形式的混沌性，并證實了這兩種形式都不能在諧和坐標系中混沌。他們還分析了同階后牛頓拉格朗日方法與后牛頓哈密頓方法在強引力場下的差別。

Dixon[22–24]分別在1970年、1973年和1974年將Papapetrou方程展開到多極，并賦予其物理含義，使多極矩的概念更加清晰。由于四極是多極的主要部分，因此，一些研究者把Mathisson-Papapetrou-Dixon(MPD)方程擴展到四階來研究延展體的軌道動力學，并基于MPD方程研究克爾黑洞潮汐作用誘導的延展體四極矩和小質(zhì)量天體自旋產(chǎn)生的四極矩，從而來定性分析致密雙星系統(tǒng)輻射的引力波[25–28]，其中，Han和Cheng[29]通過定量分析研究了延展體自旋產(chǎn)生的四極矩對EMRI系統(tǒng)的引力波波形的影響。

本文將利用MPD方程，在Han和Cheng研究結果的基礎上，定量分析更一般形式的四極矩。我們的研究內(nèi)容既包括致密天體本身的自旋引起的四極矩，也包含大質(zhì)量黑洞潮汐作用引起的致密天體四極矩，及其對致密天體軌道運動和引力波頻率的影響。

本文內(nèi)容安排如下：第2章介紹延展體MPD方程，以及不同種類致密天體的自旋和質(zhì)量四極矩；第3章計算自旋和四極矩對引力波頻率的影響；最后，我們將對本文研究的結果進行總結和討論，并對其應用前景進行展望。

2 延展體動力學方程

引力波的探測依賴于理論模板的精度，因此，我們需要知道小天體的精確運動。MPD運動方程描述了在彎曲時空中具有自旋和質(zhì)量多極矩的延展體運動。MPD方程多極展開中的高階項表明，小天體內(nèi)部結構對運動軌道產(chǎn)生的影響較小。本文采用的致密天體自旋和四極矩的EMRI和IMRI模型，比目前流行的試驗粒子近似模型更符合天體的實際運動，計算出的軌道也更加精確。

除非致密天體繞快速旋轉的大質(zhì)量克爾黑洞運動，否則直到雙星并合的旋進階段，延展體的自旋導致的四極矩效應都很小，因此，很多人忽略了潮汐效應對延展體的影響[30]，也忽略了致密天體自旋產(chǎn)生的四極矩效應。但是在致密天體與中心黑洞的并合階段，或延展體接近最內(nèi)穩(wěn)定圓軌道時，潮汐效應變得不可忽略，此時必須考慮潮汐效應對軌道進動產(chǎn)生的影響。我們研究的致密雙星系統(tǒng)就是小質(zhì)量延展體圍繞快速旋轉的克爾黑洞運動的情況。

延展體的動力學方程如下[22]：

其中，Jγδ?σ是質(zhì)量四極矩張量，它與Rαβγσ具有相同的對稱性。文中所有指標都用度規(guī)張量進行升降。

延展體的四速度與四動量之間的關系式如下[29]：

現(xiàn)在我們來討論質(zhì)量四極矩張量Jαβγδ[26]：

其中，Q是延展體四極矩(與坐標系的選取無關)。CQ是衡量自旋產(chǎn)生的四極矩大小的無量綱參數(shù)，其數(shù)值代表了自旋產(chǎn)生的四極矩的大小，與延展體狀態(tài)方程有關。已知旋轉的致密天體的半徑和質(zhì)量，其CQ可以由下式近似表達[32]：

其中，G是萬有引力常數(shù)，c為光速，R為天體半徑。在不同密度和不同模型下，計算出的CQ值不同。對于中子星(質(zhì)量為1.4M⊙，半徑為12 km)，CQ取值范圍一般是2～8，本文取值為4；對于黑洞來說，CQ=1；對于一般白矮星，CQ≈104[33]。

由于潮汐相互作用取決于延展體的內(nèi)部結構，因此，通過測量中心黑洞潮汐作用產(chǎn)生的四極矩，可以獲得關于延展體的致密性及其狀態(tài)方程的重要信息。表征潮汐產(chǎn)生的四極矩大小的參數(shù)2為[26]：

表1 不同質(zhì)量白矮星的潮汐和自旋產(chǎn)生的四極矩

3 自旋和四極矩對引力波的影響

自旋對軌道演化的主要影響是，它會導致軌道平面進動，從而改變軌道在空間中的方向。本文采用符號S表示自旋參數(shù)，它是mM的倍數(shù)，而不是m2的倍數(shù)。Corinaldesi和Papapetrou[10]指出，在忽略潮汐耦合的情況下，致密天體(白矮星、中子星和黑洞)的自旋參數(shù)S遠小于1。

表2 不同質(zhì)量致密天體的自旋角動量和潮汐半徑

當小質(zhì)量天體與大質(zhì)量克爾黑洞之間的距離小于Rtidle時，小質(zhì)量致密天體將會被中心黑洞產(chǎn)生的巨大潮汐力撕裂。RISCO是最內(nèi)穩(wěn)定圓軌道(innermost stable circular orbit,ISCO)的半徑。當小天體繞大質(zhì)量黑洞運行的距離小于Rtidle時，不再存在穩(wěn)定的圓軌道。對于極端質(zhì)量比雙星系統(tǒng)，相應的自旋和多極矩參數(shù)也都較小。根據(jù)Bini等人[27]的研究結果，自旋和四極矩對ISCO的影響很小，因此，我們采用試驗粒子的ISCO作為小質(zhì)量天體軌道運動是否穩(wěn)定的判據(jù)。

ISCO半徑和潮汐半徑的計算公式[37]如下：

其中，Z1和Z2的表達式[38]如下：

其中，a為克爾黑洞參數(shù)，其值是M的倍數(shù)。式(10)中，a<0時，等式取加號；a>0時，等式取減號。取a=0.9，由式(10)可計算得出，RISCO=2.32。在進行數(shù)值計算的過程中，我們選取潮汐半徑和最內(nèi)穩(wěn)定圓軌道半徑的最大值作為小天體的軌道半徑。

表3是選取質(zhì)量為1.3M⊙的白矮星、中子星和原初黑洞的相關物理參數(shù)[36–39]，并經(jīng)過以上方程計算得出的近似結果。

表3 m=1.3M⊙,ν=10?6,a=0.9,r=6M 情況下自旋和四極矩對引力波產(chǎn)生的影響

引力波頻率與軌道頻率之間的關系式如下：

由表3和表4可以看出，當致密星質(zhì)量為1.3M⊙，雙星質(zhì)量比為10?6，距離為6M，且白矮星或中子星的自旋量與黑洞的相等時，它們與黑洞的引力波頻率的相對偏差量級很小，此時，質(zhì)量四極矩對白矮星或中子星的軌道運動的影響可以忽略，因此，我們無法通過引力波研究致密星的物態(tài)方程。無論是中子星，還是白矮星，其自旋會對引力波頻率產(chǎn)生影響。如果通過引力波反演得到的自旋角動量系數(shù)明顯大于1，那么，我們可以認定該致密星是白矮星。當雙星質(zhì)量比ν=10?5時，結論與ν=10?6時一樣。

表4 m=1.3M⊙,ν=10?6,a=0.9,r=6M 情況下自旋和四極矩對引力波產(chǎn)生的影響

表5和表6表示，在ν=10?4的雙星系統(tǒng)中，通過比較白矮星3?與白矮星4?可以看出，白矮星自旋引起的四極矩對軌道運動的影響可忽略。因此，從白矮星1與白矮星2?進行對比以及白矮星2與黑洞進行對比的兩組引力波頻率的相對偏差可以看出，當白矮星的自旋與黑洞的自旋相等時，中心黑洞潮汐作用產(chǎn)生的白矮星四極矩會對白矮星的軌道運動產(chǎn)生影響。中子星的自旋與原初黑洞自旋相等時，兩者輻射的引力波頻率十分接近；中子星的自旋與黑洞自旋相差較大時，兩者產(chǎn)生的頻率相對偏差和雙星質(zhì)量比均相差不大，因此，自旋會影響中子星的軌道運動。

表5 m=1.3M⊙,ν=10?4,a=0.9,r=3.9M 情況下自旋和四極矩對引力波產(chǎn)生的影響

表6 m=1.3M⊙,ν=10?4,a=0.9,r=3.9M 情況下自旋和四極矩對引力波產(chǎn)生的影響

表7表明，在雙星質(zhì)量比為10?2，小天體距中心黑洞6M處，中子星2與黑洞1相比，以及中子星1與黑洞2相比，其輻射的引力波頻率相對偏差可以區(qū)分，因此，可以認為自旋會影響中子星的軌道運動。中子星2與黑洞2的自旋相同，但是潮汐參數(shù)和自旋參數(shù)不同，產(chǎn)生的引力波頻率相對偏差的量級與ν相比很小，說明質(zhì)量四極矩對中子星產(chǎn)生的影響很小，可以忽略。中子星1與黑洞1相比，中心黑洞潮汐作用導致的中子星形變對其軌道運動產(chǎn)生的影響可以忽略，因此，中子星自旋產(chǎn)生的四極矩對延展體軌道運動產(chǎn)生的影響也可以忽略。

表7 m=1.3M⊙,ν=10?2,a=0.9,r=6M 情況下自旋和潮汐效應對引力波產(chǎn)生的影響

4 總結與展望

本文利用MPD方程對大質(zhì)量比旋進系統(tǒng)進行分析，通過數(shù)值計算得到了致密星沿圓軌道繞中心黑洞旋進運動的軌道頻率，并根據(jù)該軌道頻率與引力波頻率之間的關系獲得了雙星系統(tǒng)輻射的引力波頻率。這些引力波可以通過空間激光引力波探測器LISA進行觀測，有的引力波頻率甚至在LIGO的敏感探測頻段內(nèi)。通過改變頻率的方法，我們分析了潮汐效應和小天體自旋對引力波頻率產(chǎn)生的影響。由于致密天體的致密程度不同，所以白矮星、中子星或黑洞的因潮汐作用和自旋導致的形變對軌道的影響也不同。

對于一個質(zhì)量約為1M⊙的致密天體，當小天體距離中心黑洞非常近時，我們得到以下研究結果：(1)本文研究的所有質(zhì)量比的情況下，自旋對白矮星和中子星的軌道運動產(chǎn)生的影響都不可忽略；(2)在10?6～10?2質(zhì)量比區(qū)間，自旋產(chǎn)生的四極矩對中子星產(chǎn)生的影響很小，可以忽略；(3)質(zhì)量比為10?4時，極端自旋狀態(tài)下的白矮星自旋產(chǎn)生的四極矩不可忽略；(4)由于中子星的密度大，潮汐作用產(chǎn)生的四極矩對中子星的影響很小，可以忽略，因此，我們無法通過引力波探測器反演中子星和黑洞的物態(tài)方程；(5)在極端質(zhì)量比的情況下，小質(zhì)量天體幾乎可以看作質(zhì)點，因此，潮汐作用產(chǎn)生的四極矩對白矮星的影響很小，可以忽略；(6)在10?4～10?2的質(zhì)量比范圍內(nèi)，潮汐作用產(chǎn)生的四極矩對白矮星軌道運動的影響不可忽略。

從這些結果可以看出，中子星和白矮星的質(zhì)量四極矩對其軌道運動產(chǎn)生的影響不同。當大質(zhì)量克爾黑洞的質(zhì)量約為幾百個太陽質(zhì)量時，產(chǎn)生的引力波頻率較高，可以由LIGO探測到，但是無法從中反演出中子星物態(tài)方程的狀態(tài)參數(shù)。本文中，我們討論了沿圓軌道運動的大質(zhì)量雙星系統(tǒng)。關于帶有偏心率和軌道傾角的情況，以及通過引力波信號反演得到的自旋和四極矩參數(shù)，我們將在后續(xù)工作中進行詳細介紹。