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      分析采取措施對性病傳播動態(tài)的影響

      2020-05-18 05:03:54胡慧敏喬志琴
      關(guān)鍵詞:感者避孕套染病

      胡慧敏,喬志琴

      (中北大學(xué)理學(xué)院,太原 030051)

      近年來,性傳播疾病的爆發(fā)引起了人們的廣泛重視,衛(wèi)生界醫(yī)療界等各界的學(xué)者們也都致力于減少或停止性病的傳播.其中,使用數(shù)學(xué)模型來分析性傳染病的傳播和控制尤為重要.典型的傳染病模型包括易感感染(SI)模型,易感感染易感(SIS)模型和易感感染恢復(fù)(SIR)模型[1].根據(jù)疾病擴(kuò)散的不同特征來使用不同的模型,本文使用SIRS模型.與SIR模型不同,SIRS模型考慮短期免疫.所謂的短期免疫是指免疫個體在一段時間后成為易感個體.

      眾所周知,人之間的不斷接觸與聯(lián)系為疾病的傳播定義了一個網(wǎng)絡(luò).因?yàn)閭€體之間相互連接,相互交錯,就需要通過了解個體之間的聯(lián)系來了解和預(yù)測疾病的傳播.在網(wǎng)絡(luò)流行病中,把人看作網(wǎng)絡(luò)上的節(jié)點(diǎn),每個節(jié)點(diǎn)對應(yīng)一個個體,個體之間的相互接觸與聯(lián)系表示他們之間的局部作用.但在經(jīng)典的流行病模型中,每個人之間的接觸被忽略,不太符合實(shí)際.本文考慮到不同的人在單位時間內(nèi)接觸的人數(shù)可能不同,增加了研究的真實(shí)性與可行性[2-14].

      之前的一些模型中將染病者分為低風(fēng)險染病者和高風(fēng)險染病者,一旦被感染,一部分感染者開始控制他們的行為,比如采用避孕套來保護(hù)他們的伴侶[15].為了更好地預(yù)防艾滋病,本文研究未感染時采取措施對艾滋病的影響.在性生活中,一部分人使用避孕套,另一部分人不使用.所以,使用避孕套的這部分人在與有性病者進(jìn)行性生活時感染的風(fēng)險比較小,稱他為低風(fēng)險易感者,同理,不使用避孕套者稱之為高風(fēng)險易感者,當(dāng)他們受到感染時都將變成染病者.

      本文討論了一種在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的SIRS流行病模型.第一節(jié)中,給出了模型的基本公式.第二節(jié)中,討論了只有低風(fēng)險易感者時的模型,運(yùn)用下一代矩陣法得出了基本再生數(shù)并討論了無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,還討論了地方性平衡點(diǎn)的存在性并通過構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù),研究了地方性平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.第三節(jié)中,討論了只有高風(fēng)險易感者時,性病相應(yīng)的傳播動態(tài).在第四節(jié)中,討論了高風(fēng)險易感者和低風(fēng)險易感者并存時,性病相應(yīng)的傳播動態(tài).在第五節(jié)中,通過數(shù)值模擬來說明采取措施可以減少性病的傳播.在最后一節(jié),進(jìn)行了簡短的討論.

      1 模型的建立

      本節(jié)在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上構(gòu)建流行病模型.所謂網(wǎng)絡(luò)是由大量節(jié)點(diǎn)與連接兩個節(jié)點(diǎn)之間的一些邊構(gòu)成,其中節(jié)點(diǎn)代表真實(shí)系統(tǒng)中不同的個體,而邊則表示個體間的關(guān)系.為了反映個體生理能力和生存空間的局限性,將總節(jié)點(diǎn)(即網(wǎng)絡(luò)大小)假設(shè)為常數(shù)N.模型中,每個節(jié)點(diǎn)對應(yīng)一個個體,個體之間的相互接觸看成有邊相連.

      首先,對節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分類,即對個體進(jìn)行分組,一個個體在單位時間內(nèi)接觸的人數(shù)k就是網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度,每個個體的度分布是穩(wěn)定的,節(jié)點(diǎn)之間是相互獨(dú)立且狀態(tài)不同的[16].根據(jù)單位時間內(nèi)接觸人數(shù)的不同將節(jié)點(diǎn)按度分為k類,其中k=(1,2,…,n).用常數(shù)Nk來表示單位時間內(nèi)接觸人數(shù)為k的人群的相對密度.

      其次,對節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)進(jìn)行分類,節(jié)點(diǎn)可以分為4種狀態(tài):低風(fēng)險易感者s1k,高風(fēng)險易感者s2k(通過避孕套的使用率p劃分低風(fēng)險易感者和高風(fēng)險易感者),感染者ik和恢復(fù)者rk.其中,s1k表示度為k時低風(fēng)險易感者的相對密度.同理,s2k,ik,rk分別表示度為k時高風(fēng)險易感者,染病者,恢復(fù)者的相對密度.其中,s1k+s2k+ik+rk=Nk.顯然,s1k+s2k=Nk-(ik+rk),當(dāng)避孕套使用率為p時,低風(fēng)險易感者的相對密度為s1k=p[Nk-(ik+rk)],同理,s2k=(1-p)[Nk-(ik+rk)].其中,0≤p≤1.

      在模型中,低風(fēng)險易感者和高風(fēng)險易感者通過接觸感染者變?yōu)槿静≌?,低風(fēng)險易感者與染病者的接觸率為Θ11(t),高風(fēng)險易感者與染病者的接觸率為Θ22(t).β1為低風(fēng)險易感者與染病者接觸時的有效傳染率,β2為高風(fēng)險易感者與染病者接觸時的有效傳染率,所以,低風(fēng)險易感者與染病者的有效接觸率為Θ1(t)=β1Θ11(t),高風(fēng)險易感者與染病者的有效接觸率為Θ2(t)=β2Θ22(t).染病者通過一定的恢復(fù)率γ變?yōu)榛謴?fù)者,恢復(fù)者失去免疫力后又變?yōu)橄鄳?yīng)的易感者,其中,變?yōu)榈惋L(fēng)險易感者時失去免疫力率為δ1,變?yōu)楦唢L(fēng)險易感者時失去免疫力率為δ2.根據(jù)生物學(xué)意義β1>0,β2>0,γ>0,δ1>0,δ2>0.其中,

      基于以上闡述,構(gòu)建的傳輸圖如圖1所示.

      圖1 傳輸圖Fig.1 Transmission chart

      由圖1的傳輸圖可以很容易得到下面的系統(tǒng)(1).

      (1)

      2 只有低風(fēng)險易感者(p=1)

      當(dāng)p=1時,避孕套的使用率為1,即系統(tǒng)中的所有人都使用避孕套.此時,只有低風(fēng)險易感者,即當(dāng)p=1時,s2k=(1-p)[Nk-(ik+rk)]=0,因?yàn)榇藭r高風(fēng)險易感者為0,所以當(dāng)恢復(fù)者失去免疫力后也不可能再變?yōu)楦唢L(fēng)險易感者,所以δ2=0.

      系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

      (2)

      2.1 基本再生數(shù)和無病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性

      基本再生數(shù)決定了流行病模型的全球動態(tài),在這里用下一代矩陣法來計算它.

      將s1k=p[Nk-(ik+rk)]=Nk-ik-rk代入系統(tǒng)(2)得到

      (3)

      令ik=0,rk=0,可以得到系統(tǒng)(3)的無病平衡點(diǎn)為

      由系統(tǒng)(3)得到:

      在F中第一行分別對i1,i2,…,in求導(dǎo)得到F的第一行,第二行分別對i1,i2,…,in求導(dǎo)得到F的第二行,以此類推得到下面的F.

      用a1=1(N1-i1-r1),a2=2(N2-i2-r2),…,an=n(Nn-in-rn)得

      F=

      在V中第一行分別對i1,i2,…,in求導(dǎo)得到V的第一行,第二行分別對i1,i2,…,in求導(dǎo)得到V的第二行,以此類推得到下面的V:

      求FV-1得

      R01=

      L1=WV-1x,

      對其進(jìn)行求導(dǎo),

      (R01-1)Wx≤0.

      顯然,當(dāng)R01<1時系統(tǒng)(3)的無病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定.

      2.2 地方性平衡點(diǎn)的存在性與穩(wěn)定性

      其中

      結(jié)合

      解得

      定義一個方程

      所以

      證明構(gòu)建下面的李雅普諾夫函數(shù):

      再結(jié)合等式

      對V1(t)求一階導(dǎo)可得:

      由Lasalle不變集原理,有

      3 只有高風(fēng)險易感者(p=0)

      當(dāng)p=0時,避孕套的使用率為0,即系統(tǒng)中無人使用避孕套,此時,只有高風(fēng)險易感者,即當(dāng)p=0時,s1k=p[Nk-(ik+rk)]=0,因?yàn)榇藭r低風(fēng)險易感者為0,所以當(dāng)恢復(fù)者失去免疫力后也不可能再變?yōu)榈惋L(fēng)險易感者,所以δ1=0.

      系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

      (4)

      再結(jié)合s2k=(1-p)[Nk-(ik+rk)]=Nk-ik-rk,系統(tǒng)(4)變?yōu)?/p>

      (5)

      類似于p=1,當(dāng)p=0時,計算其基本再生數(shù)得:

      4 高風(fēng)險易感者和低風(fēng)險易感者并存(0

      4.1 基本再生數(shù)和無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

      當(dāng)高風(fēng)險易感者和低風(fēng)險易感者并存即0

      (6)

      令ik=0,rk=0,此時系統(tǒng)人口中使用避孕套率為p,不使用避孕套率為1-p,由s1k(t)=p[Nk-(ik+rk)],s2k(t)=(1-p)[Nk-(ik+rk)].其中,0

      類似于p=1,用下一代矩陣法計算R0.

      在F中第一行分別對i1,i2,…,in求導(dǎo)得到F的第一行,第二行分別對i1,i2,…,in求導(dǎo)得到F的第二行,以此類推得到下面的F:

      在V中第一行分別對i1,i2,…,in求導(dǎo)得到V的第一行,第二行分別對i1,i2,…,in求導(dǎo)得到V的第二行,以此類推得到下面的V:

      求FV-1得

      則基本再生數(shù)為

      則系統(tǒng)(6)的基本再生數(shù)為

      定理3如果R0<1則系統(tǒng)(6)的無病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的,疾病將消失.

      因ρ(FV-1)=ρ(V-1F)=R0且V-1F非負(fù)不可約,則存在一個正的左特征向量A對應(yīng)于特征值ρ(V-1F) ,AV-1F=R0A.考慮下面的李雅普諾夫函數(shù):

      L=AV-1x>0.

      對其進(jìn)行求導(dǎo)得

      AV-1(F-V)x=(R0-1)Ax≤0.

      于是得R0<1時系統(tǒng)(6)的無病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定.

      4.2 地方性平衡點(diǎn)的存在性

      定理4當(dāng)R0>1時系統(tǒng)(6)的地方性平衡點(diǎn)存在且唯一.

      證明將s1k=Nk-s2k-ik-rk代入(6)得

      (7)

      其中

      解得

      定義一個方程

      其中,

      證得R0>1時系統(tǒng)(6)的地方性平衡點(diǎn)存在且唯一.

      5 數(shù)值模擬

      本節(jié)利用Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬,觀察隨著避孕套使用率的不同和度k的不同染病者的相對密度的變化.

      首先,取定參數(shù)δ1=0.2,δ2=0.3,γ=0.05,β1=0.2,β2=0.5.k分別取10,30,50,100.

      圖2中,觀察可知當(dāng)p相同時隨著k的增大ik在增大,即當(dāng)避孕套使用率相同時隨著接觸人數(shù)的增加,染病者的相對密度在增加,說明接觸的人越多疾病傳播的范圍越廣.當(dāng)k相同時隨著p的增大ik在減小,即當(dāng)接觸的人數(shù)相同時隨著避孕套使用率的增加,即采取措施的人數(shù)在增加,染病者的相對密度在減少.由此可見,采取措施可以減少疾病的傳播.

      圖2 變化圖Fig.2 Change chart

      6 結(jié)論

      本文主要研究采取措施對性病傳播的影響.通過避孕套的使用率劃分了低風(fēng)險易感者和高風(fēng)險易感者,在異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上構(gòu)建模型并給出基本再生數(shù),然后研究無病平衡點(diǎn)及地方性平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.最后,通過數(shù)值模擬可以直觀看出避孕套的使用率影響性病的傳播.所以,為了保護(hù)自己,減少性病的傳播,在性生活中采取措施是必不可少的.

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