馬 晨 光， 于 曉 強， 楊 飛 飛， 牟 俊

( 大連工業(yè)大學 信息科學與工程學院, 遼寧 大連 116034 )

0 引 言

憶阻器是除電阻、電容、電感以外的第4種基本電氣元件。由憶阻器構建的混沌電路可被廣泛地應用于物理、生物醫(yī)學、保密通信及信息安全領域[1]，因此構建性能良好的憶阻混沌電路引起了學者廣泛關注[2]。憶阻器是描述電荷與磁通量之間關系的器件，一般分為荷控憶阻器和磁控憶阻器，其主要區(qū)別在于主導量的不同，荷控憶阻器的主導量是電荷，而磁控憶阻器的主導量是磁通量[3]。迄今為止，有許多基于憶阻器的混沌電路被提出。其中，牟俊等[4]利用常用的電子元件等效了有源憶阻電路，通過電路仿真證明了等效電路的有效性；阮靜雅等[5]基于洛倫茲系統(tǒng)設計出了一個超混沌憶阻電路，并分析了其動力學特性；葉曉林等[6]基于文氏橋自激振蕩電路設計出超混沌系統(tǒng)，利用SE和C0復雜度算法分析了系統(tǒng)的動力學特性。這些分析都是基于整數(shù)階憶阻混沌電路，相比于整數(shù)階憶阻混沌系統(tǒng)，分數(shù)階憶阻混沌系統(tǒng)往往具有更為復雜的動力學特性。

分數(shù)階微積分定義主要有Riemann-Liouville 分數(shù)階微積分定義和Caputo分數(shù)階微分定義。分數(shù)階混沌系統(tǒng)求解方法主要有3種，分別是頻域分析法[7]、預估校正法[8](ABM)和Adomian算法(ADM)[9]。其中ADM算法精度較高，收斂快，不需要離散化處理，并且占用的計算機內存較小，被廣泛地應用于分數(shù)階混沌系統(tǒng)的分析。孫克輝等[10]采用直接觀測相圖、計算功率譜等方法對分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的動力學特性做了詳細的分析；賀少波等[11]利用ADM算法對分數(shù)階離散洛倫茲系統(tǒng)進行數(shù)值分析；Xu等[12]利用ADM算法對簡化統(tǒng)一分數(shù)階混沌系統(tǒng)進行動力學特性分析。這些研究表明分數(shù)階混沌系統(tǒng)通常比整數(shù)階混沌系統(tǒng)具有更復雜的動力學特性。Bao等[13]設計出一個簡單的三階憶阻混沌電路，并對其混沌特性進行了詳細的分析，但是沒有對分數(shù)階系統(tǒng)進行分析。

因此，本文在三階憶阻混沌電路基礎上，設計了一個新的分數(shù)階憶阻帶通濾波混沌電路系統(tǒng)，利用SE和C0復雜度算法[14]評價系統(tǒng)的隨機性，對其進行了詳細動力學特性分析。

1 BPF憶阻混沌電路系統(tǒng)

一個改進的荷控憶阻等效電路如圖1所示。該電路由1個電容、2個乘法器、3個電阻和2個運算放大器組成，其中v和i分別代表輸入端的電壓和電流，V0代表積分電容C0兩端的電壓，g是乘法器之間的比例系數(shù)。該憶阻器可表述為

(1)

圖2(a)是帶通濾波電路，與典型的文氏振蕩電路類似，但拓撲結構并不相同。將圖2(a)中的電阻R替換為圖1所示的改進型荷控憶阻器，得到憶阻帶通濾波混沌電路(圖2(b))。

根據(jù)憶阻器模型和憶阻電路，基于基爾霍夫定律和歐姆定律，可得系統(tǒng)電路方程：

(2)

式中：k=1+R2/R3，V0，V1，V2為電路中3個結點的電位，令x=V0，y=V1，z=V2，u=du/dτ(u≡x，y，z)，C1=C2=C，τ=t/R1C，a=R1C/RbC0，b=R1C/RaC0，c=R1/Rc。代入式(2)對電路參數(shù)做無量綱處理，可得系統(tǒng)方程為

(3)

令a=8，b=80，c=500/3，g=0.1，k=21。

由于系統(tǒng)動力學方程不含常數(shù)項，顯然(0，0，0)是系統(tǒng)(3)的平衡點。在平衡點附近任選取一點為初始值，觀測該系統(tǒng)吸引子的范圍，若初始值選取在吸引子范圍之外，則系統(tǒng)發(fā)散。選取x0=[0，0.000 001，0]為初始值，此時吸引子相圖如圖3所示，系統(tǒng)的李雅譜諾夫指數(shù)為(1.089 3，0，-6.224 0)，李雅普諾夫分數(shù)維度DL=2.175。此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖3 三維吸引子相圖Fig.3 Diagram of 3D attractor phase

2 分數(shù)階憶阻混沌電路的數(shù)值分析

2.1 Adomian分解算法

(4)

(5)

根據(jù)Adomian分解法原理，非線性部分可分解為

(6)

式中：i=0，1，…；j=0，1，…，n。由此非線性項可表示為

(7)

因此方程(4)的解為

(8)

其運算關系為

(9)

2.2 系統(tǒng)方程的數(shù)值解

由系統(tǒng)方程(3)，可得分數(shù)階憶阻混沌電路的系統(tǒng)方程：

(10)

根據(jù)Adomian算法，系統(tǒng)線性、非線性和常數(shù)部分為

(11)

(12)

(13)

(14)

根據(jù)式(6)對非線性項x12x2進行分解，在保證計算精度的前提下截取前5項，可表示為

(15)

(16)

由初始條件可得

(17)

(18)

令

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

則系統(tǒng)方程的解為

(24)

在求解過程中將積分區(qū)間分成區(qū)段(tk，tk+1)，所得結果為區(qū)段(tk+1，tk+2)的初始值。令h=(tk-tk-1)，共需要(tk+1-tk)/(h-1)次迭代。

3 分數(shù)階憶阻混沌電路動力學分析

3.1 參數(shù)a變化對系統(tǒng)動力學特性的影響

令q=0.9，初始值x0=[0，0.000 001，0]，h=0.001。此時系統(tǒng)相圖(見圖4)，系統(tǒng)的李雅譜諾夫指數(shù)為(1.825 5，0，-12.925 1)，李雅普譜夫分數(shù)維度DL=2.141 2。其中，只有一個正的李雅普諾夫指數(shù)，因此系統(tǒng)此時處于混沌狀態(tài)，且此時最大李雅譜諾夫指數(shù)比整數(shù)階最大李雅譜諾夫指數(shù)大，系統(tǒng)具有更為復雜的混沌特性。

圖4 a=8時的系統(tǒng)三維相圖Fig.4 3D phase diagram of system with a=8

令q=0.9，當a從7變化到11時的系統(tǒng)的分岔圖如圖5(a)所示。當參數(shù)a∈(7，7.172)和a∈(8.925，11)時，系統(tǒng)處于周期態(tài)。而當a∈(7.172，8.925)時，系統(tǒng)處于混沌態(tài)。

(a) 分岔圖

(b) 李雅譜諾夫指數(shù)譜

(c) SE復雜度

(d) C0復雜度

圖5 系統(tǒng)復雜度隨參數(shù)a變化

Fig.5 The influence of parameter a on the system

基于ADM算法，利用QR分解法求出系統(tǒng)隨參數(shù)a變化的李雅譜諾夫指數(shù)譜如圖5(b)所示。當a∈(7.172，8.925)時，系統(tǒng)的李雅譜諾夫指數(shù)為正值，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，這一結論與分岔圖相對應。特別地，當7.809

3.2 系統(tǒng)隨階數(shù)q變化的動力學特性

令a=8，仿真結果表明，當q<0.4時，系統(tǒng)處于發(fā)散狀態(tài)，q∈(0.4，0.709)時，系統(tǒng)是周期態(tài)。取q∈(0.5，1)，并保持其他參數(shù)和初始值不變時，系統(tǒng)的分岔圖如圖6(a)所示。當q>0.709時，系統(tǒng)通過倍周期分岔進入混沌狀態(tài)。系統(tǒng)隨階數(shù)q變化的李雅譜諾夫指數(shù)譜如圖6(b)所示，系統(tǒng)混沌特性主要被最大李雅普諾夫指數(shù)影響，因此為了顯示清楚，圖6(b)中省略最小李雅譜諾夫指數(shù)曲線。從李雅譜諾夫指數(shù)譜中同樣可以看出李雅譜諾夫指數(shù)隨階數(shù)q的增加而增加，產生混沌的最小階數(shù)為0.709，與分岔圖完全對應。

為進一步分析系統(tǒng)的動力學特性，分析隨階數(shù)q變化時系統(tǒng)的C0和SE復雜度如圖6(c)、圖6(d)所示。當0.50.709時，系統(tǒng)進入混沌態(tài)系統(tǒng)的復雜度增大，其動力學特性更加復雜。

令a=8，q分別取0.65和0.8，初始值x0=[0，0.000 001，0]。作出系統(tǒng)在y-z平面的相圖和在x=1平面，y-z軸的Poincaré截面如圖7所示，當a=8，q=0.65時，系統(tǒng)相圖為一個極限環(huán)，Poincaré為離散點；a=8，q=0.8時，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌吸引子，Poincaré為分形結構的密集點，均與分岔圖、李雅譜諾夫指數(shù)譜相對應。

3.3 系統(tǒng)隨參數(shù)a和階數(shù)q同時變化時的動力學特性

令初始值為x0=[0 0.000 001 0]，h=0.001，并保持其他參數(shù)值不變?；谧V熵SE和C0算法，得到二維SE和C0復雜度等高線如圖8(a)、(b)所示。該圖表示系統(tǒng)隨參數(shù)a和階數(shù)q同時變化時的復雜度，為選取合適的系統(tǒng)參數(shù)和階數(shù)，以便對其進行更好的應用提供了參考。在圖8中，不同的顏色代表了復雜度的不同，顏色越深代表復雜度越高，混沌序列隨機性越高。SE復雜度的最大值為0.371 2，對應的a=7，q=0.824 3，最大李雅譜諾夫指數(shù)為3.419；C0復雜度的最大值為0.111 3，a=7，q=0.720 7，最大李雅譜諾夫指數(shù)為6.324 3。需要指出的是在當a=7，0.720 7

(a) 分岔圖

(b) 李雅譜諾夫指數(shù)譜

(c) C0復雜度

(d) SE復雜度

圖6 系統(tǒng)復雜度隨階數(shù)q變化

Fig.6 The influence of orderqon the system

(a) y-z平面(q=0.65)吸引子相圖

(b) Poincaré截面(q=0.65)

(c) y-z平面(q=0.8)吸引子相圖

(d) Poincaré截面(q=0.8)

圖7 系統(tǒng)相圖和Poincaré截面

Fig.7 Phase diagram and Poincaré section of the system

4 結 論

在構建的憶阻帶通混沌濾波電路基礎上基于Adomian算法計算了分數(shù)階憶阻混沌電路的數(shù)值解。分析結果表明，分數(shù)階憶阻混沌系統(tǒng)相比于對應的整數(shù)階混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)更大。SE和C0分析表明系統(tǒng)的結構和序列更加復雜，更適合應用于保密通信領域。參數(shù)a=7，階數(shù)q∈(0.8，0.9)時，系統(tǒng)混沌序列的隨機性最好，安全性最高。研究結果為將憶阻帶通濾波混沌電路應用于保密通信等領域提供了理論基礎，具有較高的理論和應用價值。

(a) 二維-SE復雜度

(b) 二維-C0復雜度

圖8 系統(tǒng)隨參數(shù)a和q變化的復雜度

Fig.8 Complexity of the system varying with parametersaand orderq