李放，王德禹*

1 上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240

2 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240

0 引 言

與大型集裝箱船相比，超大型集裝箱船的綁扎橋結(jié)構(gòu)更高、更寬，且綁扎點分布于綁扎橋的不同高度平面，從而導(dǎo)致其整體剛度相對較弱。在超大型集裝箱綁扎橋的結(jié)構(gòu)分析方面，曾驥等[1]通過對綁扎橋結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值模擬，總結(jié)了極端工況下的高應(yīng)力區(qū)域，并提出了相應(yīng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化建議；王興勝[2]基于數(shù)值建模對綁扎橋結(jié)構(gòu)進(jìn)行了振動響應(yīng)分析，并針對不符合規(guī)范要求的部分結(jié)構(gòu)提出了修改意見。然而，有關(guān)超大型集裝箱船綁扎橋結(jié)構(gòu)可靠性分析方面的研究成果較少，這是因為其功能函數(shù)沒有顯式表達(dá)式，難以通過一階二次矩（first-order second moment，F(xiàn)OSM）或二階可靠性方法（second-order reliability method，SORM）直接求得可靠性指標(biāo)和失效概率，但可以采用蒙特卡羅（Monte Carlo，MC）方法進(jìn)行計算。在MC方法中，可以采用失效概率樣本點在全部樣本點中的出現(xiàn)頻率來表示失效概率，但這樣總體計算成本很高，且計算效率較低。

為了解決這一問題，可以采用2種方法：一種是通過方差縮減技術(shù)，例如重要抽樣（importance sampling，IS）法，減少抽樣樣本的總數(shù)，但該方法需要數(shù)以萬計的樣本點；另一種是采用近似模型技術(shù)來縮短單個樣本點的計算時間。Schueremans等[3]采用定向采樣方法建立了自適應(yīng)的響應(yīng)面代理模型，改進(jìn)了MC方法，并對比了采用低階多項式函數(shù)、樣條曲線函數(shù)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來擴(kuò)展響應(yīng)表面進(jìn)行可靠性分析的優(yōu)劣，最終發(fā)現(xiàn)采用樣條曲線函數(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以更準(zhǔn)確地處理高維復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可靠性分析問題。Kang等[4]基于移動最小二乘的有效響應(yīng)面法（response surface methodology，RSM）對MC方法進(jìn)行了改進(jìn)，該方法通過提高失效面附近樣本點的權(quán)重系數(shù)，逐步逼近識別失效區(qū)域和最可能失效點（most probable point，MPP），從而降低了計算成本。Echard等[5]將改進(jìn)Kriging近似模型與MC方法相結(jié)合，通過主動學(xué)習(xí)，令自適應(yīng)的Kriging模型每次迭代更新的樣本點均位于失效面附近，從而實現(xiàn)失效面函數(shù)的高度近似，故該方法對高可靠度模型具有很好的適應(yīng)性。于雷等[6]和王正剛[7]將響應(yīng)面作為近似模型，開展了結(jié)構(gòu)可靠性分析。張崎[8]和黃曉旭等[9]利用Kriging近似模型完成了結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)以及失效概率的計算。陳松坤等[10]和孟廣偉等[11]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與MC方法相結(jié)合，開展了結(jié)構(gòu)可靠度計算。Blagus等[12]通過對少數(shù)類樣本點進(jìn)行“過抽樣”，合成了新的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，即SMOTE算法。當(dāng)利用代理模型對高可靠性指標(biāo)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析時，會出現(xiàn)抽樣樣本數(shù)量較多、失效樣本點占比較少和擬合精度較差等問題，而SMOTE算法則可以解決傳統(tǒng)過抽樣算法通過簡單地復(fù)制樣本來增加少數(shù)類樣本所導(dǎo)致的過擬合問題，從而能提高失效面的擬合精度。

本文擬應(yīng)用SMOTE算法來增加失效面附近少數(shù)類樣本點的數(shù)量，并對梯度提升決策樹法（gradient boosting decision tree，GBDT）近似模型進(jìn)行訓(xùn)練，然后結(jié)合MC方法完成結(jié)構(gòu)可靠性的計算，用以為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提供參考。

1 改進(jìn)GBDT-MC方法

1.1 GBDT方法

GBDT方法是一種迭代的決策樹算法[13]。假設(shè)有m個訓(xùn)練樣本：

1.2 SMOTE算法

SMOTE算法是一種合成少數(shù)類數(shù)據(jù)的過抽

1.3 改進(jìn)GBDT-MC方法的原理

綜上所述，本文提出的改進(jìn)GBDT-MC方法的原理為：首先，利用有限元方法計算少量樣本點的信息，并篩選位于失效面附近的樣本點；然后，運(yùn)用SMOTE算法合成新的樣本點并參與有限元計算，進(jìn)而結(jié)合原有的樣本點形成訓(xùn)練集；最后，對GBDT近似模型進(jìn)行訓(xùn)練，并采用已訓(xùn)練的近似模型預(yù)測MC方法中的樣本點信息，即可完成結(jié)構(gòu)可靠性分析，從而顯著提高計算精度和計算效率。

1.4 改進(jìn)GBDT-MC方法的迭代流程

2 改進(jìn)GBDT-MC方法的適用性驗證

針對樣本點的數(shù)量、失效概率值和可靠性指標(biāo)β，對于改進(jìn)GBDT-MC方法在結(jié)構(gòu)可靠性分析問題中的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，本文將結(jié)合文獻(xiàn)[5，15]予以驗證。

2.1 算 例1：一 個 具 有 解 析 表 達(dá) 式 的 失效面

圖 3 非線性振蕩器Fig. 3 Non-linear oscillator

表1所示為該算例6個隨機(jī)變量c1，c2，m，r，t1，F(xiàn)1的分布類型及其分布參數(shù)。對于該問題，Echard等[5]采用改進(jìn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)合MC方法（back propagation-Monte Carlo，BP-MC）進(jìn)行了計算。本文將采用與文獻(xiàn)[5]相同的樣本數(shù)量訓(xùn)練改進(jìn)GBDT-MC模型，其對比結(jié)果如表2所示。

表 1 非線性振蕩器設(shè)計變量特性Table 1 Stochastic characteristic of the non-linear oscillator

表 2 不同方法的計算結(jié)果對比（算例1）Table 2 Comparison of calculation results of different methods (example 1)

首先，建立該失效面的有限元模型，采用MC方法產(chǎn)生1×107個樣本點，通過式（17）計算失效樣本點的數(shù)量，然后通過式（16）即可計算該結(jié)構(gòu)的失效概率和可靠性指標(biāo)，結(jié)果如表2所示。

文獻(xiàn)[5]中的BP-MC方法通過直接采樣產(chǎn)生了1 281個樣本點，進(jìn)而計算得到響應(yīng)集。本文通過均勻采樣生成了881個樣本點，計算得到初步響應(yīng)集，并篩選了位于失效面附近的100個樣本點；然后，結(jié)合SMOTE算法將次樣本集擴(kuò)大4倍，得到新的400個樣本點的響應(yīng)集，并結(jié)合原有響應(yīng)集得到訓(xùn)練集。通過表2對比發(fā)現(xiàn)，相同數(shù)量的樣本點參與訓(xùn)練時，改進(jìn)GBDT-MC方法比BPMC方法的準(zhǔn)確性更高。

2.2 算例2：十桿桁架結(jié)構(gòu)

圖 4 十桿桁架結(jié)構(gòu)Fig. 4 10-bar truss structure

對于該問題，韋益夫等[15]采用移動最小二乘法（moving least square method，MLSM）改進(jìn)了響應(yīng)面法，并結(jié)合一階二次矩方法建立了動態(tài)響應(yīng)面模型。本文將采用與文獻(xiàn)[15]相同的樣本數(shù)量訓(xùn)練改進(jìn)GBDT-MC模型，其對比結(jié)果如表3所示。

表 3 不同方法的計算結(jié)果對比（算例2）Table 3 Comparison of calculation results of different methods (example 2)

首先，建立該桁架結(jié)構(gòu)的有限元模型，采用MC法產(chǎn)生1×106個樣本點，進(jìn)而基于有限元分析得到全部樣本點的應(yīng)力狀態(tài)。通過式（18）計算失效樣本點的數(shù)量，然后通過式（16）得到該結(jié)構(gòu)的失效概率和可靠性指標(biāo)，結(jié)果如表3所示。

文獻(xiàn)[15]中的MLSM方法迭代了5次，響應(yīng)面每次至少需要迭代中心點附近的21個樣本點，總計105個樣本點。本文通過均勻采樣生成了65個樣本點，計算得到初步響應(yīng)集，并篩選了位于失效面附近的10個樣本點；然后，結(jié)合SMOTE算法將次樣本集擴(kuò)大4倍，得到新的40個樣本點的響應(yīng)集，并結(jié)合原有響應(yīng)集得到訓(xùn)練集。通過表3對比發(fā)現(xiàn)，相同數(shù)量的樣本點參與訓(xùn)練時，改進(jìn)GBDT-MC方法比MLSM方法的準(zhǔn)確性更高。

3 基于改進(jìn)GBDT-MC方法的超大型集裝箱船綁扎橋可靠性分析

本文的結(jié)構(gòu)可靠性分析對象為20 000 TEU超大型集裝箱船07#綁扎橋，如圖5所示。選取綁扎橋的板材厚度作為設(shè)計變量，每個設(shè)計變量均服從正態(tài)分布，共計選取14個設(shè)計變量（l1～l14），其中骨材和立柱的尺寸則作為已知量。各變量均值來自實測數(shù)據(jù)，標(biāo)準(zhǔn)差假定為均值的10%，具體信息如表4所示。邊界條件為底端固支，靜態(tài)綁扎力為175 kN，符合中國船級社的規(guī)范要求[16]。

圖 5 20 000 TEU超大型集裝箱船綁扎橋結(jié)構(gòu)Fig. 5 Lashing bridge of 20 000 TEU ultra large container ship

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)[16]，綁扎橋結(jié)構(gòu)的許用合成應(yīng)力應(yīng)不大于0.88倍的板材屈服極限。圖5中綁扎橋的主要結(jié)構(gòu)采用了AH36高強(qiáng)度鋼，其屈服極限為355 MPa，則該結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)g(l)為

針對圖5所示的綁扎橋結(jié)構(gòu)，分別采用MC方法和改進(jìn)GBDT-MC方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析，計算對比結(jié)果如表5所示。

首先，建立該綁扎橋結(jié)構(gòu)的有限元模型，采用MC法產(chǎn)生5×104個樣本點，進(jìn)而基于有限元分析得到全部樣本點的應(yīng)力狀態(tài)。通過式（19）得到失效樣本點的數(shù)量，然后使用式（16）得到該綁扎橋結(jié)構(gòu)的失效概率和可靠性指標(biāo)，結(jié)果如表5所示。

表 4 綁扎橋的設(shè)計變量Table 4 Design variables of the lashing bridge

表 5 計算結(jié)果對比Table 5 Comparison of calculation results

表5中的計算結(jié)果表明，該超大型集裝箱船綁扎橋在靜態(tài)綁扎力作用下的失效概率可達(dá)10-4量級，具有較高的可靠性。這是由于該結(jié)構(gòu)采用了高強(qiáng)度鋼，且考慮到工程實際中的環(huán)境載荷、建造工藝和人為操作等不確定因素，對該結(jié)構(gòu)提出了較高的安全裕度要求。

本文通過均勻采樣生成了220個樣本點，計算得到初步響應(yīng)集，并篩選了位于失效面附近的20個樣本點；然后，結(jié)合SMOTE算法將次樣本集擴(kuò)大4倍，得到新的80個樣本點的響應(yīng)集，即總共調(diào)用300次有限元計算得到訓(xùn)練集。通過表5對比發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)GBDT-MC方法的失效概率誤差為 3.5%，共花費2.55 h，而MC方法則需要416.7 h。因此，在允許的計算誤差范圍內(nèi)，改進(jìn)GBDT-MC方法可以大為縮減可靠性分析的計算時間。

4 結(jié) 論

針對復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性分析時單次計算耗時較長的問題，本文提出了一種改進(jìn)GBDT-MC方法來計算失效概率。該方法通過Python庫建立GBDT近似模型，通過實驗生成較少的樣本點，并通過SMOTE算法增加失效面附近的樣本點數(shù)量，進(jìn)而結(jié)合原有樣本點得到訓(xùn)練集；通過對近似模型進(jìn)行訓(xùn)練，完成對MC方法所產(chǎn)生樣本的預(yù)測，最終完成失效概率的計算。另外，本文還基于2個算例驗證了改進(jìn)GBDT-MC方法的適用性，并將該方法應(yīng)用到了超大型集裝箱船綁扎橋結(jié)構(gòu)的可靠性分析中，結(jié)果表明：

1） 本文提出的改進(jìn)GBDT-MC方法適用于結(jié)構(gòu)的可靠性分析，尤其適用于高可靠性指標(biāo)的結(jié)構(gòu)。

2） 利用SMOTE算法對失效面附近的樣本進(jìn)行插值，可以提高少數(shù)類樣本的占比，有效減少總抽樣次數(shù)，從而縮短計算時間。

3） 改進(jìn)GBDT-MC方法可以對失效面進(jìn)行高度近似擬合，從而大為提高計算精度。

需要指出的是，隨著訓(xùn)練集樣本點數(shù)量的增加，改進(jìn)GBDT-MC方法的計算精度也將隨之提高。同時，每次參與訓(xùn)練的樣本點信息均可保存于模型中，并與優(yōu)化算法進(jìn)行高效結(jié)合，以便為后續(xù)的可靠性優(yōu)化設(shè)計提供支持。