唐伎玲, 趙宏偉, 王婷婷, 胡黃水

(1.長春大學 計算機科學技術學院, 長春 130022； 2.吉林大學 計算機科學與技術學院, 長春 130012；3.長春工業(yè)大學 計算機科學與工程學院, 長春 130012)

無刷直流電機(brushless direct current motor, BLDCM) 以其結構簡單、效率高、維護費用低、動態(tài)響應高等優(yōu)點, 在航空航天、機器人、電動汽車等領域應用廣泛[1-3].轉速控制是無刷直流電機驅動領域的一個重要方面[3-4].隨著電子技術、傳感器技術、自動控制技術和制造技術的快速發(fā)展, 研究響應速度快、調節(jié)能力強、控制精度高的無刷直流電機調速控制器具有重要意義和應用前景.但復雜的強耦合非線性特性使傳統(tǒng)控制方法難以實現(xiàn)良好的速度控制性能.為改善無刷直流電機的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性, PID(比例-積分-微分)控制器通常是無刷直流電機調速的最佳選擇.文獻[5-6]提出了基于PI(比例-積分)的無刷直流電機速度控制器, 通過增加比例增益, 提高了速度控制器的靈敏度, 降低了速度超調.但傳統(tǒng)PID對增益選擇的依賴性較強, 導致無刷直流電機性能下降, 具有各種不確定性和非線性[7].因此, 人們提出了許多方法來簡化或改進PID增益整定過程, 其中基于神經(jīng)網(wǎng)絡的算法取得了較好的結果[8-10].

基于神經(jīng)網(wǎng)絡的PID增益更新算法已成功地應用于伺服電機、數(shù)控機床等控制中.如文獻[11]設計了單神經(jīng)元PID控制器對無刷直流電機進行控制； 文獻[12]設計了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡的永磁同步電機控制策略, 速度環(huán)反饋采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡實現(xiàn), 通過系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)對PI控制器的比例系數(shù)KP、積分系數(shù)KI進行控制, 該控制策略易實現(xiàn), 但是該策略在神經(jīng)網(wǎng)絡訓練前需通過先驗知識確定狀態(tài)參數(shù).此外, 基于梯度下降的訓練算法也是一個耗時的過程, 為此, 人們提出了一些優(yōu)化方法.文獻[13]采用粒子群優(yōu)化算法初始化自適應PID神經(jīng)網(wǎng)絡控制器的權值, 采用改進的梯度下降算法對PID神經(jīng)網(wǎng)絡的參數(shù)進行調整, 但粒子群優(yōu)化算法初始化PID神經(jīng)網(wǎng)絡的時間較長.經(jīng)典的最優(yōu)控制理論已經(jīng)形成了一種線性二次穩(wěn)壓器, 它可使系統(tǒng)狀態(tài)軌跡的偏差最小化, 并且只需要最小的控制器努力[14].線性二次調節(jié)器(LQR)的這種特性可用于調整PID控制器[15-16].LQR優(yōu)化PID控制器雖然具有良好的跟蹤性能和穩(wěn)定性能, 但其魯棒性還有待提高.

為實現(xiàn)無刷直流電機的轉速控制, 本文設計一種LQR優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡的PID控制器LNPID.該控制器使用LQR算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡的控制輸出, 最佳控制輸出調節(jié)控制器的KP,KI,KD增益, 以提高控制器的動態(tài)適應性和魯棒性, 使LNPID比傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡PID (NNPID)[12]和LQR優(yōu)化的PID控制器(LQRPID)[16]控制性能更好.為了驗證LNPID的性能, 在不同的工況下進行測試, 并與上述控制器進行超調、欠調、穩(wěn)定時間、恢復時間和穩(wěn)態(tài)誤差等參數(shù)的比較.

1 BLDCM的轉速控制

三相星形連接BLDCM可轉換為如圖1所示的電路圖.BLDCM的數(shù)學模型可用矩陣形式表示為

(1)

其中:Va,Vb,Vc為相電壓(V);R為定子繞組電阻(Ω);ia,ib,ic表示電機的相電流(A);L,M分別表示電機繞組的自感和定子繞組間的互感;ea,eb,ec表示各相的反電磁力, 單位為V;P表示轉子中極數(shù);θr表示轉子位置；J,B,ωr,TL分別表示電機的轉動慣量、摩擦系數(shù)、角速度和負載轉矩.機電轉矩為

(2)

圖2為BLDCM轉速控制系統(tǒng).由圖2可見, 該系統(tǒng)由三相電壓型PWM逆變器、三相BLDCM、LQR優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡、傳統(tǒng)PID控制器、開關邏輯和電機測量傳感器組成.在此基礎上, 建立了內(nèi)環(huán)和外環(huán)兩個閉環(huán).外環(huán)用于BLDCM的速度控制, 并基于誤差e, LQR優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡PID控制器為切換邏輯電路提供控制信號, 控制直流總線電壓, 從而控制電機的轉速.PID控制器由比例項、積分項和微分項組成, 可表示為

(3)

其中e(t),KP,KI,KD,u(t)分別為轉速誤差、比例增益、積分增益、微分增益和控制輸入.通過對連續(xù)時間PID方程兩邊的時間導數(shù)進行離散化, 得到離散時間PID控制器, 其表達式為

其中T為采樣周期.

圖1 無刷直流電機等效電路Fig.1 Equivalent circuit of BLDCM

圖2 BLDCM轉速控制系統(tǒng)Fig.2 Speed control system of BLDCM

2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡最優(yōu)控制器設計

2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡設計

圖3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡結構Fig.3 Structure of BP neural network

采用三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡, 其中輸入層為3個神經(jīng)元(神經(jīng)元個數(shù)的選取對應e(k),e(k)-e(k-1),e(k)-2e(k-1)+e(k-2)), 隱含層為6個神經(jīng)元(神經(jīng)元個數(shù)的選取為多次仿真效果最佳), 輸出層為3個神經(jīng)元(神經(jīng)元個數(shù)的選取對應PID控制器的3個參數(shù)), 其結構如圖3所示.

則優(yōu)化PID增益可表示為

(9)

其中f1(x)和f2(x)是隱藏層和輸出層的激活函數(shù), Sigmoid函數(shù)為

f1(x)=2/(1+ex)-1,

(10)

f2(x)=1/(1+ex).

(11)

2.2 LQR優(yōu)化過程

最優(yōu)伺服系統(tǒng)的設計目標是系統(tǒng)跟蹤一定指令信號時誤差最小.設BLDCM是一個離散系統(tǒng), 其離散狀態(tài)方程為

X(k+1)=FX(k)+GOkout(k),

(12)

Ok(k)=CX(k),

(13)

其中：X(k)是(n×1)維狀態(tài)向量;Okout(k)是m維控制向量;Ok(k)是l維輸出向量,F,G,C分別是(n×n),(n×m),(l×n)維的系統(tǒng)參數(shù)矩陣.

Okout(k)=-MX(k)+KE(k),

(14)

(15)

若用帶記號“*”的新變量表示系統(tǒng)偏離穩(wěn)態(tài)的平穩(wěn)狀態(tài)值(擾動), 則新變量定義為

將式(19)～(21)代入式(12),(13), 得

顯然, 從式(22),(23)中分別減去穩(wěn)態(tài)的關系式(16),(18), 可得新的差分方程為

且有

由式(24),(27)可組成一個新的增廣系統(tǒng)為

(28)

其中V*(k)為m維向量,

(29)

尋求控制輸入V*(k)使如下性能指標J最小:

(30)

其中:Q=CTSC為(n×n)維的半正定矩陣;R為(m×m)維的正定矩陣.在式(28)的約束條件下, 使式(30)表示的性能指標最小.此時, 求V*(k)與線性最優(yōu)調節(jié)器問題相同.于是, 可求得增廣系統(tǒng)最優(yōu)控制器輸入為

(31)

2.3 LNPID控制器的設計

BP神經(jīng)網(wǎng)絡具有并行處理能力強、非線性映射能力強、容錯性好等優(yōu)點, 已被用于以不同結構調整PID控制器的增益.但BP神經(jīng)網(wǎng)絡很難達到全局最優(yōu)解, 收斂時間較短, 參數(shù)確定較難, 導致精度低, 收斂性較弱.因此, 將LQR引入到BP神經(jīng)網(wǎng)絡以減少控制誤差.

設BP神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入為xi(k), 輸出為Okout(k), 則控制律為

(32)

其中g(xi(k))=g(x1,x2,x3)為BP神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入與輸出非線性映射函數(shù).于是, 最終優(yōu)化PID增益可表示為

KP,I,D=Ok,k=1,2,3.

(33)

定義訓練BP神經(jīng)網(wǎng)絡權值的誤差函數(shù)為當被控對象動態(tài)響應能由式(12)精確表達時, BP神經(jīng)網(wǎng)絡網(wǎng)絡的輸出為零(Okout(k)=0).將BP神經(jīng)網(wǎng)絡的性能指標定義為

(34)

其中

(35)

(36)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡的連接權值Wij(k)和Wjk(k)采用最速下降法調整：

(37)

其中η為學習率.計算

(39)

其中:xi(k)表示BP神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入;bj為隱層輸出;Okout為輸出層的輸出.

基于LQR優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡的PID控制算法步驟如下：

1) 事先選定BP神經(jīng)網(wǎng)絡的結構, 即選定輸入層節(jié)點個數(shù)m, 根據(jù)遺傳算法選定隱含層節(jié)點個數(shù)q及各層間加權系數(shù)的初值Wij(0),Wjk(0), 選取學習率η, 并令k=1;

2) 采樣得到r(k)和y(k), 計算e(k)=r(k)-y(k);

3) 對e(k),e(k)-e(k-1),e(k)-2e(k-1)+e(k-2)進行歸一化處理, 作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入;

4) 根據(jù)步驟3)計算BP神經(jīng)網(wǎng)絡輸出層的輸出Okout, 計算此時的控制律Ok, 并由式(33)獲得此時控制器的3個調整參數(shù)KP,KI,KD;

5) 計算基于LQR優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡控制E(k);

6) 由式(40)計算修正輸出層和隱含層的加權系數(shù)Wij(k)和Wjk(k);

7) 令k=k+1, 轉步驟2), 直到BP神經(jīng)網(wǎng)絡輸出層輸出誤差滿足要求為止.

3 仿真分析

為驗證LNPID在BLDCM控制系統(tǒng)中的轉速控制性能, 借助MATLAB/Simulink工具箱搭建系統(tǒng)模型, 在不同工況條件下對控制器進行仿真分析, BLDCM控制系統(tǒng)仿真模型如圖4(A)所示, 其中LNPID控制器如圖4(B)所示.采用文獻[3]中的BLDCM參數(shù)設置: 額定電壓為470 V, 額定電流為50 A, 額定轉速為2 600 r/min, 定子電阻相R=3 Ω, 定子相電感L=0.001 H, 電壓常數(shù)為0.146 6 V/(r·min-1), 轉矩常數(shù)為1.4 N·m/A, 轉動慣量J=0.000 8 kg·m2/rad, 阻力因子B=0.001 N·m/(rad·s-1), 極對數(shù)P=4.

圖4 BLDCM速度控制系統(tǒng)模型Fig.4 Model of speed control system for BLDCM

給定BLDCM的輸入轉速為2 600 r/min, 負載為空, BP神經(jīng)網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)為3,6,3, 初始權值為[-0.5,0.5]的隨機數(shù), 權值隨系統(tǒng)動態(tài)在線調整, 學習率η=0.05,R=1.根據(jù)3種算法仿真實驗最終輸出數(shù)據(jù)獲得KP,KI和KD參數(shù), 結果列于表1.運行無刷直流電機調速系統(tǒng)模型, 得到的轉速響應曲線如圖5所示, 各項性能指標列于表2.

表1 KP,KI,KD實驗參數(shù)

圖5 空載狀態(tài)下轉速響應曲線Fig.5 Curves of speed response under no-load state

表2 空載狀態(tài)下各控制器的性能指標

由圖5和表2可見, LQRPID有明顯的超調/欠調現(xiàn)象, 超調量最高為137.7 r/min, 欠調量最低為24.3 r/min, NNPID的超調量為38.2 r/min, 欠調量為4.1 r/min; 而LNPID超調/欠調現(xiàn)象較弱, 超調量為25.6 r/min, 欠調量為4.5 r/min.在穩(wěn)態(tài)過程中, LNPID穩(wěn)定時間最短約0.01 s, 且穩(wěn)態(tài)誤差最小, LQRPID穩(wěn)定時間約為0.052 s, NNPID穩(wěn)定時間最長約為0.056 s.LNPID在各方面的控制效果均優(yōu)于其他控制器.

對于實際BLDCM系統(tǒng), 存在突加的外部干擾, 在控制算法研究中, 系統(tǒng)的魯棒性也是評判控制策略優(yōu)劣的一個重要指標.為比較這3種控制算法抗干擾性能的控制效果, 在0.2 s對系統(tǒng)添加3 N的外力干擾, 轉速響應曲線如圖6所示, 各項性能指標列于表3.由圖6和表3可見, 系統(tǒng)在0.2 s突然增加外力干擾時, 3種控制器均產(chǎn)生了波動性響應, NNPID和LQRPID控制器超調/欠調現(xiàn)象明顯, LNPID的波動現(xiàn)象最??； LNPID控制器的恢復時間最短為0.05 s, 穩(wěn)態(tài)誤差最小為0.4 r/min.因此, LNPID控制器魯棒性最佳, 具有良好的抗干擾能力.

圖6 負載狀態(tài)下轉速響應曲線Fig.6 Curves of speed response under load state

表3 負載狀態(tài)下各控制器的性能指標

Table 3 Performance indexes of each controller under load state

性能指標 NNPID控制器LQRPID控制器LNPID控制器超調量/(r·min-1)34.9217.01-3.5欠調量/(r·min-1)136.01115.8122.34恢復時間/s0.0750.0650.05穩(wěn)態(tài)誤差/(r·min-1)1.310.820.4穩(wěn)態(tài)誤差/%0.050.0320.015

綜上所述, 本文針對無刷直流電機的轉速控制問題, 提出了一種基于LQR優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡PID控制器LNPID.采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡對PID控制器的增益進行調整, 采用LQR優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡的最優(yōu)輸出.在MATLAB/Simulink環(huán)境下建立仿真模型, 測試LNPID在空載、負載等工況下的控制性能, 并與NNPID和LQRPID控制器進行了性能指標的對比.仿真結果表明, 在無刷直流電機的各種工況下, LNPID控制器都明顯優(yōu)于其他控制器.