空氣耦合超聲換能器聲場的時域計算方法

李 驥，張 旻，PIWAKOWSKI Bogdan

(1.中國核動力研究設計院,成都 610213;2. 里爾中央理工 電子、微電子與納米技術研究所(法國國家科學研究中心) ,里爾 59651)

空氣耦合超聲換能器是空氣耦合超聲檢測系統(tǒng)的核心部件，在換能器設計的過程中，一般需要優(yōu)化換能器的幾何形狀(如線形、圓形、方形等)和尺寸，以對近場、遠場、聲束擴散角等聲場特征參數(shù)進行精確調控。上述參數(shù)直接決定了換能器的工作性能，例如，近場距離代表了換能器的自然焦距，其與聲束擴散角共同決定了換能器聲場的能量分布，進而影響換能器在材料缺陷檢測中的靈敏度、橫向和縱向分辨力。聲場的準確計算是超聲換能器設計和優(yōu)化中的關鍵環(huán)節(jié)，學者們在此方面開展了大量工作，采用瑞利積分法、角譜法、有限差分法、邊界元法和有限元法對換能器的聲場進行了優(yōu)化計算，極大地推動了超聲換能器的發(fā)展。上述工作主要集中在水耦合換能器方面，且一般認為超聲波在水中的衰減可以忽略[水中的超聲波衰減為α(f)=19.02×10-4f2dB·cm-1，f為頻率，單位為MHz]。然而，在常溫常壓下(25 ℃，101 kPa)，超聲波在空氣中的衰減為α(f)=15.9×10-1f2dB·cm-1[1]，約為水中的1 000倍，因而空氣耦合聲場的計算中必須將衰減因素考慮在內。

針對空氣耦合換能器聲場計算中聲波衰減的問題，GACHAGAN等[2]采用低通濾波方法進行了衰減表征，并基于瑞利積分和簡化低通濾波器建立了空氣耦合換能器聲場的計算模型；BASHFORD[3]、孔濤等[4]基于聲場的解析公式對圓形換能器聲場進行了仿真，考慮到聲波在空氣中的衰減效應，對換能器聲場進行了頻域修正；將修正后的聲場與試驗進行對比，較為吻合。LI等[5]采用復波數(shù)表征了聲波在介質中的衰減及其對應的頻散，結合逆傅里葉變換計算時域格林函數(shù)，建立了一般衰減性介質[α(f)=α0fη，其中α0和η為非負數(shù)，1≤η≤2]中超聲換能器聲場的瑞利積分計算模型。采用該模型對圓形空氣耦合超聲換能器聲場進行了模擬，獲得的時域波形，聲壓的軸向、徑向分布與試驗結果非常吻合。筆者基于上述工作進一步開展研究，針對空氣介質推導出時域格林函數(shù)的解析表達式，避免了逆傅里葉變換過程，基于該函數(shù)和瑞利積分建立了空氣耦合超聲換能器聲場的時域空間脈沖響應計算模型，為空氣耦合換能器聲場的模擬提供了快速的計算方法。

1 空氣耦合聲場計算模型

空氣耦合超聲換能器輻射聲場示意如圖1所示，任意形狀的換能器位于無限延伸的剛性平板中間。假設換能器表面S垂直振動，其法向速度為vn(M0)。由惠更斯原理可知：S上的每一點都可以視為向外輻射球面波的振源，則空間任意一點M(x,y,z)的速度勢HΦ(M,f)響應為所有點振源輻射的球面波的疊加，可以采用瑞利積分表達為

(1)

G(M0,M,f)=exp[j(2πft-kR)]/(2πR)

(2)

式中：G為半無限空間中的格林函數(shù)；R為觀測點M到點振源M0之間的距離；k=2πf/c，c為聲速。

在工程實際中，聲波在大多數(shù)材料中傳播時存在衰減。對于絕大部分材料而言，冪指數(shù)η為02。

圖1 空氣耦合超聲換能器的輻射聲場示意

一般情況下，衰減可能在兩方面引起聲場的畸變：① 衰減會導致聲波能量的耗散,進而引起波動幅度的降低；② 聲波在自由空間(無邊界或假設為無邊界)中傳播時，衰減會引起頻散(波速隨頻率變化)，且此時頻散只能由衰減引起，也即衰減是頻散的充分必要條件[6]。大量的理論和試驗研究證明：衰減與相應的頻散cα(f)由Kramers-Kronig關系決定[6-9]，也即

(3)

式中：f0為一個設定的頻率，要求其遠大于所研究的頻率范圍f0?f，也即使得c(f0)=c(f→∞)。

為了將衰減和頻散兩個因素同時考慮在波傳播的過程中，這里引入復波數(shù)：K=kα(f)-jα(f)，其中kα(f)=2πf/cα(f)。將復波數(shù)K代入式(2)中，替換k可以得到衰減性介質中的格林函數(shù)在頻域的表達式如式(4)所示。

Gα(M0,M,α,f)=exp[j(2πft-KR)]/(2πR)=

exp[-α(f)R+j2πfR/cα(f)]/(2πR)

(4)

當聲波在空氣中傳播時會產生二次方衰減，也即η=2，α(f)=α0f2。由式(3)可知，此時聲速cα(f)=c(f→∞)=c0為常數(shù)，也即空氣中的二次方衰減不會引起頻散，c0為空氣中的聲速。因此，空氣中的頻域格林函數(shù)可以寫為

Gα,air(M0,M,α,f)=

(5)

式(5)具有高斯函數(shù)的形式，因此對其進行逆傅里葉變換可以得到空氣中時域格林函數(shù)的解析表達式如式(6)所示。

gα,air(M0,M,α,t)=

(6)

將式(5)代入式(1)，可以得到在空氣中的速度勢響應為

(7)

相應的時域空間脈沖響應為

(8)

式(6)和式(8)為空氣耦合狀態(tài)下超聲換能器聲場的時域空間脈沖響應計算模型。假設換能器在外部激勵s(t)下沿法向均勻振動，也即vn(M0)為常數(shù)，則由線性系統(tǒng)理論可知，換能器向空氣中任意一點輻射的速度勢為

Φ(M,t)=s(t)*hΦ(M,α,t)

(9)

相應的聲壓為

(10)

2 空氣耦合聲場仿真

選定最為常見的圓形空氣耦合換能器進行聲場仿真研究，設定換能器半徑為10 mm，中心頻率f0為200 kHz，空氣中聲速c0為340 m·s-1，聲波的衰減為α(f)=15.9×10-1f2dB·cm-1，超聲波在空氣中的衰減曲線如圖2所示。在換能器研究中，通常采用Chebychew函數(shù)模擬其聲-電響應，因此這里假定激勵函數(shù)為Chebychew函數(shù)。

(11)

式中：f0為中心頻率；tr和tf分別為上升時間和下降時間，這里設定tr=tf=0.6/f0。

圖2 超聲波在空氣中的衰減曲線

圖3 換能器激勵函數(shù)的時域波形及其頻譜

換能器激勵函數(shù)的時域波形及其頻譜如圖3所示。

2.1 軸向聲壓分布

圖4 換能器軸向聲壓分布

根據(jù)式(6)(10)，對換能器聲場進行仿真，提取時域波形的峰值幅度和中心頻率成分的幅值，沿換能器中心軸線的聲壓分布如圖4所示。由圖4可知：① 對于時域波形峰值，在無衰減的情況下，其幅值在近場范圍內先減小后增大，在遠場范圍內單調遞減；當考慮空氣中的衰減時，其幅值隨著傳播距離的增加逐漸減??；② 對于中心頻率成分，在無衰減的情況下，其幅值在近場范圍內反復波動，多次到達零點和最大值點，在遠場范圍內單調遞減；當考慮空氣中的衰減時，其幅值在近場范圍內反復波動，多次到達零點和極大值點，且極大值隨著傳播距離的增加而減小，幅值在遠場范圍內單調遞減；③ 與無衰減的情況對比，空氣中近場長度明顯減小。

2.2 時域波形

換能器軸線上遠場內一點z=56.25 mm處的時域波形及其頻譜如圖5，6所示。由圖5，6可知：空氣中的衰減使得時域波形更加簡單；無衰減情況下的峰值頻率為200 kHz，而當聲波在空氣中傳播時，高頻成分被極大地削弱，峰值頻率發(fā)生了偏移，偏移量約為80 kHz。

圖5 無衰減時，z=56.25 mm處的時域波形及頻譜

圖6 空氣中傳播時，z=56.25 mm處的時域波形及頻譜

3 結語

(1) 介質中的衰減在引起超聲波幅值降低的同時會引起頻散，但是對于空氣來說，由于其滿足二次方衰減，由Kramers-Kronig關系可知，其聲速保持不變。

(2) 考慮空氣中的二次方衰減，推導出空氣中時域格林函數(shù)的解析表達式，基于該函數(shù)和瑞利積分建立了空氣耦合換能器時域聲場的快速計算模型。

(3) 對空氣耦合換能器的軸向聲場進行仿真發(fā)現(xiàn)：相對于無衰減的情況，空氣中的衰減引起軸向聲壓明顯降低，近場距離減小。

(4) 對時域信號進行仿真發(fā)現(xiàn)：空氣的衰減特性會引起低通濾波效應，導致時域信號的高頻成分被極大地濾除，時域波形變得更加簡單，同時信號頻譜峰值會向低頻部分偏移。