基于狀態(tài)不確定性的動態(tài)濾波算法

(中南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,長沙,410083)

1 引言

在大地測量數(shù)據(jù)中經(jīng)常存在不確定性，它們影響著參數(shù)估計的準確性.不確定性是廣義的誤差，它包含可度量和不可度量的誤差[1-3].測量數(shù)據(jù)的不確定性可以是具體數(shù)值，也可能它們僅在一定的實數(shù)區(qū)間內(nèi)變動，又或許是個模糊數(shù).利用先驗信息來抑制不確定性是不確定性觀測數(shù)據(jù)平差的有效方法.在實際處理中可根據(jù)先驗信息建立對參數(shù)的約束條件[4-7]，即狀態(tài)參數(shù)的不確定性.

近年來，針對狀態(tài)約束的動態(tài)問題已經(jīng)有了許多深入的研究，主要的方法有：水平滑動估計法[8-10]、平滑約束卡爾曼濾波[11]、二階泰勒級數(shù)展開非線性約束濾波[12]等.文獻[13,14]將不等式約束模型轉(zhuǎn)化為規(guī)劃問題求解，文獻[15]提出了內(nèi)點法，將約束問題轉(zhuǎn)換成無約束問題.文獻[16]用一系列二次規(guī)劃子問題代替原帶約束問題.文獻[17]將不等式約束轉(zhuǎn)換為橢球約束利用嶺估計計算，解是有偏的，并且不一定能滿足不等式.將不等式約束函數(shù)轉(zhuǎn)換為概率密度函數(shù)是另一種方法,但是其計算量隨著狀態(tài)維數(shù)迅速增大[18].楊元喜等引進自適應因子建立自適應抗差濾波理論[19,20]，提出帶約束的抗差卡爾曼濾波模型[21].文獻[22]推導了等式約束卡爾曼濾波的解及其統(tǒng)計性質(zhì)，指出附不等式約束和等式約束卡爾曼濾波問題的解具有相同的性質(zhì).然而上述算法并沒有有效利用已知的觀測信息，未給出顯示表達式，且計算量巨大.對于狀態(tài)約束僅考慮了等式約束和不等式約束，橢球約束的濾波模型并沒有得到討論.基于此，本文將狀態(tài)參數(shù)的不確定性定義為狀態(tài)約束，把已知的觀測信息與平差準則結(jié)合，轉(zhuǎn)化為具有約束的規(guī)劃問題，利用拉格朗日乘數(shù)法求解，推導出無約束、不等式約束和橢球約束下的濾波算法.

2 無約束濾波算法

在無狀態(tài)約束時，考慮下面的濾波模型

xk=Φk，k-1xk-1+wk,

Lk=Hkxk+vk,

其中狀態(tài)向量xk∈n,觀測向量Lk∈m,Φk，k-1是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Hk為m×n階系數(shù)矩陣，wk∈n和vk∈m分別為狀態(tài)噪聲和觀測噪聲向量，且滿足

Ewk=0，Evk=0,

令

(1)

(2)

對濾波模型建立平差準則

(3)

我們有

(4)

式(4)即為卡爾曼濾波模型中狀態(tài)估計的遞推公式.

現(xiàn)在將平差準則(3)變?yōu)槿缦滦问?/p>

(5)

忽略與xk的無關(guān)項，平差準則(5)可寫為

(6)

其中

(7)

對式(7)求逆有

(8)

因此我們得到無約束濾波算法：

無約束濾波算法與卡爾曼濾波公式是一致的，式(8)是Pk的遞推公式，式(6)是度量測量信息L0，L1，…，Lk對狀態(tài)xk的影響.

3 不等式約束濾波算法

在平差測量中狀態(tài)參數(shù)的不確定性可表示為區(qū)間約束(如某些狀態(tài)參數(shù)大于零)，因此有不等式約束模型

xk=Φk，k-1xk-1+wk,

Lk=Hkxk+vk,

Gkxk≤qk.

相應的不等式約束下的平差準則最優(yōu)化問題為

(9)

s.t.Gkxk≤qk.

為求解此最優(yōu)化問題，構(gòu)造廣義Lagrange函數(shù)

(10)

G1kxk=q1k,

和

G2kxk

令

(11)

則有

(12)

(13)

由(11)和(12)式，并忽略式(12)中與xk無關(guān)的項，得到如下的平差準則

(14)

式中

(15)

因此不等式約束濾波算法為：

式(12)是不等式約束濾波解的遞推估計方程，式(15)是Pk的遞推公式，式(14)是度量測量信息L0，L1，…，Lk對狀態(tài)xk的影響.

4 橢球約束濾波算法

濾波模型中狀態(tài)參數(shù)存在橢球約束的濾波模型可表示為

因此橢球約束下的最優(yōu)化問題為

(16)

s.t.Lk=Hkxk+vk,

為求解此問題，構(gòu)造廣義Lagrange函數(shù)

(17)

式中μk≥0.求解式(17)可得

(18)

(19)

(20)

其中

(21)

平差準則(21)經(jīng)過適當變形，并忽略與xk無關(guān)的項可表示為

(22)

其中

(23)

因此橢球約束濾波算法為：

式(20)是橢球約束濾波解的遞推估計方程，式(23)是PCE,k的遞推公式，式(22)是度量測量信息L0，L1，…，Lk對狀態(tài)xk的影響.

5 仿真實驗

為了檢驗算法的有效性和性能，考慮下面的二元狀態(tài)變量的濾波模型

圖1 標準卡爾曼濾波算法的誤差

從圖1、圖2看出，無約束濾波算法與標準卡爾曼濾波算法中的x1和x2的誤差值并無差別.圖3和圖4表明，當考慮狀態(tài)參數(shù)不等式約束和橢球約束的不確定性時，本文提出的不等式約束濾波算法和橢球約束濾波算法能有效地利用這一先驗信息對狀態(tài)進行估計.整體來看不等式約束濾波算法的估計誤差略大于無約束濾波算法，但整體誤差趨勢一致.而橢球約束濾波算法的估計誤差小于無約束濾波算法，估計效果最佳.

圖2 無約束濾波算法的誤差

圖3 不等式約束濾波算法的誤差

圖4 橢球約束濾波算法的誤差

為了更加清晰地比較不同濾波算法的性能，本文進行了1000次蒙特卡洛模擬實驗，結(jié)果見表1.通過比較不同濾波模型的RMS值發(fā)現(xiàn)：無約束濾波算法與卡爾曼濾波算法具有一致性.橢球約束濾波算法比無約束濾波算法能更準確地進行狀態(tài)估計.而不等式約束濾波算法的RMS值略高于其余三種濾波算法.

表1 不同狀態(tài)約束濾波算法的RMS比較

6 結(jié)論

在實際測量中，狀態(tài)參數(shù)的不確定性不能被忽略.本文利用狀態(tài)約束這一區(qū)間形式表示狀態(tài)參數(shù)的不確定性，基于平差準則并結(jié)合狀態(tài)方程分別建立無約束、不等式約束和橢球約束濾波模型，并運用已知觀測信息，將模型化為規(guī)劃問題求解,最終推導出的無約束濾波算法、不等式約束濾波算法和橢球約束濾波算法的顯式表達式.其中無約束濾波算法與卡爾曼濾波算法具有一致性，且三種模型最終具有統(tǒng)一的平差準則.仿真實驗結(jié)果表明：三種模型均能準確地進行狀態(tài)估計，并且運算高效、簡便.