關(guān)于極大外平面圖的度偏差的極值

(湖南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長(zhǎng)沙，410081)

1 引言

本文僅考慮簡(jiǎn)單、無(wú)向、連通和有限的圖G,分別有邊集E(G)和頂點(diǎn)集V(G).以G-{vi}(1≤i≤n)表示從G中去掉頂點(diǎn)vi后得到的子圖，dG(vi)表示G中vi的度(可簡(jiǎn)寫(xiě)為d(vi))，nj(1≤j≤n-1)表示圖G中度為j的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，N(v)表示頂點(diǎn)v的鄰點(diǎn)集，Pn表示有n個(gè)頂點(diǎn)的路，G1和G2的聯(lián)圖G1∨G2表示G1和G2中各頂點(diǎn)互相連接后所得到的圖，符號(hào)[a]表示對(duì)a取小于等于a的最大整數(shù).在文獻(xiàn)[1]中提到，若平面圖G的所有點(diǎn)都在外部區(qū)域上，則稱此平面圖G是外平面圖;若外平面圖G不能再加上邊而不失去外平面性，則稱此外平面圖G為極大外平面圖.我們把外部區(qū)域的邊界稱為界環(huán).顯然界環(huán)是一個(gè)圈，用Cn=(v1,v2,…,vn)來(lái)表示，圈Cn上的點(diǎn)下標(biāo)連續(xù)且v1與vn相鄰.易見(jiàn)，極大外平面圖有2n-3條邊(n≥3).沒(méi)有提到的定義、術(shù)語(yǔ)請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[1].

2 預(yù)備知識(shí)

圖

當(dāng)n=3,4,5時(shí)，只有一個(gè)非同構(gòu)的極大外平面圖，當(dāng)n=6時(shí)，有三個(gè)非同構(gòu)的極大外平面圖, 具體見(jiàn)圖2.

圖2 n≤6的極大外平面圖

下面先介紹極大外平面圖的有關(guān)性質(zhì).

引理2[1]設(shè)G是有n個(gè)頂點(diǎn)的外平面圖(n≥3),那么G為極大外平面圖的充要條件是在G的邊界Cn內(nèi)的所有區(qū)域均為三角形.

引理4[10]設(shè)G是有n個(gè)頂點(diǎn)的極大外平面圖(n>3),則G的任意兩個(gè)二度頂點(diǎn)不能相鄰.當(dāng)n=3時(shí)，極大外平面圖是一個(gè)三角形，此時(shí)三個(gè)頂點(diǎn)彼此相鄰且度為2.

由極大外平面圖的定義我們易得下面結(jié)論.

引理5設(shè)G是有n個(gè)頂點(diǎn)的極大外平面圖(n≥3),則圖G界環(huán)上的每條邊只能存在于一個(gè)三角形中.

引理6設(shè)G是有n個(gè)頂點(diǎn)的極大外平面圖(n≥3),且n2=2,則有n3≥2.

證明由極大外平面圖的定義，由G的邊界上四個(gè)下標(biāo)連續(xù)的頂點(diǎn)導(dǎo)出的子圖只有圖3中的a,b,c三種情況.下面對(duì)該三種情況分別進(jìn)行討論.

圖3 極大外平面圖G的邊界的四個(gè)下標(biāo)連續(xù)的頂點(diǎn)的3種導(dǎo)出子圖

(i)當(dāng)G中存在邊界的四個(gè)下標(biāo)連續(xù)的頂點(diǎn)的導(dǎo)出子圖a時(shí),設(shè)v1左邊邊界上的鄰點(diǎn)為vn,由引理2可知，v3必與除v1,v2,v4的頂點(diǎn)外至少還有一個(gè)鄰點(diǎn)：

若v3與vn不相鄰，則v3必與vx∈VG{v1,v2,v3,v4,vn}相鄰.故可把G分為①，②，③三個(gè)部分，如圖4所示.顯然，這三個(gè)部分都是極大外平面圖.由引理4可知，在①中必有一個(gè)除v1,v3,vx外的2度頂點(diǎn)(因?yàn)関3與vn不相鄰，所以v1在①中不是2度頂點(diǎn))，在③中必有一個(gè)除v3,vx外的2度頂點(diǎn).又d(v2)=2,所以在G中就至少存在三個(gè)二度頂點(diǎn)，這樣就與G中n2=2矛盾了.

若v3與vn相鄰，則vn,v1,v2,v3的導(dǎo)出子圖為情況b，此時(shí)d(v2)=2,d(v1)=3.再考慮v4的度的情況.當(dāng)v3與v5相鄰時(shí)，如圖5所示，d(v4)=2.令G′=G-{v2,v4},則G′也是極大外平面圖.在G′中，因?yàn)関3與vn相連，所以dG′(v1)=2.再根據(jù)引理4，若在G′中v5不是2度頂點(diǎn)，則除v1,v3,v5外G′至少還有一個(gè)2度頂點(diǎn)，故G中至少有三個(gè)二度頂點(diǎn)，與n2=2矛盾.所以v1,v5必是G′中的2度頂點(diǎn)，此時(shí)v3與vn,v3與v6相鄰，d(v1)=d(v5)=3.當(dāng)v3與v5不相鄰時(shí)，d(v4)≥3.綜上所述，當(dāng)只有一個(gè)頂點(diǎn)的度為2時(shí)，至少伴隨一個(gè)3度頂點(diǎn)；當(dāng)有兩個(gè)頂點(diǎn)的度為2時(shí)，至少伴隨兩個(gè)3度頂點(diǎn).

(ii)當(dāng)G中存在邊界的四個(gè)下標(biāo)連續(xù)的頂點(diǎn)的導(dǎo)出子圖b時(shí)，根據(jù)引理2，必有d(v2)=2,d(v3)=3,d(v4)≥3,所以一個(gè)2度頂點(diǎn)必定至少伴隨一個(gè)3度頂點(diǎn).

(iii)當(dāng)G中存在邊界四個(gè)下標(biāo)連續(xù)的頂點(diǎn)的導(dǎo)出子圖c時(shí)，由極大外平面圖定義可知，d(v2)≥3,d(v3)≥3.接下來(lái)考慮v1,v4的度.當(dāng)d(v1)=2，即v2與vn相鄰時(shí)，若v3與vn相鄰，則vn,v1,v2,v3的導(dǎo)出子圖為圖3中情況b；若v3與vn不相鄰，則vn,v1,v2,v3的導(dǎo)出子圖為圖3中情況a.同理，當(dāng)d(v4)=2時(shí)，有同樣的結(jié)果.故存在一個(gè)2度頂點(diǎn)必定伴隨一個(gè)3度頂點(diǎn).

綜上分析，當(dāng)n2=2時(shí)，n3≥2得證.

3 主要結(jié)論

證明顯然當(dāng)n=7時(shí)，有4個(gè)不同構(gòu)的極大外平面圖(如圖6).

圖6 4個(gè)不同構(gòu)的7階極大外平面圖

近年來(lái)，通過(guò)與北京、上海、山東、吉林、湖北、湖南、廣西、貴州、內(nèi)蒙古等省、自治區(qū)、直轄市的數(shù)十個(gè)區(qū)縣黨委統(tǒng)戰(zhàn)部門(mén)的交流，結(jié)合重慶基層統(tǒng)戰(zhàn)工作的現(xiàn)狀，發(fā)現(xiàn)盡管基層統(tǒng)戰(zhàn)工作在某些方面存在的問(wèn)題有重慶的個(gè)性，但就其他方面的問(wèn)題來(lái)說(shuō)，全國(guó)各地不同程度地存在同樣的問(wèn)題。新時(shí)代基層統(tǒng)戰(zhàn)工作創(chuàng)新發(fā)展的制約因素主要包括如下：

令

由引理1知，d(u)+d(w)≥7,故有下面的結(jié)論：

定理2若G是一個(gè)n≥6的極大外平面圖，則

所以s(G)的值只與n2,n3有關(guān).

又因?yàn)镚中必定存在2度頂點(diǎn)，所以我們首先確定一個(gè)2度頂點(diǎn)v2，再分析v3,v4的度的大小.