王曉萌 倪俊宇 吳曠達(dá) 王盛偉 張培偉

（東南大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇 南京211106）

級聯(lián)斷裂這個(gè)問題最早可以追溯到理查德·費(fèi)曼的意大利面試驗(yàn)。在之后的幾十年的時(shí)間內(nèi),許多科學(xué)家都對此問題進(jìn)行了研究但都沒有打破規(guī)律。

在2005 年，在這個(gè)問題被提出來近五十年后，兩位法國科學(xué)家Basile Audoly 和Se'bastien Neukirch 在Physics Review Letters 上發(fā)表了一篇論文。在文章中，兩位學(xué)者考慮了在面條彎曲初始斷裂后的情景[1]。

在他們發(fā)表這篇論文前幾個(gè)月，美國和法國的一個(gè)團(tuán)隊(duì)就意大利面斷裂問題，在Physics Review Letters（PRL）發(fā)表了一篇論文。這個(gè)小組的視角與他們略有不同，關(guān)注的是動(dòng)態(tài)沖擊而不是準(zhǔn)靜態(tài)載荷，發(fā)現(xiàn)面條也是斷裂成幾截[2]。

2018 年，PNAS 上發(fā)表了一篇名為《Controlling fracture cascades through twisting and quenching》的文章，文章中通過將意大利面進(jìn)行扭轉(zhuǎn)后再對其施加彎矩直至斷裂，此時(shí)，面斷成了兩截，打破了費(fèi)曼的猜想[3]。

在國內(nèi)也有相似的研究。其中相關(guān)度較高的是湖南大學(xué)李鳳云對于脆性梁的彎曲波傳播問題的研究[4]。

級聯(lián)斷裂是一種災(zāi)難性的失效形式，目前建筑，橋梁，機(jī)械結(jié)構(gòu)中為了避免此類事故的發(fā)生，往往是通過采用性能更好的材料，更夯實(shí)的結(jié)構(gòu)形式，冗余度更高的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)段[5]，人們至今對級聯(lián)斷裂的機(jī)理仍然缺乏完整的理解，也缺乏更經(jīng)濟(jì)高效的解決方手段。本文以高硼硅玻璃棒為例，建立了長細(xì)桿件級聯(lián)斷裂的理論模型，利用應(yīng)力波理論分析了長細(xì)桿件發(fā)生級聯(lián)斷裂的機(jī)理。

1 試驗(yàn)概況

1.1 試件及其物理性質(zhì)

試驗(yàn)采用高硼硅玻璃棒作為試件，高硼硅玻璃棒的各項(xiàng)性質(zhì)比較均勻，且易于發(fā)生脆性破壞，是理想的作為試件的材料。高硼硅玻璃棒的物理參數(shù)參見表1。

表1 高硼硅玻璃棒各項(xiàng)參數(shù)

1.2 純彎曲試驗(yàn)方法

采用萬能材料試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行四點(diǎn)彎加載，恒位移控制加載速率，加載速率為0.5mm/min，計(jì)算機(jī)自動(dòng)采集數(shù)據(jù)。加載至玻璃棒發(fā)生斷裂，停止加載。

試驗(yàn)采用二分法確定純彎曲段的長度，先取150mm 為純彎曲段的初始長度，然后取另一使高硼硅玻璃棒發(fā)生不同斷裂狀態(tài)（分為是否發(fā)生級聯(lián)斷裂良種化狀態(tài)）的純彎曲段長度，然后逐漸向這兩個(gè)值得中間逼近，直至區(qū)間長度小于直徑。

2 試驗(yàn)結(jié)果與分析

2.1 純彎曲試驗(yàn)現(xiàn)象

純彎曲試驗(yàn)過程中，隨著荷載的增加，高硼硅玻璃棒彎曲程度增大但不明顯，無明顯裂痕，荷載增加到一定值，高硼硅玻璃棒突然斷裂。斷裂的位置大多在高硼硅玻璃棒的三等分點(diǎn)的中間區(qū)段，以這種形式斷裂的高硼硅玻璃棒斷裂后的碎片較多且較小，部分高硼硅玻璃棒在壓頭位置斷裂，且多斷裂為兩段。

2.2 純彎曲試驗(yàn)結(jié)果

圖1 純彎狀態(tài)下高硼硅玻璃棒P-δ 曲線

由高硼硅玻璃棒的P-δ 曲線可見：高硼硅玻璃棒的P-δ曲線大致呈現(xiàn)一條直線，高硼硅玻璃棒在純彎狀態(tài)下始終處于彈性狀態(tài)。

表2 高硼硅玻璃棒數(shù)據(jù)測量表

表2 是高硼硅玻璃棒發(fā)生級聯(lián)斷裂時(shí)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。高硼硅玻璃棒發(fā)生斷裂時(shí)的中點(diǎn)撓度，中點(diǎn)曲率和最大應(yīng)力的各項(xiàng)數(shù)值（這里只列舉發(fā)生級聯(lián)斷裂的高硼硅玻璃棒）參見表3。

表3 高硼硅玻璃棒發(fā)生級聯(lián)斷裂時(shí)的各項(xiàng)數(shù)值

2.3 應(yīng)力波理論分析

根據(jù)純彎曲梁的彈性力學(xué)精確解，其橫截面保持為平面，兩端簡支的玻璃棒純彎曲問題可簡化為一維問題[6]。在一維桿的縱向運(yùn)動(dòng)中，其連續(xù)性方程（相容方程）為：

式中：v 為桿中質(zhì)點(diǎn)的速度，x 為用Lagrange 方法描述的物質(zhì)坐標(biāo)，ε 為應(yīng)變。

一維桿縱向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

式中：ρ 為桿的密度，為不隨時(shí)間與空間變化的常量，σ 為應(yīng)力。

為了簡化模型，玻璃棒材料的本構(gòu)關(guān)系[7]

采用：

式中：E 為玻璃棒的彈性模量，為不隨空間與時(shí)間變化的常量。

引入：

顯然，C 也是一個(gè)不隨時(shí)間與空間變化的常量。

將上式（4）與本構(gòu)關(guān)系式（3）代入動(dòng)力學(xué)方程（2）得到：

采用特征線法求解得特征線上相容關(guān)系：

或

可見C 表示物質(zhì)波面?zhèn)鞑サ乃俣?。上式?）確定了應(yīng)力σ與質(zhì)點(diǎn)速度v 之間的關(guān)系，稱ρC 為波阻抗或聲阻抗。

如果u 的一階導(dǎo)數(shù)間斷，也即質(zhì)點(diǎn)速度v 和應(yīng)變?chǔ)?在波陣面上有突躍，則稱為一階奇異面或強(qiáng)間斷，這類應(yīng)力波也稱為沖擊波。

應(yīng)力波根據(jù)傳播方向分為左行和右行。對于右行沖擊波，根據(jù)質(zhì)量守恒條件，波陣面上的運(yùn)動(dòng)學(xué)相容條件為：

根據(jù)動(dòng)量定理，波陣面上的動(dòng)力學(xué)相容條件為：

對于左行波，其波陣面相容方程將-C 替換上式中的C 即可。

下面考慮應(yīng)力波在自由邊界處上的反射。對于被施加了軸向沖擊的一維桿件，假設(shè)其左右兩端初始狀態(tài)分別為v1，ε1，σ1與v2，ε2，σ2（圖2a），分別對應(yīng)圖2(f)中的1、2 兩點(diǎn)。之后應(yīng)力波分別以波速C0 向中間傳播，當(dāng)兩波相遇時(shí)，應(yīng)力波發(fā)生反射，向兩端傳播。相遇點(diǎn)處速度、應(yīng)力發(fā)生突變，設(shè)為v3、σ3。

根據(jù)波陣面上的相容條件（式9）

圖2 迎面?zhèn)鞑サ膬蓻_擊波的相互作用

可解得σ3、v3，對應(yīng)于圖2（f）中的狀態(tài)3。也可以根據(jù)疊加定理求得。

若在自由端發(fā)生反射，則

有v2=v1，v3=2v1。

另外，應(yīng)力波在不同介質(zhì)中發(fā)生反射與透射時(shí)，入射波擾動(dòng)ΔσⅠ傳遞到界面上時(shí)，反射波擾動(dòng)

式中：F 為反射系數(shù)，滿足

式中：n 為兩介質(zhì)的聲阻抗之比。

純彎曲下的玻璃棒發(fā)生斷裂時(shí)，斷面的應(yīng)力突然釋放，相當(dāng)于在兩端施加了一個(gè)沖擊荷載，其在斷面造成的初始應(yīng)力與靜態(tài)彎曲荷載下的應(yīng)力的疊加為效果為0，即邊界成為自由端。隨后該沖擊荷載造成的應(yīng)力波分別從兩端向中間傳播，相遇后發(fā)生反射，在自由端面再次反射后成為加載波，與靜荷載下的彎曲應(yīng)力疊加，造成二次斷裂或者多次斷裂。且靜載下的應(yīng)力越大，一次斷裂后，更容易發(fā)生二次或多次斷裂，即級聯(lián)斷裂。

此外，與層裂或崩落現(xiàn)象類似，斷裂的玻璃棒碎片會(huì)帶著傳遞的脈沖的全部動(dòng)量飛出，因此碎片具有初始速度。且因?yàn)榱芽p間存在一定間距，即碎片具有一定長度，其兩端的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并不一致，速度不相等，因此在飛出的過程中還會(huì)產(chǎn)生角速度。

從直接的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象看，玻璃棒因級聯(lián)斷裂飛出的碎片的確具有初始速度，與應(yīng)力波理論相符。

表4 直徑5mm 高硼硅玻璃棒最大應(yīng)力順序排序

表5 直徑7mm 高硼硅玻璃棒最大應(yīng)力順序排序

從表4、表5 可以看出，如果玻璃棒有瑕疵，則較早斷裂，不會(huì)發(fā)生級聯(lián)斷裂；如果玻璃棒品質(zhì)越好，則其斷裂時(shí)的撓度越大、最大應(yīng)力也越大，也更容易發(fā)生級聯(lián)斷裂，與應(yīng)力波理論相符。

3 結(jié)論

本文通過對不同尺寸的高硼硅玻璃棒進(jìn)行純彎曲試驗(yàn)，并用應(yīng)力波的相關(guān)理論對試驗(yàn)的數(shù)據(jù)和現(xiàn)象進(jìn)行分析，得到如下結(jié)論：

3.1 在純彎曲狀態(tài)下，高硼硅玻璃棒發(fā)生級聯(lián)斷裂的位置在純彎曲段的三等分點(diǎn)的中間區(qū)段。高硼硅玻璃棒發(fā)生級聯(lián)斷裂時(shí)需其純彎曲段曲率很大。

3.2 對于純彎曲狀態(tài)下的高硼硅玻璃棒，其中點(diǎn)應(yīng)力達(dá)到一定值后，高硼硅玻璃棒突然斷裂，斷口處的邊界條件突然變?yōu)樽杂蛇吔?，?yīng)力突變?yōu)?，相當(dāng)于在兩端突然施加一個(gè)沖擊，應(yīng)力σ 和速度v 突變，產(chǎn)生的沖擊應(yīng)力波，并向另一端傳播，導(dǎo)致高硼硅玻璃棒發(fā)生二次斷裂，甚至多次斷裂。

3.3 猜想：桿件斷裂，由桿件斷口處產(chǎn)生沖擊應(yīng)力波，應(yīng)力波在桿件中傳播，反彈，疊加，達(dá)到桿件的承載極限，發(fā)生再一次的斷裂，斷裂一直持續(xù)直至能量不足以引發(fā)斷裂。