一種全局優(yōu)化的激光光斑亞像素定中算法

徐尤南,高文海,宋小科,余昌鑫

(華東交通大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院,江西 南昌 330013)

1 引 言

在盾構(gòu)導(dǎo)向系統(tǒng)中,激光靶測量法用于測量盾構(gòu)機(jī)姿態(tài)角,其原理是通過圖像預(yù)處理和定中算法確定激光靶在CCD上形成激光光斑中心位置[1]。這一方法同樣適用TBM姿態(tài)角的測量。據(jù)調(diào)查掘進(jìn)機(jī)(包括盾構(gòu)和TBM)的姿態(tài)誤差控制極限值為30 mm/m,而激光光斑直徑達(dá)2 mm左右。顯然,其定中精度對姿態(tài)測量誤差控制有較大影響,另一方面,激光光斑定中算法的速度還對掘進(jìn)機(jī)姿態(tài)進(jìn)行適時反饋控制有直接影響。因此,如何提高激光光斑定中精度及其算法效率,對掘進(jìn)機(jī)姿態(tài)的測量與控制具有實(shí)際研究意義。

目前,激光光斑中心位置定中算法主要有質(zhì)心法、Hough變換法、圓擬合法、高斯曲面擬合法等[2-5]。這些方法,雖然在一定范圍內(nèi)滿足了各類光學(xué)測量場合中高精度光斑定位要求,但是也存在某些方面局限。如:質(zhì)心法和圓擬合法計(jì)算速度快,但抗噪能力弱；Hough變換法在光斑邊緣較清晰時精度高,但耗時較長,易受干擾；高斯擬合法精度較高,但算法復(fù)雜,運(yùn)算量大。

近年來,在激光制導(dǎo)、通信等領(lǐng)域,對激光光斑中心的檢測要求不斷提高,涌現(xiàn)了一些定位精度高,抗干擾性強(qiáng)的激光光斑定中算法,如加權(quán)插值法[6]、閾值分割法[7]等。其特點(diǎn)是以半導(dǎo)體激光器作為發(fā)光點(diǎn),盡管在介質(zhì)中傳播時受到各種干擾,但其在CCD表面形成的激光光斑的能量依然可以看作以中心對稱的高斯分布[8]。加權(quán)插值法對高斯光斑圖像內(nèi)所有有效像元分組插值計(jì)算,對結(jié)果加權(quán)平均處理,使得定位精度達(dá)到0.01 pixels,同時提高了結(jié)果的穩(wěn)定性,但容易受到內(nèi)飽和的影響。閾值分割法則是改進(jìn)Ostu閾值分割方法,使得對高斯噪聲和湍流影響抗干擾性有明顯提高,光斑定位精度得以提高,但同時也增加了原算法的計(jì)算量。

針對現(xiàn)有激光光斑的定中算法的不足,本文提出一種基于距離加權(quán)的激光光斑定中算法,旨在提高其算法的精度、穩(wěn)定性與效率。擬通過人工光斑仿真分析算法的定中精度及其效率,通過不同噪聲水平下定中分析檢驗(yàn)所述算法的穩(wěn)定性和抗干擾能力,通過對實(shí)測激光光斑進(jìn)行定中,檢驗(yàn)該算法的有效性和實(shí)用性。所述算法,將為掘進(jìn)機(jī)姿態(tài)測量精度和效率的提高提供參考。下面將從等效激光光斑模型的建立、評價指標(biāo)和中心定位算法、仿真分析與實(shí)驗(yàn)等方面對所述算法加以介紹。

2 等效激光光斑模型建立

理論上,單色激光照射到CCD表面上后,會形成一幅光斑灰度圖,且其光強(qiáng)等值線圖為一族同心圓,為方便敘述,將該圓稱為投影圓(圖1)。基于這一假設(shè),與其激光光斑中心點(diǎn)C距離相等的點(diǎn)處的光強(qiáng)處處相等。據(jù)此,可建立識別其中心點(diǎn)C的等效物理模型。假定待識別的光斑中心點(diǎn)為P,以該點(diǎn)為參考點(diǎn),在光斑圖像所在平面建立如圖2所示的笛卡爾坐標(biāo)系P-uv,Ci為等效光斑上的投影圓,其上任意一點(diǎn)Q(r,θ),r為極坐標(biāo)的半徑,θ為極坐標(biāo)的極角,其對應(yīng)的笛卡爾坐標(biāo)為Q(u,v)。

圖1 單色激光光斑灰度圖Fig.1 Monochromatic laser spot

圖2 等效光斑物理模型Fig.2 Equivalent physical model of laser spot

(1)

與傳統(tǒng)的圓投影計(jì)算中采用Bresenham算法離散數(shù)字圓相比[9],本文采用一種整數(shù)圓離散,并根據(jù)等效光強(qiáng)原理,利用相鄰的兩投影圓內(nèi)的整點(diǎn),估計(jì)該投影圓上期望值,稱為整數(shù)圓投影。為計(jì)算方便,先對整點(diǎn)至與其相鄰的兩個整數(shù)投影圓間的距離進(jìn)行定義:

(2)

式中,[r]為r(u,v)的向下取整值;λ(r),μ(r)分別為Q(u,v)點(diǎn)至相鄰兩個投影圓的距離;其半徑分別為[r]及[r]+1。由此可得,整數(shù)圓投影上光強(qiáng)的等效值為:

(3)

有了整數(shù)圓投影光強(qiáng)之后,即可對激光光斑進(jìn)行重建。顯然,對于正好落在投影圓上的整點(diǎn),其重建后的光強(qiáng)即為投影圓上的光強(qiáng)。顯然,僅有少數(shù)整點(diǎn)將落在投影圓上,為此,對于不在投影圓上的整點(diǎn)的光強(qiáng)需要根據(jù)相鄰的兩個整數(shù)投影圓的等效光強(qiáng)來估計(jì),其計(jì)算式為:

(4)

下面將根據(jù)所建立的等效光斑模型與原光斑模型的差異,來建立識別P點(diǎn)是否為激光光斑中心的評價指標(biāo)。

3 激光光斑中心定位

為建立識別P點(diǎn)是否為激光光斑中心的評價指標(biāo),有必要對等效光斑的特征進(jìn)行簡要分析。顯然,如若P恰好位于C點(diǎn),則所建立的等效光斑將于原光斑相同,如若P與C點(diǎn)有位置偏差,則所建立的等效光斑將于原光斑產(chǎn)生一定的差異。如若兩者距離較近,則其等效光斑將比原光斑略大,但光強(qiáng)略小(圖2)；如若兩者距離較大,則其等效光斑將出現(xiàn)中心及外側(cè)較暗的光環(huán)(圖3)。根據(jù)這一特征,可以根據(jù)等效光斑最大光強(qiáng)、等效光斑大小、等效光斑光強(qiáng)沿徑向分布來識別P點(diǎn)是否為光斑中心。

圖3 等效光斑Fig.3 Equivalent laser spot

上述方法,未考慮重建光斑與原光斑光強(qiáng)的具體分布差異,且有多個參數(shù),評價不便。為此,定義識別點(diǎn)P與真實(shí)點(diǎn)C的距離指標(biāo)PDI(Points Distance Index):

(5)

圖4 等效光斑與原光斑的光強(qiáng)差Fig.4 The Intensity difference between equivalent spot and original spot

圖4可以看出,如若P恰好位于C點(diǎn),則所建立的等效光斑將于原光斑相同,PDI1=0。如若P與C點(diǎn)有位置偏差,則所建立的等效光斑將于原光斑產(chǎn)生一定的差異,PDI1≠0。這與之前的假定一致。

3.1 等效光斑評價指標(biāo)確定

為考察上述評價指標(biāo)的科學(xué)性,不失一般性,對如圖5所示的理想高斯光斑進(jìn)行分析。該光斑大小為255×255為像素,中心點(diǎn)處于圖像中心位置。據(jù)式(5)所給出的指標(biāo)計(jì)算結(jié)果,在整個區(qū)間的分布情況如圖6(a)、圖6(c)所示(為便于比較,圖中計(jì)算結(jié)果做了歸一化處理)。圖中注意到,雖然光斑中心為其全局最有點(diǎn),但其同時還存在四個局部最優(yōu)點(diǎn),使得運(yùn)用優(yōu)化工具搜索時,有可能得到局部最優(yōu),而非全局最優(yōu)。

圖5 理想高斯光斑三維模型Fig.5 3D model of ideal Gauss spot

為提高指標(biāo)對誤差的敏感性,分別對以下指標(biāo)進(jìn)行了試探,結(jié)果如圖6所示。

(6)

圖6 各類指標(biāo)分布圖Fig.6 Distribution map of various index

圖中可知,光強(qiáng)偏差平方和指標(biāo)(PDI2)與光強(qiáng)絕對值之和指標(biāo)(PDI1)相比,雖然其局部最優(yōu)點(diǎn)的值更大,距離中心更遠(yuǎn),更容易識別,但其分布規(guī)律基本相同,不能消除其缺點(diǎn)(圖6(c)、(d))。采用光強(qiáng)絕對值反距離加權(quán)之和指標(biāo)(PDI3)與光強(qiáng)絕對值之和指標(biāo)(PDI1)相比,其共有無窮多個全局最優(yōu)點(diǎn)分布在光斑四周,其光斑中心則為局部最優(yōu)點(diǎn),雖其識別更為容易,但仍然不能消除指標(biāo)PDI1的缺點(diǎn)(圖6(e)、(f))。

采用光強(qiáng)絕對值距離加權(quán)之和指標(biāo)(PDI4)與光強(qiáng)絕對值之和指標(biāo)(PDI1)相比,只有光斑中心處一個最優(yōu)點(diǎn),且其等值線呈圓形(圖6(g)、(h)),因此,用優(yōu)化算法搜索其最優(yōu)點(diǎn)時,其算法將極為快速穩(wěn)定。其原理在于,對于CCD采集的光斑圖像,由于激光光斑基本服從高斯分布,在±3σ以外范圍的像元影響幾乎為零,而越靠近中心的像元貢獻(xiàn)越大,相反越遠(yuǎn)離待測光斑中心的光強(qiáng)偏差值影響越大。另外,通過整數(shù)投影圓的期望值有利與排除一部分噪聲的干擾。

綜上所述,本文采用距離加權(quán)的圓度偏差作為本文定中算法的評價指標(biāo),用于激光光斑的中心識別的表達(dá)式為:

(7)

式中,PDI為給定待識別中心P采用光強(qiáng)絕對值距離加權(quán)之和指標(biāo)。

在全域范圍內(nèi),如若Q=0,則表示已找到絕對的光強(qiáng)中心C；如若Q≠0,則表示所述搜索點(diǎn)O與絕對光強(qiáng)中心C還有一定偏差。該式,利用距離抑加權(quán)法制了噪聲干擾對算法精度的影響。

3.2 光斑中心全局優(yōu)化方法

為了找到激光光斑中心C,本文擬采用非線性問題的最優(yōu)化算法,搜索C(x,y)的位置,確定目標(biāo)函數(shù)為該加權(quán)值之和Q。

根據(jù)最優(yōu)化理論,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)F值最小時,所得解即為中心點(diǎn)坐標(biāo)(x,y),因此其優(yōu)化檢測模型如下,

s.t.

(8)

如圖7所示的是目標(biāo)函數(shù)PDI歸一化后隨偏移距離d變化的關(guān)系曲線,其中偏移距離d為搜索點(diǎn)坐標(biāo)至真實(shí)坐標(biāo)中心(x0,y0)的像素距離值。

圖7 目標(biāo)函數(shù)-偏置距離關(guān)系曲線圖Fig.7 Object function-bias distance relation curve

可以看出,當(dāng)偏移距離d在全局范圍內(nèi),目標(biāo)函數(shù)PDI是d的增函數(shù),此時搜索中心為(x0,y0)時,目標(biāo)函數(shù)最小。

經(jīng)上述處理,激光光斑的中心定位等效為帶邊界約束的二元非線性最優(yōu)化問題,本文采用常規(guī)的單純形優(yōu)化算法求解。

4 仿真計(jì)算

圖5是服從高斯分布的理想激光光斑三維模型,從中可以看出激光光斑具有中心圓對稱的分布特點(diǎn)。圖8為不同噪聲水平的模擬激光光斑圖像,其中光斑大小為255×255像素,理論中心點(diǎn)坐標(biāo)(128,128),當(dāng)方差為0.05時,在高斯噪聲的干擾下,光斑圖像的中心已變得非常模糊,貼近實(shí)際光斑圖像。

圖8 不同噪聲下光斑仿真圖Fig.8 Spot simulation under different noises

4.1 定中精度

在無任何噪聲情況下,給定不同初始中心點(diǎn),該算法所得定中結(jié)果如表1所示。表中可以看出,所述算法的收斂效果良好,且收斂范圍廣。經(jīng)統(tǒng)計(jì),定中結(jié)果隨著估計(jì)中心的偏移距離越小定中精度越高,且偏移距離d在光斑范圍內(nèi),x和y軸方向極限誤差絕對值均優(yōu)于1.0×10-4(保留至小數(shù)點(diǎn)后四位),最大定中誤差為0.0002,定中誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為0.0001,該方法可以實(shí)現(xiàn)亞像素級定位精度。

表1 不同初始估計(jì)中心定中結(jié)果Tab.1 Center of laser spot determined by different initial point

4.2 穩(wěn)定性和抗干擾性

如表2所示,添加不同水平的噪聲模擬實(shí)際激光光斑,分別為常見的高斯噪聲、椒鹽噪聲以及隨機(jī)噪聲,每個樣本容量為1000。其中高斯噪聲均值為0,方差則分為0.005、0.02和0.05等三個水平；椒鹽噪聲密度為0.02；隨機(jī)噪聲均值為0,方差為0.2。

表2 不同噪聲水平下的仿真結(jié)果Tab.2 Statistical results corresponding to different noise level

表中可以看出,在均值為0,方差為0.05的高斯噪聲水平下,該算法定中結(jié)果依然保持較小的定中誤差和標(biāo)準(zhǔn)差,且中心搜索時間小于0.35 s,基本滿足激光光斑亞像素級定位要求。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

利用CCD采集激光光斑圖像經(jīng)圖像處理為二值化圖像,如圖9所示。通過比較質(zhì)心法和該算法的定中結(jié)果,可以看出光斑的中心不在質(zhì)心處(標(biāo)記*),這是由于大氣湍流,各種光學(xué)噪聲等因素,造成實(shí)際光斑光強(qiáng)不再嚴(yán)格服從高斯分布[10]。點(diǎn)1為初始估計(jì)中心(185.5,210.54),點(diǎn)2為本文算法定中坐標(biāo)(193.3370,202.8271)。

圖9 光斑中心檢測結(jié)果Fig.9 Spot center detection results

給出不同估計(jì)初始中心,該算法檢測到的光斑中心和最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值,如表3所示,可以看出,該算法具有較好的定位精度,穩(wěn)定性。定中結(jié)果均近似等于平均值(193.3366,202.8267)。該算法在檢測中心處的目標(biāo)函數(shù)值為3.59×108,對不同偏移距離的初始估計(jì)中心收斂。若要進(jìn)一步優(yōu)化定中精度,在不改變光斑中心的情況下,可以對光斑圖像進(jìn)行高斯濾波預(yù)處理。

表3 不同估計(jì)初始中心檢測結(jié)果Tab.3 Detection results of initial centers with different estimates

6 結(jié) 論

本文根據(jù)激光光斑光強(qiáng)服從高斯分布和圓對稱的特點(diǎn),提出了一種基于整數(shù)圓投影的全局優(yōu)化中心定位算法。該法首先通過估計(jì)中心點(diǎn)重建等效光斑,使得整數(shù)圓光強(qiáng)為期望均值,計(jì)算差分圖像的圓投影絕對值；接著構(gòu)建了若干種圓度偏差指標(biāo),并確立了圓度偏差的距離加權(quán)之和作為最終評價指標(biāo)；然后,以所述評價指標(biāo)為優(yōu)化目標(biāo),建立了最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)最小值確定光斑中心點(diǎn)。所述方法具備其他算法所沒有的全局收斂能力,仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該算法能從含有大量噪聲的光斑圖像中找到激光中心,具備小于0.1 pixels的亞像素級定中精度,可靠的穩(wěn)定性和較快檢測速度,能滿足盾構(gòu)導(dǎo)向系統(tǒng)中激光光斑定中要求。該算法也可用于類似的具有圓對稱特征的光斑圖像中心檢測,且可以與其他方法融合,通過兩步法定中,以進(jìn)一步提高算法效率。